Ver el código de «Simetría octaédrica»

{{Grupo de puntos en 3d}}
[[Archivo:Full octahedral group; cycle graph.svg|thumb|330px|[[grafo cíclico (álgebra)|Grafo cíclico]]<br />Los cuatro ciclos hexagonales tienen en común la inversión (el nudo negro en la parte superior). Los hexágonos son simétricos, por lo que por ejemplo 3 y 4 están en el mismo ciclo]]

La '''simetría octaédrica'''<ref name=PHB>{{cita libro|título=Point Group Symmetry Applications: Methods and Tables|autor=Philip H. Butler|editorial=Springer Science & Business Media|año=2012|url=https://books.google.es/books?id=jmDSBwAAQBAJ&pg=PA205#v=onepage&q&f=false|isbn=9781461331414|páginas= 205 de 576|fechaacceso= 22 de agosto de 2022}}</ref> (también denominada '''simetría octaedral''' o '''simetría del octaedro''') es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 24 simetrías rotacionales (o que conservan la [[orientación (espacio vectorial)|orientación]]) y un [[orden de simetría]] de 48, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un [[octaedro regular]].

El [[cubo]] tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro [[poliedro conjugado]] (también denominado ''dual'') del octaedro.

El grupo de simetrías que conservan la orientación es ''S''<sub>4</sub>, el [[grupo simétrico]] o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una de esas simetrías para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo.

==Detalles==
La '''simetría octaédrica''' '''quiral''' y '''completa''' (o '''aquiral''') son las [[grupos de puntos en tres dimensiones|simetrías de puntos discretos]] (o equivalentemente, [[Anexo:Grupos de simetría esférica|simetrías en la esfera]]) con los [[grupo de simetría]] más grandes compatibles con la [[simetría traslacional]]. Están entre los [[Sistema cristalino|grupos de puntos cristalográficos]] del [[sistema cristalino cúbico]].

{|class="wikitable col2cen col4cen"
|+ [[Conjugación (teoría de grupos)|Conjugados]]
!colspan="2"|Elementos de O
!colspan="2"|Inversiones de elementos de O
|-
|Identidad
|style="background:#fff;"|'''0'''
|Inversión
|style="background:#ffff7f;"|'''0<nowiki>'</nowiki>'''
|-
|3 &times; rotación de 180° axial cuádruple
|style="background:#fff;"|'''7, 16, 23'''
|3 &times; reflexión en un plano perpendicular a un eje cuádruple
|style="background:#ffff7f;"|'''7', 16', 23<nowiki>'</nowiki>'''
|-
|8 &times; rotación de 120° axial triple
|style="background:#fff;"|3, 4, 8, 11, 12, 15,  19, 20
|8 &times; rotorreflexión de 60°
|style="background:#ffff7f;"|3', 4', 8', 11', 12', 15',  19', 20'
|-
|6 &times; rotación de 180° axial doble
|style="background:#3375ff;"|1', 2', 5', 6', 14', 21'
|6 &times; reflexión doble en un plano perpendicular a un eje
|style="background:#33d42a;"|1, 2, 5, 6, 14, 21
|-
|6 &times; rotación de 90° axial cuádruple
|style="background:#ef2500;"|9', 10', 13', 17', 18', 22'
|6 &times; rotoreflection by 90°
|style="background:#ffa200;"|9, 10, 13, 17, 18, 22
|}

{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"|Ejemplos
|-
|[[Archivo:Cube permutation 0 0.svg|180px]]<br /><math>(0,0)= 0</math>
|[[Archivo:Cube permutation 3 0.svg|180px]]<br /><math>(3,0)= 7</math>
|[[Archivo:Cube permutation 0 3.svg|180px]]<br /><math>(0,3)= 3</math>
|[[Archivo:Cube permutation 7 1.svg|180px]]<br /><math>(7,1)= 1'</math>
|[[Archivo:Cube permutation 4 5.svg|180px]]<br /><math>(4,5)= 9'</math>
|-
|[[Archivo:Cube permutation 7 0.svg|180px]]<br /><math>(7,0)= 0'</math>
|[[Archivo:Cube permutation 4 0.svg|180px]]<br /><math>(4,0)= 7'</math>
|[[Archivo:Cube permutation 7 3.svg|180px]]<br /><math>(7,3)= 3'</math>
|[[Archivo:Cube permutation 0 1.svg|180px]]<br /><math>(0,1)= 1</math>
|[[Archivo:Cube permutation 3 5.svg|180px]]<br /><math>(3,5)= 9</math>
|}

