Ver el código de «Simetría central»


{{distinguir|imagen especular}}
{{multiple image
|align= right|total_width= 230px
|image1= Tetrahedron with colored edges a.png
|image2= Tetrahedron with colored edges b.png
|footer= Tetraedros duales que son centralmente simétricos entre sí
}}
[[File:King of hearts fr.svg|thumb|Simetría central plana en un [[naipes|naipe]]]]

En [[geometría]], una '''simetía central'''<ref>{{Cita noticia|título=Definición de simetría — Definicion.de|url=http://definicion.de/simetria/|fechaacceso=11 de junio de 2017|periódico=Definición.de|idioma=es-ES}}</ref> (también llamada '''simetría respecto a un punto''', o '''equinversión anormal''') es una [[Transformación afín|transformación afín]] en la que cada punto se refleja a través de un [[punto fijo]] determinado llamado '''centro''' de la simetría.

En [[ciencias físicas]], y especialmente cuando se trata de [[Estructura cristalina|estructuras cristalinas]], se utilizan más comúnmente los términos '''simetría de inversión''', '''inversión central''' o '''centrosimetría'''.

==Principales propiedades==
*En una simetría central, y oral de la impresora  los segmentos homólogos son iguales, y la medida de los ángulos correspondientes también es igual. Dos ''puntos correspondientes'' P y P’ son '''simétricos''' respecto al punto O, cuando son iguales los vectores PO y OP’, es decir, cuando P y P’ equidistan del centro de simetría O, que se encuentra en el centro del segmento PP'.<ref>Moise. Downs: "Geometría Moderna"</ref>

* Expresado de otra forma, cualquier par de puntos centralmente simétricos A y A’ respecto a O, cumplen las dos siguientes condiciones: A y A’ están alineados, de modo que la recta que los une pasa por O; y la distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’.

*Una simetría central es una [[Involución (matemática)|involución]]: aplicarla dos veces equivale a la [[función identidad]], y también puede interpretarse como una [[homotecia]] con factor de escala {{math|−1}}. El punto de inversión también se llama [[centro de homotecia]].<ref name=AR>{{cita libro|título=Cuaderno de actividades 1 (2o Bachillerato)|autor=Alvaro Rendon|editorial=Editorial Tebar|año=2004|url=https://books.google.es/books?id=lItLzcKkeyMC&pg=PA45#v=onepage&q&f=false|isbn=9788473601153|páginas= 45 de 56|fechaacceso= 16 de octubre de 2023}}</ref>

*Se dice que un objeto que es invariante bajo una reflexión puntual posee '''simetría puntual'''; y si es invariante bajo una reflexión puntual a través de su [[Centro (geometría)|centro]], se dice que posee ''simetría central'' o que es ''centralmente simétrico''. Un [[grupo puntual]] que incluye un punto de reflexión entre sus simetrías se denomina ''[[centrosimetría|centrosimétrico]]''.

*En un [[espacio euclídeo]], una reflexión puntual es una [[isometría]] (dado que conserva las [[Distancia euclidiana|distancias]]). En un [[Plano (geometría)|plano]], una reflexión puntual es lo mismo que un giro de [[Vuelta (ángulo)|media vuelta]] (es decir, un [[movimiento de rotación]] de 180° o {{mvar|π}} [[radianes]]). Cuando el punto de reflexión está situado en el [[centroide]] de un objeto, una simetría central equivale a un [[Movimiento de rotación|''giro'']] de media vuelta.

* El punto O, centro de simetría, está situado entre cualquier par de puntos A y su simétrico A'. El simétrico de O es el propio punto O.
* La imagen simétrica central de un segmento es otro segmento de igual tamaño. El centro de simetría está en el centro del segmento total, y es el único punto simétrico de sí mismo.
* La imagen  de un triángulo, mediante simetría central, es otro triángulo congruente con el primero.
* La imagen de un polígono, mediante simetría central, es otro polígono congruente con el primero.
* Los polígonos regulares con un número par de lados tienen como centro de simetría su centro geométrico (baricentro); de modo que a cualquier punto de este polígono, le corresponde un homólogo que está en el mismo polígono.<ref>Moise. Downs: Ibídem</ref>
* El centro de un triángulo equilátero no es centro de simetría, en el sentido de que reproduzca la misma figura, dado que el homólogo de cada vértice sale del lado opuesto. La misma situación se da en el caso de un [[tetraedro]] regular, cuyo centro geométrico no es un punto de simetría central del poliedro.<ref>Moise. Downs: la misma obra</ref>
* El centro de un cuadrado es el centro de simetría de la figura. De igual manera, el centro de un cubo es centro de la simetría puntual del sólido. El centro de la esfera también es el centro de la simetría puntual de la figura.

