Ver el código de «Roll-off»

{{otros usos|este=el concepto de roll-off en redes eléctricas|para=su uso en el transporte|Roll-off (contenedor)}}
[[File:RC Series Filter (with V&I Labels).svg|thumb|300px|[[Circuito RC]] de un [[filtro paso bajo]] de primer orden]]

Se denomina con el término inglés '''roll-off''' (literalmente, ''desplazamiento'') a la pendiente de una [[función de transferencia]] de [[frecuencia]]s, particularmente en el [[análisis de circuitos]], y más especialmente en conexión con los [[filtro electrónico|circuitos de filtrado]] en la transición entre una [[pasabanda|banda de paso]] y una [[banda de corte]]. Por lo general, se aplica a las [[pérdidas por inserción]] en una red, pero, en principio, se puede aplicar a cualquier función relevante de frecuencia y a cualquier tecnología, no solo a la electrónica. Es habitual medir la caída de una onda en función de su frecuencia medida [[Escala logarítmica|logarítmicamente]]; en consecuencia, las unidades de atenuación son [[decibelio]]s por [[década (escala logarítmica)|década]] (dB/década), donde una década es un aumento de diez veces en la frecuencia, o decibelios por [[octava (electrónica)|octava]] (dB/8va), donde una octava es un aumento de dos veces en la frecuencia.

El concepto de caída se deriva del hecho de que en muchas redes la caída tiende hacia un gradiente constante en frecuencias muy alejadas del punto [[Frecuencia de corte|corte]] de la curva de frecuencia. La caracterización del "roll-off" permite reducir el rendimiento de corte de una red de filtros de este tipo a un solo número. Téngase en cuenta que la caída puede darse tanto con una frecuencia decreciente como con una frecuencia creciente, dependiendo de la forma de banda del filtro que se esté considerando: por ejemplo, un [[filtro paso bajo]] reducirá su atenuación con una frecuencia creciente, pero un [[filtro paso alto]] o la [[banda de corte]] más baja de un [[filtro paso banda]] atenuará en mayor medida las ondas con una frecuencia decreciente. En aras de la brevedad, este artículo describe solo filtros de paso bajo, dado que se pueden aplicar los mismos principios a los filtros de paso alto intercambiando frases como "por encima de la frecuencia de corte" y "por debajo de la frecuencia de corte".

==Roll-off de primer orden==
[[File:Butterworth response.svg|thumb|250px|Roll-off de un filtro de paso bajo de primer orden en 6&nbsp;dB/octava (20&nbsp;dB/década)]]

Una red modelizable mediante una [[ecuación diferencial lineal]] de primer orden simple, como un [[circuito RC]], puede presentar una pendiente de 20&nbsp;dB/década. Esto es aproximadamente igual (dentro de la precisión requerida habitualmente en ingeniería eléctrica) a 6 dB/octava y es la descripción más habitual que se da para esta reducción. Esto puede demostrarse si se considera el voltaje de la [[función de transferencia]], ''A'', de la red RC:<ref name=Jacob>J. Michael Jacob, ''Advanced AC circuits and electronics: principles & applications'', pages 150-152, Cengage Learning 2003 {{ISBN|0-7668-2330-X}}.</ref>

: <math>A=\frac{V_o}{V_i}=\frac{1}{1+i\omega RC}</math>

La escala de frecuencia toma la forma ''ω''<sub>c</sub>&nbsp;=&nbsp;1/''RC''&nbsp;=&nbsp;1 y al formar la relación de potencia se obtiene,

: <math>|A|^2=\frac{1}{1+\left( {\omega \over \omega_c} \right)^2} = \frac{1}{1+\omega^2}</math>

En decibelios, esto se convierte en:

: <math>10\log \left({\frac{1}{1+\omega^2}}\right)</math>

o expresado como una pérdida:

: <math>L=10\log \left({1+\omega^2}\right) \ \mathrm{dB}</math>

En frecuencias muy por encima de ''ω'' = 1, esto se simplifica a,

: <math>L \approx 10\log \left(\omega^2\right)= 20\log \omega \ \mathrm{dB}</math>

El "roll-off" viene dado por,

: <math>\Delta L = 20\log \left( {\omega_2 \over \omega_1} \right) \ \mathrm{dB/intervalo_{2,1}}</math>