Como [[grupo hiperoctaédrico]] de dimensión 3, el grupo octaédrico completo es el [[producto en corona]] <math>S_2 \wr S_3 \simeq S_2^3 \rtimes S_3</math>,<br /> y una forma natural de identificar sus elementos es como pares <math>(m, n)</math> con <math>m \in [0, 2^3)</math> y <math>n \in [0, 3!)</math>. <br />Pero como también es el [[Producto directo de grupos|producto directo]] <math>S_4 \times S_2</math>, es posible simplemente identificar los elementos del subgrupo tetraédrico ''T<sub>d</sub>'' como <math>a \in [0, 4!)</math> y sus inversiones como <math>a'</math>.

Por ejemplo, la identidad <math>(0, 0)</math> se representa como <math>0</math> y la inversión <math>(7, 0)</math> como <math>0'</math>. <br />
<math>(3, 1)</math> se representa como <math>6</math> y <math>(4, 1)</math> como <math>6'</math>.

Una [[Rotación impropia|rotorreflexión]] es una combinación de rotación y reflexión.

{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"|Ilustración de las rotorreflexiones
|-
|
{{multiple image
|align= left
|image1= Cube permutation 4 0.svg
|width1=  230
|caption1= La reflexión <math>7'</math>
|image2= Cube permutation 0 4.svg
|width2=  230
|caption2= aplicada en la rotación de 120° <math>4</math>
|image3= Cube permutation 4 4.svg
|width3=  230
|caption3= proporciona la rotorreflexión de 60° <math>8'</math>.
}}
<br /><math>7' \circ 4= 8'</math>
|-
|
{{multiple image
|align= left
|image1= Cube permutation 4 0.svg
|width1=  230
|caption1= La reflexión <math>7'</math>
|image2= Cube permutation 1 1.svg
|width2=  230
|caption2= aplicada sobre la rotación de 90° <math>22'</math>
|image3= Cube permutation 5 1.svg
|width3=  230
|caption3= proporciona la rotorreflexión de 90° <math>17</math>.
}}
<br /><math>7' \circ 22'= 17</math>
|}

===Simetría octaédrica quiral===
'''O''', '''432''', o [4,3]<sup>+</sup> de orden 24, son distintas notaciones usadas para denominar a la '''simetría octaédrica quiral''' o '''simetría octaédrica rotacional'''. Este grupo es como la [[simetría tetraédrica]] ''T'' quiral, pero los ejes C<sub>2</sub> ahora son ejes C<sub>4</sub>, y además hay 6 ejes C<sub>2</sub>, a través de los puntos medios de las aristas del cubo. ''T<sub>d</sub>'' y ''O'' son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a ''S''<sub>4</sub>, el [[grupo simétrico]] de 4 objetos. ''T<sub>d</sub>'' es la unión de ''T'' y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de ''O'' \ ''T'' con inversión. ''O'' es el grupo de rotación del [[cubo]] y del [[octaedro]] regular.