==Terminología==
El término ''simetría central'' se utiliza ampliamente. Sin embargo, al ser una [[Involución (matemática)|transformación involutiva]] (lo que significa que tiene orden 2 por ser su propia función inversa: al aplicarse dos veces, se obtiene la [[función identidad]]), se identifica con otras aplicaciones denominadas ''reflexiones'' que también cuentan con esta propiedad. Más específicamente, el término ''[[Reflexión (matemática)|reflexión]]'' hace referencia a una simetría respecto a un ''[[hiperplano]]'' (un [[espacio afín]] <math>n-1</math> dimensional; como un punto en una [[recta]]; una recta en un [[Plano (geometría)|plano]]; o un plano en un espacio tridimensional), con el hiperplano fijo, pero en términos más generales. En consecuencia, la palabra ''reflexión'' también se aplica a cualquier involución del espacio euclídeo, y el conjunto fijo (un espacio afín de dimensión k, donde <math>1 \leq k \leq n-1</math>) se denomina ''espejo''. En la dimensión 1 coinciden, ya que un punto es un hiperplano respecto a la línea recta.

En términos del álgebra lineal, suponiendo que el origen es fijo, las involuciones son exactamente las aplicaciones representadas por [[matriz diagonalizable|matrices diagonalizables]] con todos los [[vector, valor y espacio propios|autovalores]] 1 o −1. La reflexión respecto a un hiperplano tiene un único valor propio −1 (y multiplicidad <math>n-1</math> en el valor propio 1), mientras que la reflexión puntual tiene solo el valor propio −1 (con multiplicidad ''n'').

El término ''inversión'' no debe confundirse con el de [[inversión (geometría)|geometría inversiva]], donde la ''inversión'' se define con respecto a una circunferencia.

==Ejemplos==
{|class="wikitable floatright"
|+ Ejemplos 2D
|- align=center
|[[File:Hexagonal parallelogon.png|180px]]<br />[[Paralelógono]] hexagonal
|[[File:Octagon g2 symmetry.png|120px]]<br />[[Octógono]]
|[[File:Cyclic symmetry 2.svg|thumb|Ejemplo de una figura bidimensional con simetría central, invariante bajo reflexión respecto a un punto]]
|[[File:Date à Symétrie Centrale.gif|thumb|9.10.2016, una fecha con simetría central]]
|}
En dos dimensiones, una reflexión puntual es lo mismo que un [[movimiento de rotación]] de 180 grados. En tres dimensiones, una reflexión puntual se puede describir como una rotación de 180 grados [[Función compuesta|compuesta]] con una reflexión a través del [[plano de rotación]], perpendicular al eje de rotación. En dimensión ''n'', las reflexiones puntuales conservan la [[Orientabilidad|orientación]] si ''n'' es par y revierten la orientación si ''n'' es impar.

==Fórmulas==
Dado un vector '''a''' en el espacio euclídeo '''R'''<sup>''n''</sup>, la fórmula para la reflexión de '''a''' a través del punto '''p''' es:

:<math>\mathrm{Ref}_\mathbf{p}(\mathbf{a})= 2\mathbf{p} - \mathbf{a}.</math>

En el caso en que '''p''' sea el origen, la reflexión puntual es simplemente el resultado de cambiar el signo al vector '''a'''.

En [[geometría euclídea]], la '''inversión''' de un [[Punto (geometría)|punto]] ''X'' con respecto a un punto ''P'' es un punto ''X''* tal que ''P'' es el punto medio del [[segmento]] con puntos finales ''X'' y ''X''*. En otras palabras, el [[vector]] de ''X'' a ''P'' es el mismo que el vector de ''P'' a ''X''*.

La fórmula para la inversión en ''P'' es:

:'''x'''* = 2'''p''' − '''x'''

donde '''p''', '''x''' y '''x'''* son los vectores de posición de ''P'', ''X'' y ''X''* respectivamente.