Para una década, se tiene que

: <math>\Delta L = 20\log 10 = 20 \ \mathrm{dB/\text{década}}</math>

y para una octava,

: <math>\Delta L = 20\log 2 \approx 20 \times 0.3 = 6 \ \mathrm{dB/8va}</math>

==Redes de orden superior==

Se puede construir una red de orden superior conectando en cascada secciones de primer orden. Si se coloca un [[amplificador búfer]] entre cada sección (o se usa alguna otra [[Filtro activo|topología activa]]) no se produce interacción entre las etapas. En esa circunstancia, para ''n'' secciones idénticas de primer orden en cascada, la función de transferencia de voltaje de la red completa viene dada por;<ref name=Jacob/>

: <math>A_{\mathrm T}=A^n \ </math>

en consecuencia, el roll-off total viene dado por,

: <math>\Delta L_\text{T} = n \, \Delta L = 6n \text{ dB/8ve}</math>

Se puede lograr un efecto similar en el [[Filtro digital|dominio digital]] aplicando repetidamente el mismo algoritmo de filtrado a la señal.<ref>Todd, pp 107–108</ref>

El cálculo de la función de transferencia se vuelve algo más complicado cuando las secciones no son todas idénticas, o cuando se utiliza la popular construcción [[topología de escalera]] para realizar el filtro. En un filtro de escalera, cada sección del filtro tiene un efecto en sus vecinos inmediatos y un efecto menor en las secciones más remotas, por lo que la respuesta no es un simple ''A<sup>n</sup>'' incluso cuando todas las secciones son idénticas. Para algunas clases de filtros, como un [[filtro de Butterworth]], la pérdida de inserción sigue aumentando [[Función monótona|monótonamente]] con la frecuencia y rápidamente converge de forma [[Asíntota|asintótica]] a una caída de 6''n ''&nbsp;dB/8va, pero en otros, como un [[filtro de Chebyshev]] o un [[filtro de Cauer]], la caída cerca de la frecuencia de corte es mucho más rápida y en otros lugares la respuesta es cualquier cosa menos monótona. No obstante, todas las clases de filtros finalmente convergen a una caída de 6''n''&nbsp;dB/8va teóricamente a alguna frecuencia arbitrariamente alta, pero en muchas aplicaciones esto ocurrirá en una banda de frecuencia sin interés para la aplicación y los [[capacitancia parásita|efectos parásitos]] bien puede empezar a dominar mucho antes de que esto suceda.<ref>Giovanni Bianchi, Roberto Sorrentino, ''Electronic filter simulation & design'', pages 129–130, McGraw-Hill Professional 2007 {{ISBN|0-07-149467-7}}.</ref>

==Aplicaciones==
Los filtros con un alto "roll-off" se desarrollaron por primera vez para evitar la diafonía entre canales adyacentes en los sistemas telefónicos [[Multiplexación por división de frecuencia|multiplexados por frecuencia]].<ref>Lundheim, L, "On Shannon and "Shannon's Formula", ''Telektronikk'', '''vol. 98''', no. 1, 2002, pp. 24–25.</ref> Los [[Filtro de cruce|filtros de cruce]] también son frecuentes en los altavoces de audio: aquí, la necesidad no es tanto de un "roll-off" alto, sino de que los "roll-offs" de las secciones de alta y baja frecuencia sean simétricos y complementarios. En las máquinas de [[electroencefalografía]] surge una necesidad interesante de un alto "roll-off". Aquí, los filtros se conforman principalmente con una atenuación básica de 6&nbsp;dB/8va, aunque algunos instrumentos incluyen un filtro de 35 Hz conmutable en el extremo de alta frecuencia con una atenuación más rápida para ayudar a filtrar el ruido generado por la actividad muscular.<ref>Mayer et al, pp 104–105.</ref>

==Véase también==
* [[Diagrama de Bode]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
*J. William Helton, Orlando Merino, ''Classical control using H [infinity] methods: an introduction to design'', pages 23–25, Society for Industrial and Applied Mathematics 1998 {{ISBN|0-89871-424-9}}.
*Todd C. Handy, ''Event-related potentials: a methods handbook'', pages 89–92, 107–109, MIT Press 2004 {{ISBN|0-262-08333-7}}.
*Fay S. Tyner, John Russell Knott, W. Brem Mayer (ed.), ''Fundamentals of EEG Technology: Basic concepts and methods'', pages 101–102, Lippincott Williams & Wilkins 1983 {{ISBN|0-89004-385-X}}.

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