Ver el código de «Rotación (matemáticas)»

[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|300px|Rotación de un objeto en dos dimensiones alrededor del punto ''O'']]

En [[matemáticas]], la '''rotación''' es un concepto que tiene su origen en la [[geometría]]. Cualquier rotación es un [[movimiento (geometría)|movimiento]] definido en un determinado [[Espacio topológico|espacio]] que conserva al menos un [[Punto (geometría)|punto]] en su posición original.<ref name=MERIAM>{{cita libro|título=Mecánica para ingenieros: Dinámica|autor=James L. Meriam, L. G. Kraige|editorial=Reverte|año=1998|url=https://books.google.es/books?id=YlqP-acr-YkC&pg=PA456#v=onepage&q&f=false|isbn=9788429142594|páginas= 456 de 624|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> Puede describir, por ejemplo, el giro de un [[cuerpo rígido]] alrededor de un punto fijo. Una rotación es diferente a otros tipos de movimientos (como la [[Traslación (geometría)|traslación]], que no tiene puntos fijos; o la [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]]).

Para un espacio ''n''-[[Dimensión|dimensional]], la rotación se caracteriza por presentar un [[variedad lineal|''plano'']] (''n''-1)-dimensional completo de puntos fijos. Una rotación en el sentido de las agujas del reloj se considera por convenio una magnitud negativa, y de forma análoga, un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene una magnitud positiva.<ref name=INGRESO>{{cita libro|título=Matematica Para el Ingreso|editorial=Universidad Nac. del Litoral|url=https://books.google.es/books?id=BJ0bO53QX5oC&pg=PA240#v=onepage&q&f=false|isbn=9789875085565|página= 240|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

Matemáticamente, una rotación es una [[Función matemática|aplicación]]. Todas las rotaciones sobre un punto fijo forman un [[Grupo (matemática)|grupo]] bajo unas [[Función compuesta|reglas de composición]], denominado '''grupo de rotación''' (de un espacio en particular).<ref name=ZALDIVAR>{{cita libro|título=Introducción a la teoría de grupos|autor=Felipe Zaldívar|editorial=Reverte|año=2006|url=https://books.google.es/books?id=mNaJ1LC5WkUC&pg=PA3#v=onepage&q&f=false|isbn=9789686708660|páginas= 3 de 257|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>  Pero en [[mecánica]] y, más generalmente, en [[física]], este concepto se entiende con frecuencia como un [[sistema de coordenadas]] (importante, siempre que se trate de una transformación de una [[base ortonormal]]), porque para cualquier movimiento de un cuerpo hay una transformación inversa que si se aplica al [[sistema de referencia]] da como resultado que el cuerpo siga estando en las mismas coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones, girar un cuerpo en el [[sentido del reloj]] alrededor de un punto donde se mantienen los ejes fijos, equivale a girar los ejes en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del mismo punto mientras el cuerpo se mantiene fijo. Estos dos tipos de rotación se denominan [[transformación activa y pasiva|transformaciones activas y pasivas]].<ref name=MAHECHA2>{{cita libro|título=Mecánica clásica avanzada|autor=Jorge Mahecha Gómez|editorial=Universidad de Antioquia|año=2006|url=https://books.google.es/books?id=yMkIX8c4dNsC&pg=PA378#v=onepage&q&f=false|isbn=9789586558471|página=308 de 606|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

== Definiciones relacionadas y terminología ==
El "grupo de rotación" es un [[grupo de Lie]] de rotaciones sobre un [[Acción (matemática)|punto fijo]].<ref name=COHN>{{cita libro|título=Lie Group|autor=P. M. Cohn|editorial=CUP Archive|año=1957|url=https://books.google.es/books?id=YC89AAAAIAAJ&pg=PA3#v=onepage&q&f=false|páginas= 3 de 164|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> Este punto fijo (común) se llama "[[Centro (geometría)|centro]] de rotación" y generalmente se identifica con el [[origen de coordenadas]]. El grupo de rotación es un '' [[Acción (matemática)|estabilizador puntual]]'' en un grupo más amplio de [[movimiento (geometría)|movimientos]] (con preservación del sentido de orientación de los ejes).