{|
|- valign="top"
||
{|class=wikitable
!Proyección ortogonal
!colspan=3|Proyección estereográfica
|-
!Doble
!Cuádruple
!Triple
!Doble
|-
|[[Archivo:Sphere_symmetry_group_o.png|150px]]
|[[Archivo:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D4_gyrations.png|150px]]
|[[Archivo:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D3_gyrations.png|150px]]
|[[Archivo:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D2_gyrations.png|150px]]
|-
|colspan=4| <center>'''Simetría octaédrica quiral'''</center>
|}
|valign=top|
{|class=wikitable align=right
|- 
!colspan=3|Ejes de giro
|- align=center
!C<sub>4</sub><br />[[Archivo:Monomino.png|12px]]||C<sub>3</sub><br />[[Archivo:3-fold rotation axis.svg|12px]]||C<sub>2</sub><br />[[Archivo:Rhomb.svg|12px]]
|- align=center
|3||4||6
|}
|}

===Simetría octaédrica completa===
'''O<sub>h</sub>''', '''*432''', [4,3], o '''m3m''' de orden 48, son formas utilizadas para denominar la '''simetría octaédrica aquiral''' o '''simetría octaédrica completa'''. Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que ''O'', pero con planos de simetría especular, que comprenden tanto los planos de ''T<sub>d</sub>'' como los de ''T<sub>h</sub>''. Este grupo es isomorfo a ''S''<sub>4</sub>.''C''<sub>2</sub>, y es el grupo de simetría completa compartido por el [[cubo]] y el [[octaedro]]. Es el [[grupo hiperoctaédrico]] para ''n'' = 3. Véanse también las [[Cubo|isometrías del cubo]].

{{multiple image
|align= left
|total_width= 450
|image1= Polyhedron pair 6-8.png|width1=4000|height1=4000
|caption1= [[Compuesto de cubo y octaedro]]
|image2= Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|width2=4000|height2=4000
|caption2= Cada cara del [[hexaquisoctaedro]] es un dominio fundamental
|image3= Sphere symmetry group oh.png|width3=649|height3=625
|caption3= El grupo octaédrico ''O''<sub>h</sub> con su dominio fundamental
}}

Con los ejes cuádruples como ejes de coordenadas, un dominio fundamental de '''O<sub>h</sub>''' viene dado por 0 ≤ ''x'' ≤ ''y'' ≤ ''z''. Un objeto con esta simetría se caracteriza por la parte del objeto en el dominio fundamental, por ejemplo el [[cubo]] viene dado por ''z'' = 1, y el [[octaedro]] por {{nowrap|''x'' + ''y'' + ''z'' {{=}} 1}} (o las desigualdades correspondientes, para obtener el sólido en lugar de la superficie).
''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 1 da un poliedro con 48 caras, el disdiaquis dodecaedro.

Las caras son 8 por 8 combinadas con caras más grandes para ''a'' = ''b'' = ''0'' (cubo) y 6 por 6 para ''a'' = ''b'' = ''c'' (octaedro).

Las 9 líneas especulares de simetría octaédrica completa se pueden dividir en dos subgrupos de 3 y 6 (dibujados en púrpura y rojo), que se traducen en dos subsimetrías ortogonales: [[simetría diédrica en tres dimensiones|D<sub>2h</sub>]] y [[Simetría tetraédrica|T<sub>d</sub>]]. La simetría D<sub>2h</sub> se puede duplicar a D<sub>4h</sub> restaurando 2 planos de simetría especular desde una de las tres orientaciones.
{{Clear}}

