Ver el código de «Simple y doblemente par»

[[File:Dartboard.jpg|mini|250px|El juego de dardos denominado "501" implica estrategias en las que las paridades de las puntuaciones permiten adoptar decisiones ventajosas que incrementan las posibilidades de ganar]]

En [[matemáticas]], un [[números pares e impares|número par]], es decir, un número que es [[Divisibilidad|divisible]] por 2, se llama '''parmente par''' o '''doblemente par''' si es múltiplo de 4, e '''imparmente par''' o '''simplemente par''' si no lo es. Los primeros nombres son tradicionales, derivados de la [[matemática griega]], mientras que los segundos se han vuelto comunes en las últimas décadas.

Estos nombres reflejan un concepto básico en [[teoría de números]], el '''2-orden''' de un número entero: cuántas veces el número entero se puede dividir por 2. Esto es equivalente a la [[Multiplicidad (matemáticas)|multiplicidad]] de 2 en la [[factorización de enteros|factorización de un entero]].
*Un número '''simplemente par''' se puede dividir por 2 solo una vez; es par pero su [[cociente]] por 2 es impar.
*Un número '''doblemente par''' es un número entero que es divisible más de una vez por 2; es par y su cociente por 2 también es par.

La consideración separada de números simple y doblemente pares es útil en muchas áreas de las matemáticas, especialmente en teoría de números, [[combinatoria]], o la [[teoría de códigos]] (véase [[código par]]) entre otros.

==Definiciones==
Los términos griegos antiguos "par-veces-par" ({{lang-grc|ἀρτιάκις ἄρτιος}}) y "par-veces-impar" ({{lang-grc|ἀρτιάκις περισσός}} o {{lang|grc|ἀρτιοπέριττος}}) recibieron varias definiciones no equivalentes por [[Euclides]] y escritores posteriores como [[Nicómaco de Gerasa]].<ref>{{cite book|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements|author=Euclid; Johan Ludvig Heiberg|year=1908|publisher=The University Press|pages=[https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ/page/n285 281]–284|url=https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ}}</ref> Hoy en día, existe un desarrollo estándar de los conceptos. El orden de 2 o 2 ádico es simplemente un caso especial del [[orden p-ádico|orden ''p''-ádico]] respecto a un [[número primo]] ''p'' general (véase [[número p-ádico|número ''p''-ádico]] para obtener más información sobre esta amplia área de las matemáticas). Muchas de las siguientes definiciones se generalizan directamente a otros números primos.

Para un entero ''n'', el 2 orden de ''n'' (también llamado ''valoración'') es el mayor número natural ν tal que 2<sup>ν</sup> [[divisibilidad|divide]] a ''n''. Esta definición se aplica a los números ''n'' positivos y negativos, aunque algunos autores la restringen a los números positivos; y se puede definir el 2 orden de 0 como infinito (véase también [[paridad del cero]]).<ref>{{cite journal|first=Tamas|last=Lengyel|title=Characterizing the 2-adic order of the logarithm|journal=The Fibonacci Quarterly|volume=32|year=1994|pages=397–401|url=http://employees.oxy.edu/lengyel/papers/FQ/pdf/log2.pdf}}</ref> El 2 orden de ''n'' se escribe ν<sub>2</sub>(''n'') o también ord<sub>2</sub>(''n''). No debe confundirse con el [[Orden (teoría de grupos)|orden]] multiplicativo [[Grupo multiplicativo de enteros módulo n|módulo 2]].