Para una rotación particular:
* El ''eje de rotación'' es la [[recta]] formada por sus puntos fijos. Solo existe para ''n'' > 2.
* El ''[[plano de rotación]]'' es un [[Plano (geometría)|plano]] [[Acción (matemática)|invariante]] con respecto a una rotación. A diferencia del eje, sus puntos no son fijos en sí mismos. El eje (cuando está presente) y el plano de una rotación son [[ortogonalidad (matemáticas)|ortogonales]] entre sí.<!-- I hope not only in Euclidean and not only in 3D? --Incnis Mrsi -->

La "representación" de una rotación es un formalismo particular, ya sea algebraico o geométrico, utilizado para parametrizar una aplicación de rotación. Este significado es de alguna manera inverso al que tiene en la [[Representación de grupo|teoría de grupos]].

Las rotaciones en un [[espacio afín]] y en un [[espacio vectorial]] no siempre se distinguen claramente. Las primeras a veces se denominan "rotaciones afines" (aunque el término es engañoso), mientras que las segundas son "rotaciones de vectores" (véase el artículo que figura a continuación para más detalles).

== Definiciones y representaciones ==
===En geometría euclidiana===<!-- caution: an internal #-link -->
{{VT|Espacio Euclideo|Grupo especial ortogonal}}
[[Imagen:Rotation4.svg|right|thumb|Una rotación cualquiera en el plano, seguida de otra rotación alrededor de un punto diferente, da como resultado un movimiento total que es una tercera rotación (como en esta imagen) o una [[Traslación (geometría)|traslación]]<ref name=DELAUNAY>{{cita libro|título=Tratado de mecánica racional|autor=Charles Eugène Delaunay|editorial=Imprenta de Pedro Abienzo|año=1874|url=https://books.google.es/books?id=-PHtTf16nlgC&pg=PA61#v=onepage&q&f=false|páginas= 61 de 507|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>]]

El movimiento en un [[espacio euclídeo]] es el mismo que su [[isometría]]: mantiene la [[Distancia euclidiana|distancia]] entre dos puntos sin cambios después de la transformación. Pero una rotación (propia) también tiene que preservar la [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]] de su estructura espacial. El término "[[rotación impropia]]"<ref>{{cita libro|título=Lecciones de mecánica racional: por el ing, Volumen 2|autor=Pedro Longhini|editorial=Talleres gráficos "Tomás Palumbo,"|año=1940|url=https://books.google.es/books?id=C13VAAAAMAAJ&q=rotacion+propia+impropia&dq=rotacion+propia+impropia&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjl6KKPi8jiAhUKEBQKHRnJDeY4ChDoAQgrMAE|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> se refiere a isometrías que invierten la orientación.<ref>{{cita libro|título=MECÁNICA CLÁSICA|autor=ESPAÑOL GARRIGÓS Josep , SERRANO MAESTRO María del Mar , ZÚÑIGA LÓPEZ Ignacio|editorial=Editorial UNED|año=2015|url=https://books.google.es/books?id=7v2iCgAAQBAJ&pg=PT26#v=onepage&q&f=false|isbn=9788436270686|páginas=302|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> En el lenguaje de [[teoría de grupos]], la distinción se expresa como isometrías ''directas'' frente a las ''indirectas'' en el [[grupo euclídeo]], donde las primeras incluyen al operador identidad. Cualquier movimiento euclidiano directo puede representarse como una composición de una rotación alrededor de un punto fijo y una traslación.

No hay rotaciones que no sean [[Trivial (matemática)|triviales]] en una dimensión. En [[Bidimensional|dos dimensiones]], solo se necesita un [[ángulo]] para determinar una rotación sobre el [[origen de coordenadas]]: el "[[ángulo de rotación]]", que especifica un elemento del [[grupo circular]] (también conocido como U(1)). La rotación actúa para girar un objeto en [[sentido del reloj|sentido horario]] mediante un ángulo ''θ'' sobre el [[origen de coordenadas]] (véase "dos dimensiones" para los detalles de la composición de las rotaciones, mediante la [[Sumatorio|suma]] de ángulos con [[Aritmética modular|módulo]] de 1 un giro completo, lo que implica que todas las rotaciones bidimensionales sobre ''el mismo'' punto forman un [[grupo abeliano]] (es decir, conmutativo). Las rotaciones sobre puntos "diferentes", en general, no conmutan. Cualquier movimiento directo bidimensional es una traslación o una rotación; véase [[isometría afín]] para más detalles).