Esta [[Función (matemática)|aplicación]] es una [[transformación afín]] [[Involución (matemática)|involutiva]] [[Isometría|isométrica]], que tiene exactamente un [[punto fijo]] que es ''P''.

==La simetría central como un caso especial de escala uniforme u homotecia==
Cuando el punto de inversión ''P'' coincide con el origen, la reflexión del punto es equivalente a un caso especial de [[escalado (geometría)|escalado]], y coincide con una escala uniforme con factor de escala igual a −1. Este es un ejemplo de [[aplicación lineal]].

Cuando ''P'' no coincide con el origen, la reflexión puntual es equivalente a un caso especial de [[homotecia]]: una homotecia con [[centro de homotecia]] coincidente con P y factor de escala −1 (este es un ejemplo de [[transformación afín]] no lineal).

==Grupo de simetría central==
[[Image:Composing Point Reflections.png|thumbnail|La composición de dos reflexiones puntuales desplazadas en 2 dimensiones es una traslación]]

La [[Función compuesta|composición]] de reflexiones respecto a dos puntos es un [[Traslación (geometría)|traslación]]. Específicamente, la simetría central respecto a '''p''' seguida de la simetría central respecto a '''q''' es la traslación mediante el vector 2('''q'''&nbsp;− '''p''').

El conjunto que consta de todas las reflexiones y traslaciones de puntos es el [[Grupo de Lie|subgrupo de Lie]] del [[grupo euclídeo]]. Es un [[producto semidirecto]] de '''R'''<sup>''n''</sup> con un [[grupo cíclico]] de orden 2, actuando este último sobre '''R'''<sup>''n''</sup> por cambio de signo. Es precisamente el subgrupo del grupo euclídeo el que fija en un punto la [[recta del infinito]].

En el caso ''n'' = 1, el grupo de reflexión de puntos es el [[Grupo euclídeo|grupo de isometría]] completo de la recta.

==Simetría central en matemáticas==
* La reflexión de un punto a través del centro de una esfera produce su [[punto antipodal]].
* Un [[Espacio simétrico riemanniano|espacio simétrico]] es una [[variedad de Riemann]] con una reflexión isométrica en cada punto. Los espacios simétricos juegan un papel importante en el estudio de los [[Grupo de Lie|grupos de Lie]] y de la [[geometría de Riemann]].

==Simetría respecto a un punto de gráficos de funciones==
===Descripción general===
[[File:Función impar 01.png|mini|300px|Gráfico de una función simétrica respecto a un punto]]

Una tarea común en matemáticas escolares es demostrar que el [[Gráfica de una función|gráfico]] de una [[Función (matemática)|función]] <math>f\colon D\to\R</math> dada presenta simetría puntual en su [[Dominio de una función|dominio]] <math>D\subset\R</math> y con valores reales.

Si existe un punto <math>(a,b),</math> tal que para la función <math>f</math> la ecuación
:<math>f(a+x)-b=-f(a-x)+b</math>
se aplica a todos los <math>x\in D</math>, entonces la '''función es simétrica respecto al punto''' <math>(a,b).</math> La condición mencionada equivale a la expresión siguiente:
:<math>f(x)=2b-f(2a-x)</math>
como se demuestra haciendo la sustitución <math>x\to x-a</math>. En el caso especial de simetría puntual con respecto al origen <math>(0,0)</math>, esta ecuación se simplifica a

:<math>f(-x)=-f(x).</math>

Si es válido para todo <math>x</math>, existe simetría puntual con respecto al origen de coordenadas. Entonces la función se llama <math>f</math> [[Funciones par e impar|función impar]].

===Ejemplos===
====Simetría con respecto al origen de coordenadas====
{|class="floatright"
|-
||[[File:Función impar 02.png|mini|250px|Gráfico de la función f(x) = 2x<sup>5</sup>|center]]
||[[File:Función impar 03.png|mini|250px|Gráfica de la función f(x) = 2x<sup>5</sup> + 2|center]]
|}

Dada la función <math>f(x) = 2 x^5</math>, entonces:

:<math>f(-x)=2(-x)^5=2(-1)^5x^5=2(-1)x^5=-2x^5=-f(x)</math>

En consecuencia, la gráfica de la función es simétrica respecto a un punto, con el centro de simetría en el origen (0,0).