{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=2|Simetría octaédrica y subgrupos reflexivos
|- valign=top
|
{|class=wikitable
|-
!rowspan=2|[[Proyección ortogonal|Proyección<br />ortográfica]]
!colspan=3|[[Proyección estereográfica]]
|-
!Cuádruple
!Triple
!Doble
|-
!colspan=4|O<sub>h</sub>, [4,3], {{DCD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}, simetría octaédrica completa (3+6 espejos)
|-
|[[Archivo:Sphere symmetry group oh.png|100px]]
|[[Archivo:Disdyakis dodecahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Archivo:Disdyakis dodecahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Archivo:Disdyakis dodecahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|T<sub>d</sub>, [3,3]=[1<sup>+</sup>,4,3], {{DCD|node_h0|4|node_c1|3|node_c1}}= {{DCD|nodeab_c1|split2|node_c1}}, subgrupo tetraédrico (6 espejos)
|-
|[[Archivo:Sphere symmetry group td.png|100px]]
|[[Archivo:Tetrakis hexahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Archivo:Tetrakis hexahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Archivo:Tetrakis hexahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|C<sub>3v</sub>, [3], {{DCD|node_c1|3|node_c1}}, subgrupo diédrico (3 espejos)
|-
![[Archivo:Trigonal_hosohedron_ortho.png|100px]]
|[[Archivo:trigonal hosohedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Archivo:trigonal hosohedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Archivo:trigonal hosohedron stereographic D2.png|100px]]
|}
|
{|class=wikitable
|-
!rowspan=2|Proyección<br />ortográfica
!colspan=3|Proyección estereográfica
|-
!Cuádruple
!Triple
!Doble
|-
!colspan=4|D<sub>4h</sub>, [4,2], {{DCD|node_c2|4|node_c1|2|node_c3}} subgrupo diédrico (1+2+2 espejos)
|-
![[Archivo:Octagonal bipyramidal orthogonal.png|100px]]
|[[Archivo:octagonal bipyramidal stereographic D4.png|100px]]
|[[Archivo:octagonal bipyramidal stereographic D3.png|100px]]
|[[Archivo:octagonal bipyramidal stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|D<sub>2h</sub>, [2,2]=[4,3*], {{DCD|node_c2|2|node_c1|2|node_c3}}= subgrupo diédrico (1+1+1 espejos)
|-
![[Archivo:Octahedron orthographic.png|100px]]
|[[Archivo:octahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Archivo:octahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Archivo:octahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|C<sub>4v</sub>, [4], {{DCD|node_c2|4|node_c1}}, subgrupo diédrico (2+2 espejos)
|-
![[Archivo:Tetragonal_hosohedron_ortho.png|100px]]
|[[Archivo:Tetragonal hosohedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Archivo:Tetragonal hosohedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Archivo:Tetragonal hosohedron stereographic D2.png|100px]]
|}
|}

===Matrices de rotación===
Tómese el conjunto de todas las [[Matriz permutación|matrices de permutación]] de orden 3×3 de la matriz identidad, y asígnese un signo + o − a cada uno de los tres números 1. Existen <math>3!=6</math> permutaciones y <math>2^3=8</math> combinaciones de signos para un total de 48 matrices, obteniéndose el grupo octaédrico completo. 24 de estas matrices tienen un [[determinante (matemática)|determinante]] de +1; estas son las matrices de rotación del grupo octaédrico quiral. Las otras 24 matrices tienen un determinante de −1 y corresponden a una reflexión o inversión.

Se necesitan tres matices generadores de reflexión para la simetría octaédrica, que representan los tres planos de simetría especular de un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]]. El producto de las reflexiones produce 3 generadores rotacionales.

{|class=wikitable
|+ [4,3], {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
![[Rotación impropia|Rotorreflexiones]]
|-
!Generadores
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>1</sub>
! R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|6|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||4||3||2||6
|- align=center
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0& 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

===Subgrupos de simetría octaédrica completa===

{|align=left
|
{{multiple image
|align= left
|total_width= 610
|image1= Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg
|width1=  1155|height1= 554
|caption1= O
|image2= Subgroup of Oh; S4 green orange; cycle graph.svg
|width2= 1155|height2= 554
|caption2= T<sub>d</sub>
|image3= Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg
|width3= 950|height3= 422
|caption3= T<sub>h</sub>
|footer= Grafos cíclicos de los subgrupos de orden 24
}}
|-
|
[[Archivo:Full octahedral group; subgroups Hasse diagram.svg|left|thumb|600px|Subgrupos ordenados en un diagrama de Hasse]]
|- 
|
{{multiple image
|align= left
|total_width= 610
|image1= Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; rotational.svg
|width1=  782|height1= 990
|caption1= Subgrupos de rotación
|image2= Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; reflective.svg
|width2= 861|height2= 1200
|caption2= Subgrupos de reflexión
|image3= Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; inversion.svg
|width3=  1100|height3= 1300
|caption3= Subgrupos conteniendo inversión