Las rotaciones en el espacio [[tridimensional]] difieren de las rotaciones en dos dimensiones en varios aspectos importantes. Las rotaciones en tres dimensiones generalmente no son [[conmutatividad|conmutativas]],<ref name=MARION>{{cita libro|título=Dinámica clásica de las partículas y sistemas|autor=Jerry B. Marion|editorial=Reverte|año=1992|url=https://books.google.es/books?id=MpblAXz_StkC&pg=PA37#v=onepage&q&f=false|isbn=9788429140941|páginas= 37 de 653|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> por lo que el orden en que se aplican es importante incluso cuando se realizan alrededor del mismo punto. Además, a diferencia del caso bidimensional, un movimiento directo tridimensional, en [[posición general]], no es una rotación sino un [[Eje helicoidal|movimiento helicoidal]]. Las rotaciones sobre el origen tienen tres grados de libertad, coincidentes con el número de dimensiones.<ref name=ESPAÑOL>{{cita libro|título=MECÁNICA CLÁSICA|autor=ESPAÑOL GARRIGÓS Josep , SERRANO MAESTRO María del Mar, ZÚÑIGA LÓPEZ Ignacio|editorial=Editorial UNED|año=2015|url=https://books.google.es/books?id=7v2iCgAAQBAJ&pg=PT24#v=onepage&q&f=false|isbn=9788436270686|páginas=302|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

[[Imagen:Praezession.svg|thumb|170px|left|Rotaciones de Euler de la Tierra. Intrínseca (verde), precesión (azul) y nutación (rojo)]]

Una rotación tridimensional se puede especificar de varias maneras. Los métodos más usuales son:
* [[Ángulos de Euler]] (imagen a la izquierda): cualquier rotación sobre el origen se puede representar como la [[Función compuesta|composición]] de tres rotaciones definidas como el movimiento obtenido al variar uno de los ángulos de Euler mientras se dejan fijos los otros dos. Constituyen un sistema de '''ejes mixtos de rotación''', donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo ''z'', el segundo gira alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve. Esta representación es conveniente solo para rotaciones sobre un punto fijo.<ref name=MAHECHA>{{cita libro|título=Mecánica clásica avanzada|autor=Jorge Mahecha Gómez|editorial=Universidad de Antioquia|año=2006|url=https://books.google.es/books?id=yMkIX8c4dNsC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false|isbn=9789586558471|páginas= 222 de 606|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

[[Imagen:Euler AxisAngle.png|thumb|right|104px]]

* [[Notación axial-angular]] (imagen a la derecha): especifica el ángulo que girar y el eje alrededor del cual se realiza la rotación. Se puede visualizar fácilmente. Hay dos variantes para representarlo:

&nbsp;&nbsp;- Como un [[par ordenado]] de datos, formado por el ángulo a girar y por un [[vector unitario]] para el eje de giro, o bien

&nbsp;&nbsp;- Como un [[vector]], resultado de multiplicar el vector unitario por el valor del ángulo, obteniendo el llamado ''vector de rotación'' (aunque, estrictamente hablando, sea un [[vector axial]]).

* Matrices, versores (cuaterniones) y otros conceptos [[álgebra|algebraicos]]: véase la sección sobre [[álgebra lineal]] y multilineal.

[[Archivo:8-cell.gif|thumb|Proyección ortogonal en tres dimensiones de un [[teseracto]] siendo rotado en el espacio euclideo tetradimensional]]

Una rotación general en [[Cuarta dimensión|cuatro dimensiones]] tiene solo un punto fijo (el centro de rotación), y ningún eje de rotación (véase [[rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional]]). En cambio, posee dos planos de rotación ortogonales, cada uno de los cuales está fijo en el sentido de que los puntos que coinciden con cada plano permanecen dentro de los propios planos. Tiene dos ángulos de rotación, uno para cada [[plano de rotación]], a través de los cuales giran los puntos en los planos. Si estos son ''ω''<sub>1</sub> y ''ω''<sub>2</sub>, todos los puntos que no están en los planos giran en un ángulo comprendido entre ''ω''<sub>1</sub> y ''ω''<sub>2</sub>. Las rotaciones en cuatro dimensiones alrededor de un punto fijo tienen seis grados de libertad.<ref>{{cita libro|título=Teoría clásica de los campos, Volumen 2|autor=Lev Davidovich Landau, E. M. Lifshitz|editorial=Reverte|año=1973|url=https://books.google.es/books?id=6rFoDw1Ha4cC&pg=PA13#v=onepage&q&f=false|isbn=9788429140828|páginas= 13 de 525|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> Un movimiento directo en cuatro dimensiones en la posición general ''es'' una rotación sobre cierto punto (como en todas las dimensiones euclídeas [[Números pares e impares|pares]]), pero también existen operaciones de desplazamiento helicoidal.