====Simetría con respecto al punto (0,2)====
Dada la función <math>f(x)=2x^5+2</math>, se seleccionan <math>a=0</math> y <math>b=2.</math> Entonces se aplica lo siguiente:

:<math>2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^5+2)=</math>
:<math>=4-(-2x^5+2)=4+2x^5-2=2x^5+2=f(x)</math>

En consecuencia, la gráfica de la función es simétrica con respecto al punto <math>(0,2)</math> y se cumple que:

:<math>-f(x)+2=f(-x)-2.</math>

Este método no permite determinar el punto de simetría <math>(0,2)</math>. Sin embargo, suele ser suficiente dibujar la gráfica de la función y deducir una estimación del punto de simetría.

==Simetría central en geometría analítica==
[[Archivo:3D point reflection.png|miniaturadeimagen|Reflexión puntual tridimensional.]]
Dado el punto <math>P(x,y)</math> y su reflexión <math>P'(x',y')</math> respecto al punto <math>C(x_c,y_c)</math>, este último es el [[punto medio]] del segmento <math>\overline{PP'}</math>;

: <math>\begin{cases}x_c=\frac{x+x'}{2} \\ y_c=\frac{y+y'}{2}\end{cases}</math>

Por lo tanto, las ecuaciones para encontrar las coordenadas del punto reflejado son

: <math>\begin{cases}x'=2x_c-x \\ y'=2y_c-y\end{cases}</math>

Particular es el caso en el que el punto C tiene coordenadas <math>(0,0)</math> (véase la [[Simetría central|sección anterior]]), y entonces:

: <math>\begin{cases}x'=-x \\ y'=-y\end{cases}</math>

==Simetría central y números complejos==
En el plano euclídeo, la simetría de centro Ω coincide con una rotación respecto al propio centro Ω, con un ángulo de 180° ({{math|π}} [[radianes]]).

En el [[plano complejo]], sea ''ω'' el [[Número complejo#afijo|afijo]] de Ω y ''z'' el afijo de ''M''.

Entonces, el afijo ''z' '' de ''M' '' es:

:<math>\,z'= {\rm e}^{{\rm i} \pi} (z - \omega) + \omega=-z + 2 \omega.</math>

==Características dimensionales==
En un [[espacio euclídeo]] de dimensión par, es decir, en un espacio de 2''N'' dimensiones, la inversión de un punto ''P'' es equivalente a ''N'' rotaciones de 180° (&Pi; [[radianes]]) en cada plano de un conjunto arbitrario de ''N'' planos mutuamente ortogonales que se cruzan en ''P''. Estas rotaciones son mutuamente conmutativas. Por lo tanto, la inversión en un punto en un espacio de dimensiones pares es una isometría que conserva la orientación, es decir, es una [[Grupo euclídeo|isometría directa]].

En un [[espacio euclídeo]] de dimensión impar, es decir, en un espacio de (2''N''&nbsp;+&nbsp;1) dimensiones, es equivalente a ''N'' rotaciones de 180° (&Pi; [[radianes]]) en cada plano de un conjunto arbitrario de ''N'' planos mutuamente ortogonales que se cruzan en ''P'', combinados con la reflexión en el subespacio de 2''N'' dimensiones abarcado por estos planos de rotación. Por lo tanto, ''invierte'' en lugar de preservar la [[Orientabilidad|orientación]], y por lo tanto, es una [[Grupo euclídeo|isometría indirecta]].

Geométricamente en 3D equivale a un [[movimiento de rotación]] alrededor de un eje que pasa por ''P'' en un ángulo de 180°, combinado con la reflexión en el plano que pasa por ''P'' y que es perpendicular al eje. El resultado no depende de la [[Orientación (geometría)|orientación]] (en el otro sentido) del eje. Las notaciones para el tipo de operación, o el tipo de grupo que genera, son <math>\overline{1}</math>, ''C''<sub>''i''</sub>, ''S''<sub>2</sub> y 1&times;. El tipo del grupo es uno de los tres tipos de los [[grupo de simetría|grupos de simetría]] en 3D sin ninguna [[simetría rotacional]] pura (véase [[simetría cíclica en tres dimensiones|simetrías cíclicas]] con ''n''&nbsp;=&nbsp;1).

