Ver el código de «Séptimo problema de Hilbert»

El '''séptimo problema de Hilbert''' (uno de los conocidos como veintitrés [[Problemas de Hilbert]], publicados en 1900 por el matemático alemán [[David Hilbert]]), se refiere a la [[Número irracional|irracionalidad]] y a la [[Número trascendente|trascendencia]] de ciertos números (en alemán, ''Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen'').

==Declaración del problema==
Se hacen dos preguntas específicas equivalentes:<ref>{{cite book|first=N. I. |last=Feldman|authorlink=Naum Il'ich Feldman |first2= Yu. V. |last2=Nesterenko|editor-last1=Parshin|editor-first1=A. N.|editor-last2=Shafarevich|editor-first2=I. R.|series=Number Theory IV |title=Transcendental Numbers|url=https://archive.org/details/numbertheorytran00pars |url-access=limited |date=1998|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-540-61467-8|pages=[https://archive.org/details/numbertheorytran00pars/page/n145 146]–147}}</ref>
# En un [[triángulo isósceles]], si la razón entre el [[ángulo]] de la base y el ángulo del vértice es [[Número algebraico|algebraica]] pero [[Número irracional|no racional]], ¿Entonces la razón entre la base y el lado es siempre [[Número trascendente|transcendente]]?
# ¿<math>a^b</math> es siempre un [[número trascendente]], para cualquier [[número algebraico]] <math>a \not\in \{0,1\}</math> y para cualquier [[número irracional]] algebraico <math>b</math>?

==Solución==
La pregunta (en la segunda forma) fue respondida afirmativamente por [[Aleksandr Guélfond]] en 1934 y refinada por [[Theodor Schneider]] en 1935. Este resultado se conoce como teorema de Gelfond o [[teorema de Gelfond-Schneider]]. La restricción a que ''b'' sea irracional es importante, ya que es fácil ver que <math>a^b</math> es algebraico para la ''a'' siendo un número algebraico y ''b'' racional).

Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso

: <math>b \ln{\alpha} + \ln{\beta} = 0</math>

de la [[forma lineal en logaritmos]] general, que fue estudiada por Gelfond y luego resuelta por [[Alan Baker]]. Se llama la conjetura de Gelfond o [[teorema de Baker]]. Baker recibió un [[Medalla Fields]] en 1970 por este logro.

==Véase también==
* [[Constante de Gelfond-Schneider|Número de Hilbert ''o'' constante de Gelfond–Schneider]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{cite book | editor=Felix E. Browder | editor-link=Felix Browder | title=Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems | series=[[American Mathematical Society]] | volume=XXVIII.1 | year=1976 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-1428-4 | first=Robert | last=Tijdeman | authorlink=Robert Tijdeman | chapter=On the Gel'fond–Baker method and its applications | pages=241–268 | zbl=0341.10026 }}
* {{cite book | first1=Yu. I. | last1=Manin | authorlink1=Yuri I. Manin | first2=A. A. | last2=Panchishkin | title=Introduction to Modern Number Theory | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | volume=49 | edition=Second | year=2007 | isbn=978-3-540-20364-3 | issn=0938-0396 | zbl=1079.11002 | page=61 }}

==Enlaces externos==
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob7 Traducción al inglés del discurso original de Hilbert]

{{Problemas de Hilbert}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Problemas de Hilbert|#07]]