}}
|}

{|class="wikitable sortable"
![[notación de Schoenflies|Schoe.]]
!colspan=2|[[notación de Coxeter|Coxeter]]
![[notación orbifold|Orb.]]
![[notación de Hermann–Mauguin|H-M]]
![[Anexo:Grupos finitos de orden bajo|Estructura]]
![[grafo cíclico (algebra)|Cíc.]]
![[número de simetría|Orden]]
![[Índice (teoría de grupos)|Índice]]
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|O<sub>h</sub>||[4,3]||{{DCD|node|4|node|3|node}}||*432||m{{overline|3}}m||[[Grupo simétrico|S<sub>4</sub>]]×S<sub>2</sub>||||48||1
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|T<sub>d</sub>||[3,3]||{{DCD|node|3|node|3|node}}||*332||{{overline|4}}3m||S<sub>4</sub>||[[Archivo:Subgroup of Oh; S4 green orange; cycle graph.svg|40px]]||24||2
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<sub>4h</sub>||[2,4]||{{DCD|node|2|node|4|node}}||*224||4/mmm||D<sub>2</sub>×D<sub>8</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC2D8.svg|25px]]||16||3
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<sub>2h</sub>||[2,2]||{{DCD|node|2|node|2|node}}||*222||mmm|||D<sub>2</sub><sup>3</sup>=D<sub>2</sub>×D<sub>4</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC2x3.svg|25px]]||8||6
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>4v</sub>||[4]||{{DCD|node|4|node}}||*44||4mm||[[Grupo diedral|D<sub>8</sub>]]||[[Archivo:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8||6
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>3v</sub>||[3]||{{DCD|node|3|node}}||*33||3m||D<sub>6</sub>=S<sub>3</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6||8
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>2v</sub>||[2]||{{DCD|node|2|node}}||*22||mm{{Exp|2}}||D<sub>2</sub><sup>2</sup>=D<sub>4</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4||12
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>s</sub>=C<sub>1v</sub>||[&nbsp;]||{{DCD|node}}||*||{{overline|2}} or m||D<sub>2</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2||24
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|T<sub>h</sub>||[3<sup>+</sup>,4]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node}}||3*2||m{{overline|3}}||[[Grupo alternante|A<sub>4</sub>]]×S<sub>2</sub>||[[Archivo:Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg|40px]]||24||2
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|C<sub>4h</sub>||[4<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|4|node_h2|2|node}}||4*||4/m||[[Grupo cíclico|Z<sub>4</sub>]]×D<sub>2</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC2C4.svg|25px]]||8||6
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<sub>3d</sub>||[2<sup>+</sup>,6]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|6|node}}||2*3||{{overline|3}}m||D<sub>12</sub>=Z<sub>2</sub>×D<sub>6</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD12.svg|25px]]||12||4
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<sub>2d</sub>||[2<sup>+</sup>,4]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|4|node}}||2*2||{{overline|4}}2m||D<sub>8</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8||6
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|C<sub>2h</sub>= D<sub>1d</sub>||[2<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node}}||2*||2/m||Z<sub>2</sub>×D<sub>2</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4||12
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>6</sub>||[2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|6|node_h2}}||3×||{{overline|3}}||Z<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>3</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC6.svg|25px]]||6||8
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>4</sub>||[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|4|node_h2}}||2×||{{overline|4}}||Z<sub>4</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC4.svg|25px]]||4||12
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>2</sub>||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}||×||{{overline|1}}||S<sub>2</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2||24
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|O||[4,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}||432||432||S<sub>4</sub>||[[Archivo:Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg|40px]]||24||2
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|T||[3,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}||332||23||A<sub>4</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniA4.svg|25px]]||12||4
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>4</sub>||[2,4]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|4|node_h2}}||224||422||D<sub>8</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8||6
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>3</sub>||[2,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|3|node_h2}}||223||322||D<sub>6</sub>=S<sub>3</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6||8
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>2</sub>||[2,2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}||222||222||D<sub>4</sub>=Z<sub>2</sub><sup>2</sup>||[[Archivo:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4||12
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>4</sub>||[4]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|4|node_h2}}||44||4||Z<sub>4</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC4.svg|25px]]||4||12
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>3</sub>||[3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2}}||33||3||Z<sub>3</sub>=A<sub>3</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC3.svg|25px]]||3||16
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>2</sub>||[2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}||22||2||Z<sub>2</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2||24
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>1</sub>||[&nbsp;]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2}}||11||1||Z<sub>1</sub>||[[Archivo:GroupDiagramMiniC1.svg|25px]]||1||48
|}