=== Formalización en el álgebra lineal y multilineal ===
<!-- caution: an internal #-link -->
{{AP|Matriz de rotación}}
Cuando se consideran movimientos del espacio euclídeo que preservan el [[origen de coordenadas]], la distinción entre [[Espacio afín|puntos y vectores]] (importante en matemáticas puras) se puede ignorar, porque existe una [[función biyectiva]] canónica entre los puntos y los [[Posición|vectores de posición]]. Lo mismo ocurre con otras geometrías distintas de la [[Geometría euclidiana|euclídea]], pero cuyo espacio es un [[espacio afín]] con una [[Estructura matemática|estructura]] suplementaria (véase más abajo el ejemplo sobre la relatividad).

Alternativamente, la descripción vectorial de las rotaciones puede entenderse como una parametrización de las rotaciones geométricas [[salvo (matemáticas)|salvo]] su composición con las traslaciones. En otras palabras, un vector de rotación representa muchas rotaciones [[Relación de equivalencia|equivalentes]] sobre "todos" los puntos del espacio.

Un movimiento que conserva el origen es lo mismo que una [[aplicación lineal]] sobre un conjunto de vectores que conserva la misma estructura geométrica, pero expresada vectorialmente. Para los [[vector]]es, esta expresión es su ''magnitud'' ([[norma vectorial]], o lo que es lo mismo, su módulo, su longitud o sencillamente, la distancia entre sus dos puntos extremos). En un sistema de coordenadas sobre el conjunto de los números reales, dicho operador se expresa como una [[matriz ortogonal]] de dimensión ''n'' × ''n'' que multiplica [[vector columna|vectores columna]].

Como ya se ha definido previamente, una rotación (propiamente dicha) es diferente de un movimiento de punto fijo arbitrario en cuanto a su preservación de la orientación del espacio vectorial. Por lo tanto, el [[determinante (matemática)|determinante]] de una matriz ortogonal de rotación debe ser 1. La única otra posibilidad para el determinante de una matriz ortogonal es {{unidad|−1}}, y este resultado significa que la transformación es una [[Reflexión (matemáticas)|reflexión respecto a un hiperplano]], una [[simetría central]] (sobre un espacio de dimensión ''n'' [[Números pares e impares|impar]]), u otro tipo de [[rotación impropia]]. Las matrices de todas las rotaciones propias forman un [[grupo ortogonal]].<ref name=MAHECHA />

====Dos dimensiones====<!-- caution: an internal #-link -->
[[File:Coordinate system rotation svg.svg|thumb|500px|Deducción geométrica del cálculo de las nuevas coordenadas (''x''&#39;,''y''&#39;) de un punto P(x,y) tras proceder a rotar los ejes de coordenadas un ángulo ''α'' (rotación equivalente a hacer girar desde el origen el punto (''x'', ''y'') un ángulo ''θ'' = &minus;''α''). Se tiene que:

:<math>\begin{align}
x'&=x\cos\alpha+y\sin\alpha, \\
y'&=-x\sin\alpha+y\cos\alpha.
\end{align}</math>]]

En dos dimensiones, para llevar a cabo una rotación usando una matriz, el punto (''x'', ''y'') que se gira hacia la izquierda, se escribe como un vector columna y se multiplica por una [[matriz de rotación]] calculada a partir del ángulo ''θ'':

: <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>.