El 2 orden proporciona una descripción unificada de varias clases de números enteros definidos por la uniformidad:
*Los números impares son aquellos con ν<sub>2</sub>(''n'') = 0, es decir, números enteros de la forma {{nowrap|2''m'' + 1}}.
*Los números pares son aquellos con ν<sub>2</sub>(''n'') > 0, es decir, números enteros de la forma {{nowrap|2''m''}}. En particular:
**Los números pares simples son aquellos con ν<sub>2</sub>(''n'') = 1, es decir, números enteros de la forma {{nowrap|4''m'' + 2}}.
**Los números doblemente pares son aquellos con ν<sub>2</sub>(''n'') > 1, es decir, números enteros de la forma {{nowrap|4''m''}}.
***En esta terminología, un número doblemente par puede o no ser divisible por 8, por lo que no existe una terminología particular para números "triplemente pares" en matemáticas puras, aunque se usa en materiales de enseñanza para niños que incluyen múltiplos más altos como "cuádruplemente par".<ref>[https://www.parleybot.com/p/double-triple-quadruple-even-number.html Multiple-evens Online Calculator]</ref>

También se puede extender el 2 orden a los [[números racionales]] definiendo ν<sub>2</sub>(''q'') como el único entero ν para el que
:<math>q= 2^\nu\frac{a}{b}</math>
y ''a'' y ''b'' son ambos impares. Por ejemplo, los [[número semientero|números semienteros]] tienen un 2 orden negativo, a saber, &minus;1. Finalmente, al definir el valor absoluto 2-ádico
:<math>|n|_2= 2^{-\nu_2(n)},</math>
se sientan las bases para construir consistentemente los [[Número p-ádico|números 2-ádicos]].

==Aplicaciones==

===Juego de dardos===
El objetivo del juego de [[dardos]] es llegar a una puntuación de 0, por lo que el jugador con la puntuación más baja está en una mejor posición para ganar. Al comienzo de una etapa, "más pequeño" tiene el significado habitual de [[valor absoluto]], y la estrategia básica es apuntar a áreas de alto valor en el tablero de dardos y anotar tantos puntos como sea posible. Al final de una tanda, dado que se necesita doblar en el último lanzamiento para ganar el juego, el valor absoluto 2-ádico se convierte en la medida relevante. Con cualquier puntuación impar, por pequeña que sea en valor absoluto, se necesitan al menos dos dardos para ganar. Cualquier puntaje par entre 2 y 40 puede satisfacerse con un solo dardo, y 40 es un puntaje mucho más deseable que 2, debido a los efectos de fallar.

Un fallo común al apuntar al anillo doble es clavar el dardo en la zona de puntuación sencilla y accidentalmente reducir a la mitad la puntuación. Dado un puntaje de 22 para cerrar, un número par, se tiene la oportunidad de ganar el juego acertando al 11 doble. Pero si se logra un 11 simple, el nuevo puntaje es 11, que es impar, y se necesitarán al menos dos dardos más sin posibilidad de fallo para completar el juego. Por el contrario, cuando se está a 24 puntos de cerrar, se dispara por el 12 doble, y se puede cometer el mismo error pero aun así tener 3 posibilidades seguidas para completar el juego: doble 12; (12 + doble 6) y (12 + 6 + doble 3). Generalmente, con una puntuación de {{nowrap|''n'' < 42}}, se tienen {{nowrap|ν<sub>2</sub>(''n'')}} de tales tiros para completar el juego. Esta es la razón por la que {{nowrap|1=32= 2<sup>5</sup>}} es una puntuación tan deseable: se divide 5 veces.<ref>{{cite book|title=Children Doing Mathematics|url=https://archive.org/details/childrendoingmat00nune|author=[[ Terezinha Nunes|Nunes, Terezinha]] and Peter Bryant|year=1996|publisher=Blackwell|isbn=0-631-18472-4|pages=[https://archive.org/details/childrendoingmat00nune/page/n115 98]–99}}</ref><ref>{{cite book|title=A Bar Player's Guide to Winning Darts|url=https://archive.org/details/barplayersguidet0000capt|first=Fred|last=Everson|year=2006|publisher=Trafford|isbn=1-55369-321-3|page=[https://archive.org/details/barplayersguidet0000capt/page/39 39]}}</ref>

===Irracionalidad de la raíz cuadrada de 2===
La prueba clásica de que [[raíz cuadrada de dos]] es un [[número irracional]] opera por [[descenso infinito]]. Por lo general, la parte descendente de la prueba se abstrae suponiendo (o probando) la existencia de representaciones [[Fracción irreducible|irreducibles]] de [[números racionales]]. Un enfoque alternativo es explotar la existencia del operador ν<sub>2</sub>.