{|width=480 
|[[Archivo:Octahedral_symmetry_tree_conway.png|480px]]
|-
|Subgrupos octaédricos en [[notación de Coxeter]]<ref>John Conway, ''The Symmetries of Things'', Fig 20.8, p280</ref>
|}

==Isometrías del cubo==<!-- This section is linked from [[Conjugación (teoría de grupos)]] -->
[[Archivo:48 элементов симметрии куба.gif|thumb|right|Los 48 elementos de simetría de un cubo]]

El cubo tiene 48 isometrías (elementos de simetría), formando el [[grupo de simetría]] ''O''<sub>''h''</sub>, isomorfo al [[Grupo simétrico|grupo ''S''<sub>4</sub>]]&thinsp;×&thinsp;Z<sub>2</sub>. Se pueden clasificar de la siguiente manera:

*''O'' (la identidad y 23 rotaciones propias) con los siguientes [[conjugación (teoría de grupos)|conjugados]] (entre paréntesis se dan las permutaciones de las diagonales del sólido y la [[Cuaterniones y rotación en el espacio|representación mediante el cuaternión unidad]]):
**Identidad (identidad; 1)
**Rotación sobre un eje desde el centro de una cara al centro de la cara opuesta en un ángulo de 90°: 3 ejes, 2 por eje, juntos 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1&thinsp; ±&thinsp;''i''&#8202;)/{{raíz|2}}, etc.)
**Ídem por un ángulo de 180°: 3 ejes, 1 por eje, juntos 3 ((1 2) (3 4), etc.; ''i'', ''j'', ''k'')
**Rotación sobre un eje desde el centro de una arista hasta el centro de la arista opuesta en un ángulo de 180°: 6 ejes, 1 por eje, juntos 6 ((1 2), etc.; ((''i' '&thinsp;±&thinsp;''j''&#8202;)/{{raíz|2}}, etc.)
**Rotación sobre la diagonal del sólido en un ángulo de 120°: 4 ejes, 2 por eje, juntos 8 ((1 2 3), etc.; (1&thinsp;±&thinsp;''i''&thinsp;±&thinsp;' 'j''&thinsp;±&thinsp;''k'')/2)
*Lo mismo con [[Simetría central|inversión]] ('''x''' se asigna a −'''x''') (también 24 isometrías). Téngase en cuenta que la rotación en un ángulo de 180° alrededor de un eje combinado con la inversión es solo un reflejo en el plano perpendicular. La combinación de inversión y rotación alrededor de la diagonal del cuerpo en un ángulo de 120° es una rotación alrededor de la diagonal del cuerpo en un ángulo de 60°, combinada con la reflexión en el plano perpendicular (la rotación en sí misma no se corresponde con el cubo; la intersección del plano de reflexión con el cubo es un [[hexágono]] regular).

Una isometría del cubo se puede identificar de varias maneras:
*Por las caras, tres caras adyacentes dadas (por ejemplo, 1, 2 y 3 que se asignan en un dado)
*Por la imagen de un cubo con una marca no simétrica en una cara: la cara con la marca, si es normal o especular, y la orientación
*Por una permutación de las cuatro diagonales del cuerpo (cada una de las 24 permutaciones es posible), combinada con una clave para determinar la inversión del cubo, o no

Para cubos con colores o marcas (como las que tienen los [[dado]]s), el grupo de simetría es un subgrupo de ''O<sub>h</sub>''.