Las coordenadas del punto después de la rotación son ''x''&#39;, ''y''&#39;}}, y las fórmulas para ''x''&#39; y ''y''&#39; son

: <math>\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}</math>

Los vectores <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> y <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> tienen la misma magnitud y están separados por un ángulo ''θ'' como se esperaba.<ref>{{cita web|título=Rotación de Coordenadas en R2, dos dimensiones o 2D.|url=https://advancedsoftware.wordpress.com/2012/05/29/rotacion-en-r2-dos-dimensiones-2d/|obra=AdvancedSoftware's Blog|idioma=es|fecha=29 de mayo de 2012|fechaacceso=1 de junio de 2019}}</ref>

Los puntos en el plano ℝ<sup>2</sup> también pueden representarse como [[número complejo|números complejos]]: las coordenadas {{math|(''x'', ''y'')}} en el plano complejo representan el número

: <math>z = x + iy.</math>

De acuerdo con las propiedades de los números complejos, se puede hacer girar este ''vector'' un ángulo ''θ'' multiplicándolo por el número {{math|''e''<sup>''iθ''</sup>}}. Expandiendo el producto de dos números complejos utilizando la [[fórmula de Euler]], se tiene:

: <math>\begin{align}
e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\
               &= x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta \\
               &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i ( x \sin \theta + y \cos \theta) \\
               &= x' + i y' ,
\end{align}</math>

y al equiparar partes reales e imaginarias, se obtiene el mismo resultado que con una matriz bidimensional:<ref>{{cita web|título=Multiplicación por un número complejo|url=http://www.matematicasvisuales.com/html/complejos/operaciones/multiplicacion2.html|obra=matemáticas Visuales|idioma=es|fechaacceso=1 de junio de 2019}}</ref>

: <math>\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}</math>

Como los números complejos forman un [[anillo conmutativo]], las rotaciones de vectores en dos dimensiones son conmutativas, a diferencia de lo que sucede en dimensiones más altas. Solo tienen un [[Grado de libertad (ingeniería)|grado de libertad]], ya que dichas rotaciones están completamente determinadas por el ángulo de rotación.<ref>Lounesto 2001, p. 30.</ref>

==== Tres dimensiones ====
{{AP|Formalización de la rotación en tres dimensiones}}

Al igual que en dos dimensiones, se puede usar una matriz para aplicar una rotación de un punto {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} y determinar sus nuevas coordenadas {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. La matriz utilizada es una matriz de {{gaps|3|×|3}},

: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}</math>

Multiplicando la matriz por un vector que representa el punto, se obtiene el resultado:

: <math>
 \mathbf{A}
 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} </math>

El conjunto de todas las matrices propias junto con la operación de [[multiplicación de matrices]] forma el [[grupo de rotación SO(3)]]. La matriz {{math|'''A'''}} es un miembro del [[grupo ortogonal]] tridimensional {{math|SO(3)}}, es decir, se trata de una [[matriz ortogonal]] con [[determinante (matemática)|determinante]] 1. Esto significa que se trata de una matriz ortogonal, en la que sus filas (al igual que sus columnas) forman un conjunto de [[vector unitario|vectores unitarios]] ortogonales (por lo que constituyen una [[base ortonormal]]), lo que hace que sea fácil detectar y verificar la validez de una matriz de rotación.<ref name=ESPAÑOL />

Los ángulos de Euler y los vectores axiales-angulares se pueden convertir fácilmente en una matriz de rotación.

Otra posibilidad para representar una rotación de vectores euclidianos tridimensionales son los cuaterniones, que se describen a continuación.

==== Cuaterniones ====
{{AP|Cuaterniones y rotación espacial}}

Los [[cuaternión|cuaterniones]] unidad, también denominados ''[[versor]]es'', son de alguna manera la representación menos intuitiva de las rotaciones tridimensionales. Desde el punto de vista teórico, no son un caso particular de un enfoque más general. Sin embargo, son más compactos que las matrices y más fáciles de trabajar que todos los otros métodos, por lo que a menudo se utilizan en numerosas aplicaciones prácticas.{{Citation needed|date=July 2010}}

Un versor (también llamado "cuaternión de rotación") consta de cuatro números reales que cumplen determinadas condiciones entre sí, de modo que el [[Espacio vectorial normado|módulo]] del cuaternión es 1. Esta restricción limita los grados de libertad del cuaternión a tres, según se requiera en cada caso. A diferencia de las matrices y los números complejos, se necesitan dos multiplicaciones:<ref>{{cita libro|título=Geometría analítica e introducción al cálculo vectorial|autor=Jhon Alexander Pérez Sepúlveda, Juan Guillermo Paniagua Castrillón|editorial=Instituto Tecnológico Metropolitano|año=2016|url=https://books.google.es/books?id=vxI4DwAAQBAJ&pg=PA104#v=onepage&q&f=false|isbn=9789588743974|páginas= 104 de 241|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