Por [[Reductio ad absurdum|reducción al absurdo]], se tiene que

:<math>\sqrt 2= \frac a b,</math>

donde ''a'' y ''b'' son números naturales distintos de cero. Elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad y aplicar
el operador de valoración de 2 orden ν<sub>2</sub> a {{nowrap|1=2''b''<sup>2</sup>= ''a''<sup>2</sup>}}:

:<math>\nu_2\left(2b^2\right)= \nu_2\left(a^2\right)</math>
:<math>\nu_2\left(b^2\right) + 1= \nu_2\left(a^2\right)</math>
:<math>2\nu_2(b) + 1= 2\nu_2(a)</math>
:<math>\nu_2(a) - \nu_2(b)= \frac 1 2 </math>

Dado que las valoraciones de 2 orden son números enteros, la diferencia no puede ser igual a <math display="inline">\frac 1 2</math> racional. Por contradicción, pues, {{raíz|2}} no puede ser un número racional.

Más concretamente, dado que la valoración de 2''b''<sup>2</sup> es impar, mientras que la valoración de ''a''<sup>2</sup> es par, deben ser enteros distintos, de modo que <math>\left|2 b^2 - a^2\right|\geq 1</math>. Luego, un cálculo fácil produce un límite inferior de <math display="inline">\frac{1}{3b^2}</math> para la diferencia de <math>\left|\sqrt 2 - a / b \right|</math>, lo que arroja una prueba directa de irracionalidad que no se basa en el [[principio del tercero excluido]].<ref>{{cite book|title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies|first=Donald C.|last=Benson|year=2000|publisher=Oxford UP|isbn=0-19-513919-4|pages=46–47}}</ref>

===Topología geométrica===
En [[topología geométrica]], muchas propiedades de las variedades dependen solo de su dimensión módulo 4 o módulo 8; así, a menudo se estudian variedades de dimensión simple y doblemente par (4''k''+2 y 4''k'') como clases. Por ejemplo, las variedades doblemente pares tienen una [[forma bilineal no degenerada]] "simétrica" en su [[cohomología]] de dimensión media, que por lo tanto tiene una [[signatura (topología)|signatura]] de valor entero. Por el contrario, las variedades de una sola dimensión par tienen una forma bilineal no degenerada [[grafo oblicuo simétrico|''oblicuo''-simétrica]] en su dimensión media. Si se define un [[refinamiento cuadrático]] a una [[forma cuadrática]] (como en una [[variedad enmarcada]]), se obtiene el [[invariante de Arf]] como un invariante de módulo 2. Las variedades de dimensiones impares, por el contrario, no tienen estos invariantes, aunque en [[teoría de la cirugía algebraica]] se pueden definir invariantes más complicados. Esta periodicidad de 4 y 8 veces en la estructura de las variedades está relacionada con la cuádruple periodicidad de la [[teoría-L]] y la periodicidad óctuple de la [[teoría-K topológica]] real, que se conoce como [[periodicidad de Bott]].