Ejemplos:
*''C''<sub>4''v''</sub>, [4], (*422): si una cara tiene un color diferente (o dos caras opuestas tienen colores diferentes entre sí y de las otras cuatro), el cubo tiene 8 isometrías, como un cuadrado tiene en 2D.
*''D''<sub>2''h''</sub>, [2,2], (*222): si las caras opuestas tienen los mismos colores, diferentes para cada conjunto de dos, el cubo tiene 8 isometrías, como un [[cuboide]].
*''D''<sub>4''h''</sub>, [4,2], (*422): si dos caras opuestas tienen el mismo color, y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 16 isometrías, como un [[Prisma (geometría)|prisma]] de base cuadrada.
*''C''<sub>2''v''</sub>, [2], (*22):
**Si dos caras adyacentes tienen el mismo color y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 4 isometrías.
**Si tres caras, de las cuales dos opuestas entre sí, son de un color y las otras tres de otro color, el cubo tiene 4 isometrías.
**Si dos caras opuestas tienen el mismo color, y otras dos caras opuestas también, y las dos últimas tienen colores diferentes, el cubo tiene 4 isometrías, como una hoja de papel en blanco con una forma con simetría especular.
*''C''<sub>''s''</sub>, [&nbsp;], (*):
**Si dos caras adyacentes tienen colores diferentes entre sí, y las otras cuatro tienen un tercer color, el cubo tiene 2 isometrías.
**Si dos caras opuestas tienen el mismo color y todas las demás caras tienen colores diferentes, el cubo tiene 2 isometrías, como una hoja asimétrica de papel en blanco.
*''C''<sub>3''v''</sub>, [3], (*33): si tres caras, de las cuales ninguna es opuesta, son de un color y las otras tres de otro color, el cubo tiene 6 isometrías.

Para algunos subgrupos más grandes, un cubo con ese grupo como grupo de simetría no es posible con solo colorear caras enteras. Se tiene que dibujar algún patrón en las caras.

Ejemplos:
*''D''<sub>2''d''</sub>, [2<sup>+</sup>,4], (2*2): si una cara tiene un segmento recto que divide la cara en dos rectángulos iguales, y la opuesta lo tiene en dirección perpendicular, el cubo tiene 8 isometrías. Entonces existe un plano de simetría y doble simetría rotacional con un eje que forma un ángulo de 45° con ese plano y, como resultado, también hay otro plano de simetría perpendicular al primero, y otro eje de doble simetría rotacional perpendicular a la primera.
*[[simetría pritoédrica|''T''<sub>''h''</sub>]], [3<sup>+</sup>,4], (3*2): si cada cara tiene un segmento de línea que divide la cara en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de línea de las caras adyacentes ''no'' se encuentran en la arista de una cara, el cubo tiene 24 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con inversión ('''x''' se asigna a &minus;'''x''').
*''T''<sub>''d''</sub>, [3,3], (*332): si el cubo consta de ocho cubos más pequeños, cuatro blancos y cuatro negros, colocados alternativamente en las tres direcciones estándar, el cubo tiene de nuevo 24 isometrías: esta vez las permutaciones pares de las diagonales del sólido y los inversos de las "otras" rotaciones propias.
*''T'', [3,3]<sup>+</sup>, (332): si cada cara tiene el mismo patrón con doble simetría rotacional, digamos la letra S, tal que en todos los bordes la parte superior de una S se encuentra con un lado de la otra S, el cubo tiene 12 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo.

La simetría completa del cubo, ''O<sub>h</sub>'', [4,3], (*432), se conserva [[bicondicional|si y solo si]] todas las caras tienen el mismo patrón de manera que se conserva la simetría completa del [[cuadrado]], con una simetría para el grupo cuadrado, [[Grupo diedral|Dih<sub>4</sub>]], [4], de orden 8.

La simetría completa del cubo bajo rotaciones propias, ''O'', [4,3]<sup>+</sup>, (432), se conserva si y solo si todas las caras tienen el mismo patrón con [[Grupo cíclico|simetría rotacional cuádruple]], Z<sub>4</sub>, [4]<sup>+</sup>.