: <math> \mathbf{x'} = \mathbf{qxq}^{-1},</math>

donde {{math|'''q'''}} es el versor, {{math|'''q'''<sup>−1</sup>}} es su [[Inverso multiplicativo|inverso]] y {{math|'''x'''}} es el vector tratado como un cuaternión con su [[Cuaternión|parte escalar]] cero. El cuaternión puede relacionarse con la forma del vector de rotación de una rotación axial-angular mediante la [[aplicación exponencial (teoría de Lie)|aplicación exponencial]] sobre los cuaterniones,

: <math> \mathbf{q}  = e^{\mathbf{v}/2},</math>

donde {{math|'''v'''}} es el vector de rotación tratado como un cuaternión.

Una sola multiplicación por un versor, [[izquierda y derecha (álgebra)|tanto a izquierda como a derecha]], es en sí misma una rotación, pero en cuatro dimensiones. Cualquier rotación de cuatro dimensiones sobre el origen se puede representar con dos multiplicaciones de cuaterniones: una a izquierda y otra a derecha, mediante dos cuaterniones "diferentes".<ref>{{cita libro|título=Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications|autor=J.P. Ward|editorial=Springer Science & Business Media|año=1997|url=https://books.google.es/books?id=LJZYQz2RJNkC&pg=PA57#v=onepage&q&f=false|isbn=9780792345138|páginas= 57 de 242|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

==== Notas adicionales ====
Más generalmente, las rotaciones de coordenadas en cualquier dimensión están representadas por matrices ortogonales. El conjunto de todas las matrices ortogonales en dimensiones ''n'' que describen las rotaciones propias (con determinante = +1), junto con la operación de la multiplicación de matrices, forma el [[grupo ortogonal]] SO(''n'').

Las matrices se usan a menudo para hacer transformaciones, especialmente cuando se está transformando un gran número de puntos, ya que son una representación directa del [[Aplicación lineal|operador lineal]]. Las rotaciones representadas de otras maneras a menudo se convierten en matrices antes de ser utilizadas. Se pueden extender para representar rotaciones y transformaciones al mismo tiempo, utilizando [[coordenadas homogéneas]]. Las [[Homografía (geometría)|homografías]] están representadas mediante matrices {{gaps|4|×|4}}. No son matrices de rotación, pero una transformación que representa una rotación euclídea contiene una matriz de rotación {{gaps|3|×|3}} en la esquina superior izquierda.

La principal desventaja de las matrices es que son más costosas de calcular y para realizar cálculos. También en los cálculos donde la [[Estabilidad numérica|inestabilidad numérica]] es un problema, las matrices pueden ser más sensibles a esta complicación, por lo que los cálculos para restaurar la [[ortonormal]]idad, que son costosos para las matrices, deben realizarse con más frecuencia.

==== Más alternativas a la formalización matricial ====
Como se mostró anteriormente, existen tres formas de expresar una rotación en [[álgebra multilineal]]: una mediante números complejos para dos dimensiones, y otras dos utilizando versores o cuaterniones, para tres y cuatro dimensiones.

En general (y no necesariamente para vectores euclidianos), la rotación de un espacio vectorial asociado con una [[forma cuadrática]] se puede expresar como un [[bivector]]. Esta formalización se usa en [[álgebra geométrica]] y, más generalmente, en la representación mediante el [[álgebra de Clifford]] de los grupos de Lie.

El [[grupo de recubrimiento|grupo de doble recubrimiento]] de {{math|SO(''n'')}} se conoce como [[grupo espinorial]], Spin(''n''). Se puede describir convenientemente en términos de álgebra de Clifford. Los cuaterniones unitarios coinciden con el grupo Spin(3).<ref>{{cita libro|título=Topology and Its Applications|autor=William F. Basener|editorial=John Wiley & Sons|año=2006|url=https://books.google.es/books?id=hn8y3dCP2c8C&pg=PA122#v=onepage&q&f=false|isbn=9780471687559|páginas= 122 de 384|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