Los siguientes [[grupos de puntos en tres dimensiones]] contienen la inversión:
*''C''<sub>''n''h</sub> y ''D''<sub>''n''h</sub> para ''n'' pares
*''S''<sub>2''n''</sub> y ''D''<sub>''n''d</sub> para ''n'' impar
*''T''<sub>h</sub>, ''O''<sub>h</sub> y ''I''<sub>h</sub>

Estrechamente relacionada con la inversión en un punto está la [[Reflexión (matemática)|reflexión]] con respecto a un [[Plano (geometría)|plano]], que puede considerarse como una ''inversión respecto a un plano''.

==Inversión respecto al origen==

La inversión respecto al origen corresponde a una [[Opuesto|inversión aditiva]] del vector de posición, y también a la [[multiplicación escalar]] por &minus;1. La operación conmuta con cualquier otra [[aplicación lineal]], pero no con una [[Traslación (geometría)|traslación]], dado que está en el [[Centro de un grupo|centro]] del [[grupo lineal general]]. Cuando se menciona una ''inversión'' sin indicar respecto a ''un punto'', a ''una recta'' o a ''un plano'', esto significa que la inversión se verifica respecto al origen de coordenadas. En física, la reflexión tridimensional a través del origen también se denomina [[Paridad (física)|transformación de paridad]].

En matemáticas, una '''reflexión a través del origen''' se refiere a la reflexión puntual del [[espacio euclídeo]] '''R'''<sup>''n''</sup> a través del [[Origen de coordenadas|origen]] de [[coordenadas cartesianas]]. La reflexión a través del origen es una [[transformación ortogonal]], correspondiente a la [[multiplicación escalar]] por <math>-1</math>, y también se puede escribir como <math>-I</math>, donde <math>I</math> es la [[matriz identidad]]. En tres dimensiones, esta aplicación hace corresponder <math>(x, y, z) \mapsto (-x, -y, -z)</math>, y así sucesivamente.

===Representaciones===
Como [[matriz diagonal]], está representada en cada base por una matriz con <math>-1</math> en la diagonal y, junto con la identidad, es el [[Centro de un grupo|centro]] del [[grupo ortogonal]] <math>O(n)</math>.

Es un producto de ''n'' reflexiones ortogonales (reflexión a través de los ejes de cualquier [[base ortogonal]]); teniendo en cuenta que las reflexiones ortogonales conmutan.

De hecho, en dos dimensiones, es una rotación de 180 grados, y en la dimensión <math>2n</math>, es una rotación de 180 grados en ''n'' planos ortogonales.{{efn|La expresión "planos ortogonales" significa que todos los elementos son ortogonales y los planos se cruzan solo en el origen, no que se crucen en una recta y tengan [[ángulo diedro|ángulos diedros]] de 90°.}} Se observa de nuevo que las rotaciones en los planos ortogonales conmutan.

===Propiedades===
Tiene determinante <math>(-1)^n</math> (proveniente de la representación matricial o como producto de reflexiones). Por lo tanto, conserva la orientación en una dimensión par, por lo que es un elemento del [[grupo ortogonal]] SO (2''n''). La orientación se invierte en una dimensión impar, por lo que no es un elemento de SO(2''n''+1) y en su lugar proporciona una [[Sucesión exacta|división]] de la aplicación <math>O(2n+1) \to \pm 1</math>, mostrando ese <math>O(2n + 1)= SO(2n + 1) \times \{\pm I\}</math> como [[producto directo]].

* Junto con la identidad forma el [[Centro de un grupo|centro]] del [[grupo ortogonal]].
* Conserva cada forma cuadrática, es decir, <math>Q(-v)= Q(v)</math> y, por lo tanto, también es un elemento de cada [[grupo ortonormal generalizado]].
* Es igual a la identidad si y solo si la característica es 2.
* Es el [[elemento más largo de un grupo de Coxeter|elemento más largo]] del [[grupo de Coxeter]] de [[permutaciones signadas]].

De manera análoga, es un elemento más largo del grupo ortogonal, con respecto al conjunto generador de reflexiones: todos los elementos del grupo ortogonal tienen [[función largo|largo]] como máximo ''n'' con respecto al conjunto generador de reflexiones,{{efn|A esto le sigue la clasificación de las transformadas ortogonales como sumas directas de rotaciones y reflexiones, lo que se desprende del [[teorema de análisis espectral]], por ejemplo.}} y la reflexión a través del origen tiene longitud ''n'', aunque no es única en esto: otras combinaciones máximas de rotaciones (y en su caso, también de reflexiones) a su vez presentan longitud máxima.