==Simetría octaédrica de la superficie de Bolza==
En la teoría de [[Superficie de Riemann|superficies de Riemann]], la [[superficie de Bolza]], a veces llamada curva de Bolza, se obtiene como el doble recubrimiento ramificado de la esfera de Riemann, con un lugar geométrico de ramificación en el conjunto de vértices del octaedro regular inscrito. Su grupo de automorfismos incluye la involución hiperelíptica que voltea las dos hojas del recubrimiento. El cociente por el subgrupo de orden 2 generado por la involución hiperelíptica da precisamente el grupo de simetrías del octaedro. Entre las muchas propiedades notables de la superficie de Bolza está el hecho de que maximiza la [[geometría sistólica|sístole]] entre todas las superficies hiperbólicas de género 2.

==Sólidos con simetría quiral octaédrica==

{|class=wikitable
|-
!Clase
! Nombre
! Imagen
! Caras
! Aristas
! Vértices
! Nombre del dual
! Imagen
|- align=center
![[Sólidos arquimedianos]]<br />([[Sólidos de Catalan]])
|[[Cubo romo]]||[[Archivo:Polyhedron snub 6-8 right max.png|60px]]||38||60||24
|[[Icositetraedro pentagonal]]||[[Archivo:Polyhedron snub 6-8 right dual max.png|60px]]
|}

==Sólidos con simetría octaédrica completa==

{|class=wikitable
|-
!Clase
! Nombre
! Imagen
! Caras
! Aristas
! Vértices
! Nombre del dual
! Imagen
|- align=center
![[Sólidos platónicos]]
|[[Cubo]]||[[Archivo:Polyhedron 6 max.png|60px|Hexahedron (cube)]]||6||12||8
|[[Octaedro]]||[[Archivo:Polyhedron 8 max.png|60px|Octahedron]]
|- align=center
!rowspan=5|[[Sólidos arquimedianos]]<br />(duales: [[sólidos de Catalan]])
|[[Cuboctaedro]]||[[Archivo:Polyhedron 6-8 max.png|60px]]||14||24||12
|[[Rombododecaedro]]||[[Archivo:Polyhedron 6-8 dual max.png|60px]]
|- align=center
|[[Cubo truncado]]||[[Archivo:Polyhedron truncated 6 max.png|60px]]||14||36||24
|[[Triaquisoctaedro]]||[[Archivo:Polyhedron truncated 6 dual max.png|60px]]
|- align=center
|[[Octaedro truncado]]||[[Archivo:Polyhedron truncated 8 max.png|60px]]||14||36||24
|[[Tetraquishexaedro]]||[[Archivo:Polyhedron truncated 8 dual max.png|60px]]
|- align=center
|[[Rombicuboctaedro]]||[[Archivo:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|60px]]||26||48||24
|[[Icositetraedro deltoidal]]||[[Archivo:Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png|60px]]
|- align=center
|[[Cuboctaedro truncado]]||[[Archivo:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|60px]]||26||72||48
|[[Hexaquisoctaedro]]||[[Archivo:Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|60px]]
|- align=center
!rowspan=2|[[Politopo compuesto|Poliedros<br />regulares<br />compuestos]]
|[[Estrella octángula]]||[[Archivo:Polyhedron stellated 8 max.png|60px]]||8||12||8||Autodual
|- align=center
|[[Compuesto de cubo y octaedro|Cubo y octaedro]]
|[[Archivo:Polyhedron pair 6-8 max.png|60px]]
|14||24||14||Autodual
|}

==Véase también==
*[[Simetría tetraédrica]].
*[[Simetría icosaédrica]].

==Referencias==
{{Reflist}}

==Bibliografía==
* Peter R. Cromwell, ''Polyhedra'' (1997), p.&nbsp;295
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, {{isbn|978-1-56881-220-5}}
* ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
* [[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

==Enlaces externos==
* {{mathworld|urlname= OctahedralGroup|title= Octahedral group }}
* Groupprops: [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Direct_product_of_S4_and_Z2 Producto directo de S4 y Z2]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Grupos finitos]]
[[Categoría:Simetría rotacional]]