=== En geometrías no euclidianas ===
En [[geometría esférica]], un movimiento directo sobre una [[N-esfera|''n''-esfera]] (un ejemplo de [[geometría elíptica]]) es lo mismo que una rotación del espacio euclidiano {{math|(''n'' + 1)}}-dimensional sobre el origen (SO(''n'' + 1)). Para ''n'' impar, la mayoría de estos movimientos no tienen puntos fijos en la esfera ''n'' y, estrictamente hablando, no son rotaciones "de la esfera"; estos movimientos a veces se denominan "traslaciones de [[William Kingdon Clifford|Clifford]]".<ref>{{cita libro|título=Geometry of Nonpositively Curved Manifolds|autor=Patrick Eberlein|editorial=University of Chicago Press|año=1996|url=https://books.google.es/books?id=j2Y71tZCTZUC&pg=PA363#v=onepage&q&f=false|isbn=9780226181981|páginas= 363 de 449|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> Las rotaciones sobre un punto fijo en geometrías elípticas e [[Espacio hiperbólico|hiperbólicas]] no son diferentes de las euclídeas.

La [[geometría afín]] y la [[geometría proyectiva]] no tienen una noción distinta de rotación.

=== En la relatividad ===
{{AP|Transformación de Lorentz}}

La aplicación del concepto de rotación tiene un papel destacado en la [[teoría de la relatividad especial]], ya que puede considerarse que opera en un espacio de cuatro dimensiones, [[espacio-tiempo]], abarcado por tres dimensiones espaciales y una ligada al tiempo. En la relatividad especial, este espacio es lineal y las rotaciones de cuatro dimensiones, llamadas [[Transformación de Lorentz|transformaciones de Lorentz]], tienen interpretaciones físicas prácticas. El [[espacio-tiempo de Minkowski]] no es un [[espacio métrico]], y el término "isometría" no es aplicable a la transformación de Lorentz.<ref name=SMITH>{{cita libro|título=Introducción a la relatividad especial|autor=James H. Smith|editorial=Reverte|año=2003|url=https://books.google.es/books?id=3vWvPu8I8VQC&pg=PA166&#v=onepage&q&f=false|isbn=9788429141757|páginas= 166 de 205|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

Si una rotación se produce solo en las tres dimensiones del espacio, es decir, en un plano inmerso en el espacio, entonces esta rotación es equivalente a una rotación espacial en tres dimensiones. Pero una rotación en un plano abarcado por una dimensión espacial y una dimensión temporal es una [[contracción (geometría)|contracción]], una transformación entre dos [[Sistema de referencia|marcos de referencia]] diferentes, que a veces se denomina "impulso de Lorentz". Estas transformaciones demuestran la naturaleza [[espacio pseudo-euclídeo|pseudo-euclídea]] del espacio de Minkowski. A veces se describen como ''[[contracción (geometría)|contracciones]]'' y aparecen con frecuencia en los [[diagrama de Minkowski|diagramas de Minkowski]]<ref name=MIT>{{cita libro|título=Relatividad especial, Volumen 1|autor=A. P. French|editorial=Reverte|año=1974|url=https://books.google.es/books?id=FH7ZTpGKcyUC&pg=PA92#v=onepage&q&f=false|isbn=9788429140972|páginas= 92 de 331|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> que visualizan una geometría pseudo-euclidiana (1+1) en dibujos planos. El estudio de la relatividad se ocupa del [[grupo de Lorentz]] generado por las rotaciones espaciales y las rotaciones hiperbólicas.<ref>Hestenes 1999, pp. 580–588.</ref>

Mientras que las rotaciones de {{math|SO(3)}}, en física y astronomía, corresponden a rotaciones de la [[esfera celeste]] como una [[Esfera|2-esfera]] en el espacio euclidiano tridimensional, las transformaciones de Lorentz de {{math|SO(3;1)<sup>+</sup>}} inducen transformaciones [[Transformación conforme|conformes]] de la esfera celeste. Es una clase más amplia de las transformaciones de una esfera, conocidas como [[transformación de Möbius]].

=== Rotaciones discretas ===
{{AP|Grupo puntual}}

Los grupos puntuales definen [[simetría]]s geométricas que mantiene constante por lo menos un punto fijo. Pueden existir en un [[espacio euclidiano]] de cualquier dimensión, y cada grupo puntual en la dimensión ''d'' es un subgrupo del [[grupo ortogonal]] O(''d''). Los grupos puntuales pueden ser considerados como un conjunto de [[matriz ortogonal|matrices ortogonales]] ''M'' que transforman un punto ''x'' en un punto ''y'', de forma que ''y = M.x'', donde el origen es el punto fijo.