Si una [[variedad de rotación]] [[Variedad diferenciable|suave]], [[Orientabilidad|orientada]] y [[Espacio compacto|compacta]] tiene la dimensión {{nowrap|''n'' ≡ 4 mod 8}}, o {{nowrap|1=ν<sub>2</sub>(''n'')= 2}} exactamente, entonces su [[signatura (topología)|signatura]] es un múltiplo entero de 16.<ref>Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, invariants de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Math. France 1980/81, no. 5, 142 pp.  {{MathSciNet|id=1809832}}</ref>

===Otras apariciones===

Un número simplemente par no puede ser un [[número potente]]. No se puede representar como la [[diferencia de dos cuadrados]]. Sin embargo, un número simplemente par puede representarse como la diferencia de dos [[número oblongo|números oblongos]] o de dos números potentes.<ref group=>* {{cite journal|author= McDaniel, Wayne L.|title= Representations of every integer as the difference of powerful numbers|journal= [[ Fibonacci Quarterly]]|volume= 20|year= 1982|pages= 85–87}}</ref>

En [[teoría de grupos]], es relativamente simple<ref>See, for example: {{cite book|title=Elements of mathematics: Algebra I: Chapters 1-3|author=Bourbaki|publisher=Springer|year=1989|edition=Softcover reprint of 1974 English translation|isbn=3-540-64243-9|pages=154–155}}</ref> demostrar que el orden de un [[grupo simple finito]] [[grupo no abeliano|no abeliano]] no puede ser un número par único. De hecho, por el [[teorema de Feit-Thompson]], tampoco puede ser impar, por lo que cada grupo tiene un orden doblemente par.

La [[fracción continua de Lambert]] para la [[tangente hiperbólica|función tangente hiperbólica]] da la siguiente [[fracción continua]] que involucra los números simplemente pares positivos:<ref>{{cite book|author=Hairer, Ernst and Gerhard Wanner|title=Analysis by Its History|url=https://archive.org/details/analysisbyitshis0000hair|year=1996|publisher=Springer|isbn=0-387-94551-2|pages=[https://archive.org/details/analysisbyitshis0000hair/page/69 69–78]}}</ref>

:<math>\tanh \frac{1}{2}= \frac{e - 1}{e + 1}= 0 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}</math>

Esta expresión conduce a unas [[Anexo:Representaciones de e|representaciones de {{math|''e''}}]] similares.<ref>{{cite book|title=Introduction to Diophantine Approximations|url=https://archive.org/details/introductiontodi0000lang_u5c5|first=Serge|last=Lang|year=1995|publisher=Springer|isbn=0-387-94456-7|pages=[https://archive.org/details/introductiontodi0000lang_u5c5/page/69 69]–73}}</ref>

En [[química orgánica]], la [[regla de Hückel]], también conocida como la regla 4n + 2, predice que un sistema [[Compuesto cíclico|cíclico]] con [[Enlace π|enlaces π]] que contiene un número par de [[Configuración electrónica|p electrones]] será [[aromaticidad|aromático]].<ref>{{cite book|title=Organic Chemistry|url=https://archive.org/details/organicchemistry0000ouel_k7u3|author=Ouellette, Robert J. and J. David Rawn|publisher=Prentice Hall|isbn=0-02-390171-3|page=[https://archive.org/details/organicchemistry0000ouel_k7u3/page/473 473]|year=1996}}</ref>

==Clasificaciones relacionadas==
Aunque el orden 2 puede detectar cuándo un número entero es congruente con 0 (mod 4) o 2 (mod 4), no puede diferenciar entre 1 (mod 4) o 3 (mod 4). Esta distinción tiene algunas consecuencias interesantes, como [[Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados]].

==Véase también==

* [[Orden p-ádico]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Enlaces externos==
*[http://planetmath.org/encyclopedia/SinglyEvenNumber.html número par individual] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/SinglyEvenNumber.html |date=20120301182923 }} en [[PlanetMath]]
*{{OEIS el|sequencenumber=A016825|name=Numbers congruent to 2 mod 4|formalname=Positive integers congruent to 2 mod 4: a(n)= 4n+2, for n >= 0}}
*{{OEIS el|sequencenumber=A008586|name=Multiples of 4}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Sucesiones de números enteros]]
[[Categoría:Paridad (matemáticas)]]
[[Categoría:Teoría de números elemental]]