===Geometría===
En SO(2''r''), la reflexión a través del origen es el punto más alejado del elemento identidad con respecto a la métrica habitual. En O(2''r'' + 1), la reflexión a través del origen no está en SO(2''r''+1) (está en el componente de no identidad), y no hay un sentido natural en el que es un ''punto más lejano'' que cualquier otro punto en el componente sin identidad, pero proporciona un [[espacio topológico puntado]] en el otro componente.

===Álgebras de Clifford y grupos de espín===
{{VT|Álgebra de Clifford}}
{{VT|Grupo espinorial}}

''No'' debe confundirse con el elemento <math>-1 \in \text{Espín }(n)</math> en el [[grupo espinorial]]. Esto es particularmente confuso para grupos de giro pares, como <math>-I \in SO(2n)</math>, y por lo tanto en <math>\text{Espín }(n)</math> hay <math>-1</math> y 2 levantamientos de <math>-I</math>.

La reflexión a través de la identidad se extiende a un [[automorfismo]] de un [[álgebra de Clifford]], llamado ''involución principal'' o ''involución de grado''.

La reflexión a través de la identidad se eleva a un [[pseudoescalar (álgebra de Clifford)|pseudoescalar]].

== Simetría central y coordenadas ==
[[File:Simetría Central Ejemplo.png|mini|300px|Gráfico del ejemplo que figura en la tabla]]

Los dos triángulos siguientes son simétricos con respecto al origen de coordenadas O:

{| class="wikitable"
|-
! Coordenadas de los puntos!! Coordenadas de sus simétricos
|-
| A=(1, 2)  || A’=(-1, -2)
|-
| B=(3, 1)  || B’=(-3, -1)
|-
| C=(2, -1) || C’=(-2, 1)
|}

Para pasar de un punto a su simétrico, se cambia el signo de sus coordenadas:

:Si P =(x,y); entonces P’=(-x,-y).

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos con respecto de origen de coordenadas, tienen sus abscisas y ordenadas de signo contrario.

Las ecuaciones de la simetría central son:

x’ = -x, y’ = -y

===Ejemplos===
#Sea la circunferencia definida por <math>x^2+y^2=r^2 </math> (1): es simétrica respecto del centro de simetría (0;0) puesto que si P(x;y) satisface la ecuación de la circunferencia; el punto P(-x;-y) también lo hace.
# Sea la elipse definida por <math>\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 </math>. Se comprueba que es simétrica respecto del origen de coordenadas (0;0), puesto que tanto P(x:y) como P'(-x;-y) satisfacen su ecuación.<ref>Problemas Geometría Analítica de Kleténik</ref>

=== En el espacio tridimensional ===
* Dado un punto P(x, y, z) y centro de simetría el origen de coordenadas, el simétrico de P es el punto P' (-x, -y, -z)
* Dado un punto P (en el plano o en el espacio ℝ<sup>3</sup>) y el centro de simetría Q, se hallan las coordenadas del simétrico P', mediante la ecuación de vectores:
::2Q = P + P', o bien:
::P' = 2Q - P, igualando las coordenadas hómólogas, generalizables a cualquier espacio euclídeo.<ref>Lehmann: "Geometría analítica"</ref>

=== Composición de simetrías ===

==== Con el mismo centro ====
* Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar una segunda transformación, el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.

==== Con distinto centro ====
* La composición de dos simetrías centrales con distinto centro P y Q (Sp y Sq) es una traslación de vector el doble que el vector que une Q y P.

==Véase también==
{{lista de columnas|3|
*[[Involución afín]]
*[[Geometría inversiva]]
*[[Álgebra de Clifford]]
*[[Congruencia (geometría)]]
*[[Medida de Estermann]]
*[[Grupo euclídeo]]
*[[Medida de Kovner-Besicovitch]]
*[[Grupo ortogonal]]
*[[Paridad (física)]]
*[[Reflexión (matemática)]]
*[[Espacio simétrico riemanniano]]
*[[Grupo espinorial]]
}}

==Referencias==
{{listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Simetría euclidiana]]
[[Categoría:Funciones]]
[[Categoría:Álgebras de Clifford]]
[[Categoría:Formas cuadráticas]]