Los elementos de los grupos puntuales pueden ser: rotaciones ([[Determinante (matemática)|determinante]] de ''M'' = 1) rotaciones impropias, reflexiones, rotaciones-reflexiones, o rotoreflexiones (determinante de ''M'' = -1). Todos los grupos puntuales de las rotaciones de dimensión ''d'' son subgrupos del grupo ortogonal especial SO(''d''). Los grupos puntuales están ligados a la [[geometría]] y a la [[cristalografía]].<ref>{{cita libro|título=Fundamentos de Cristalografia|editorial=ELIZCOM S.A.S|url=https://books.google.es/books?id=PTY0zdTKFXgC&pg=PA43#v=onepage&q&f=false|isbn=9789584404343|página= 43|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

== Importancia ==
Las rotaciones definen clases importantes de [[simetría]]: la [[simetría rotacional]] es una [[Invariante|invarianza]] con respecto a una ''rotación particular''. La [[simetría esférica]] es una invarianza con respecto a toda rotación sobre un eje fijo.

Como se indicó anteriormente, las rotaciones euclídeas se aplican a la [[mecánica del sólido rígido]]. Además, la mayor parte de la formalización matemática en [[física]] (como el [[cálculo vectorial]]) es invariante ante la rotación (véase [[movimiento de rotación]] para más aspectos físicos). Se piensa que las rotaciones euclídeas, y más generalmente, la simetría de Lorentz son [[Simetría en física|leyes de simetría en la naturaleza]].<ref name=FEYNMAN>{{cita libro|título=Lecciones de física de Feynman, I: Mecánica, radiación y calor|autor=Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands|editorial=Fondo de Cultura Economica|año=2019|url=https://books.google.es/books?id=2ceGDwAAQBAJ&pg=SA52-PA1&#v=onepage&q&f=false|isbn=9786071661210|páginas=613|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref> En contraste, la [[Paridad (física)|simetría de reflexión]] no es una ley de simetría que se precise en la naturaleza.

== Generalizaciones ==

Las matrices de valores [[Número complejo|complejos]] análogas a las matrices ortogonales reales son [[Matriz unitaria|matrices unitarias]]. El conjunto de todas las matrices unitarias en una dimensión determinada ''n'' forma un [[grupo unitario]] {{math|U(''n'')}} de grado ''n''; y su subgrupo que representa las rotaciones propias es el [[grupo unitario especial]] {{math|SU(''n'')}} de grado ''n''. Estas rotaciones complejas son importantes en el contexto de los [[espinor]]es. Los elementos de {{math|SU(2)}} se utilizan para parametrizar rotaciones euclidianas tridimensionales, así como las transformaciones respectivas de [[espín]] (véase [[teoría de la representación de SU(2)]]).<ref>{{cita libro|título=Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics|autor=Bruce A. Schumm|editorial=JHU Press|año=2004|url=https://books.google.es/books?id=SFkRor6nmG8C&pg=PT240#v=onepage&q&f=false|isbn=9780801898969|páginas=392|fechaacceso= 1 de junio de 2019}}</ref>

== Véase también ==
* [[Ejes del avión|Ejes de una aeronave]]
* [[Cartas sobre SO(3)]]
* [[Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones]]
* [[CORDIC]]
* [[Matriz de rotación]]
* [[Rotación irracional]]
* [[Orientación (geometría)]]
* [[Fórmula de rotación de Rodrigues]]
* [[Rotación de ejes]]
* [[Vórtice]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==

* {{cite book
|last=Hestenes
|first=David
|authorlink= David Hestenes
|title=New Foundations for Classical Mechanics
|publisher=[[Springer Science+Business Media|Kluwer Academic Publishers]]
|location=[[Dordrecht]]
|isbn=0-7923-5514-8
| year=1999}}

* {{Cite book
| last=Lounesto
| first=Pertti
| title=Clifford algebras and spinors
| publisher=[[Cambridge University Press]]
| location=Cambridge |isbn=978-0-521-00551-7
| year=2001}}

* {{cite news
|last=Brannon
|first=Rebecca M.
|authorlink=
|title=A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space.
|publisher=[[Laboratorio Nacional de Sandía]]
|location=[[Albuquerque]]
|url=http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/rotation.pdf
| year=2002}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Transformaciones geométricas|Rotación]]
[[Categoría:Simetría euclidiana]]
[[Categoría:Simetría rotacional]]