Ver el código de «Sumatorio»

{{otros usos |1=Serie matemática|para=el tratamiento matemático formal }}

[[File:Greek uc sigma.svg|thumb|200px|Letra sigma mayúscula, notación del sumatorio.]]
El '''sumatorio'''<ref>{{Cita DRAE|sumatorio}}</ref><ref>''[http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Sumatoria.html Sumatoria o Notación Sigma]''.</ref> o '''sumatoria''' (también conocido como '''operación de suma''', '''notación sigma''' o '''símbolo suma''') es una notación [[Matemáticas|matemática]] que permite representar [[suma]]s de varios sumandos, ''n'' o incluso [[serie matemática|infinitos sumandos]], evitando el empleo de los [[puntos suspensivos]] o de una explícita notación de paso al límite.<ref>''[http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml Propiedades de las sumatorias (monografías)]''.</ref> Se expresa con la letra griega [[sigma]] [[mayúscula]] (<math>\Sigma</math>, ∑). Aunque se necesita aclarar que la palabra sumatoria o sumatorio no es aceptada entre varios matemáticos ya que la forma correcta de decirlo es suma. 

== Notación ==

=== Notación de sigma mayúscula ===
La notación se expresa con la letra griega [[sigma]] mayúscula Σ de la siguiente manera:
{{definición|<math>
   \sum_{i=m}^n a_i =
   a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots + a_n 
</math>}}

Esto se lee: «sumatorio sobre ''i'', desde ''m'' hasta ''n'', de ''a sub-i''». La variable ''i'' es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, ''m''. La variable ''i'' recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, ''n''. Necesariamente debe cumplirse que:

: <math>m \leq n</math> 

Pudiendo ver además que si ''m'' = ''n'' entonces:
: <math>
   m = n
   \; , \quad
   \sum_{i=m}^n a_i =
   \sum_{i=m}^m a_i =
   a_m
</math>

Si ''m'' es mayor que ''n'', el resultado es cero, el [[elemento neutro]] de la suma:
: <math>
   m > n
   \; , \quad
   \sum_{i=m}^n a_i =
   0
</math>

Como el conjunto de índices es un intervalo de enteros, es corriente indicar el primer ''índice'' debajo del símbolo de sumatoria, y el último por encima del mismo. Las siguientes notaciones son equivalentes
:<math>\sum_{i\in [ m,n]}{a_i} = \sum_{i=m}^{i=n}{a_i} = \sum_{i=m}^n{a_i}.</math>

El número de términos a sumar es entonces <math>n-m+1</math>, ya que el primer sumando es <math>a_m</math> y el último sumando es <math>a_n</math>.

La suma de los cuadrados de los seis primeros enteros estrictamente positivos se escribe por ejemplo 

:<math>\sum_{i=1}^{6}{i^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2=91.</math>

La [[conmutatividad]] y la [[Asociatividad (álgebra)|asociatividad]] de la [[adición]], hacen que el resultado de una serie (finita) de adiciones, no dependa del orden en el cual los términos son considerados. La suma de una [[Familia de conjuntos|familia]] finita de elementos <math>(a_i)</math> [[Familia de conjuntos|indexada]] por un conjunto <math>I</math> (no necesariamente [[Teoría del orden|ordenado]]) se indica entonces <math>\sum_{i\in I}{a_i}</math>.

Cuando la familia considerada es un [[conjunto finito]] <math>A</math>, la correspondiente suma también puede escribirse 

:<math>\sum_{x\in A}{x} = \sum A,</math>

La [[suma vacía]] convencionalmente es considerada igual a [[cero]], entre otras cosas a fin de satisfacer la igualdad 

:<math>\sum{A \cup B} = \sum A + \sum B - \sum{A \cap B}.</math>

La [[Convenio de suma de Einstein|notación de Einstein]] simplemente omite la escritura del símbolo de suma, ya que si un índice aparece sin definición, se sobreentiende que lo que se representa es la suma de los elementos al variar el índice.

Nótese que, aunque el término ''sumatorio'' se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a la palabra ''suma'', por lo que con esta intención es un [[fantónimo]]. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco».

Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la [[media aritmética]] de ''n'' números, se tiene la siguiente expresión:
: <math>
   \overline{x} =
   \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}
</math>

== Suma de una serie ==
Si <math>(a_n)</math> es un elemento de una [[serie (matemática)|serie]], la suma total de los elementos de esta, es el [[límite de una sucesión|límite]] de las sumas parciales (si es que este límite existe) <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \lim_{N\rightarrow +\infty}\sum_{n=0}^{N}a_n</math>.

== Identidades ==

Hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil [[Número natural|números naturales]] no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:
: <math>
   \sum^{n}_{i = 1} i =
   \frac{n ( n + 1 )}{2}
</math>

: <math>
   \sum^{1000}_{i = 1} i =
   \frac{1000 \; (1000 +1)}{2} =
   500\;500
</math>
De igual forma, para sumar una serie de números naturales consecutivos cualesquiera, desde <math>m</math> hasta <math>n</math>, podemos recurrir a esta fórmula:

<math>\sum_{i=m}^n i = \frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n+m)</math>


<math>\sum_{i=100}^{200}i=\frac{1}{2}(200^{2}-100^{2}+200+100)=15\;150</math> (suma de los naturales desde 100 hasta 200)

=== Algunas propiedades de la operación de suma ===

: <math>\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n)</math>, donde ''C'' es una constante

: <math>\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]</math>

: <math>\sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right]</math>

: <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)</math>

: <math>\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>

: <math>\sum_{n\in A} f(n) = \sum_{n\in \sigma(A)} f(n)</math>, para un conjunto finito '''A''' (Donde σ es una [[permutación]] de A).

: <math>\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}</math>

: <math>\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)</math>

: <math>\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n)</math>

: <math>\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)</math>

: <math>c^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t c^{f(n)}</math>

=== Algunas sumas de expresiones polinómicas ===

: <math>\sum_{i=m}^n C = C\cdot (n-m+1)</math> donde <math>C</math> representa una constante

: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n</math> (ver [[número armónico]])

: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n</math> (ver [[número armónico generalizado]])

: <math>\sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2}</math> (ver [[progresión aritmética]])

: <math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}</math> (caso especial de progresión aritmética)

: <math>\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}</math> (ver [[número piramidal cuadrado]])


: <math>\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2</math>

: <math>\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}</math>

: <math>\sum_{i=1}^n i^p = \frac{n^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p{p\choose k}\frac{B_k}{p+1-k} \cdot n^{p+1-k}\, , </math> donde <math>B_k</math> denota un [[número de Bernoulli]] (ver [[fórmula de Faulhaber]]).
Las siguientes fórmulas son manipulaciones de 

:<math>\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2</math> 

generalizadas para que la serie comience en cualquier número natural (i.e., <math>m \in \mathbb{N}</math> ):

: <math>\left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 = \sum_{i=m}^n ( i^3 - im(m-1) )</math>

: <math>\sum_{i=m}^n i^3 = \left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 + m(m-1)\sum_{i=m}^n i</math>

=== Algunas sumas que contienen términos exponenciales ===
En los sumatorios siguientes ''a'' es una constante no igual a 1

: <math>\sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a}</math> ({{nowrap|''m'' &lt; ''n''}}; ver [[serie geométrica]])

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a}</math>

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i a^i = \frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}</math>

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i 2^i = 2+(n-2)2^{n}</math> (caso especial cuando ''a'' = 2)

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{2^i} = 2-\frac{n+1}{2^{n-1}}</math> (caso especial cuando ''a'' = 1/2)

=== Algunas sumas que contienen coeficientes binomiales y factoriales ===

: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n</math>

: <math>\sum_{i=1}^{n} i{n \choose i} = n2^{n-1}</math>

: <math>\sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n!\cdot e \rfloor</math>

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}</math>

: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i=(a + b)^n</math>, el [[Teorema del binomio]]

: <math>\sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1</math>

: <math>\sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}</math>

: <math>\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}</math>

== Errores comunes ==
En español suele llamarse erróneamente «sumatoria» (por calco a la palabra inglesa ''summatory''); sin embargo, según el diccionario de la [[Real Academia Española]], dicha palabra no existe en la lengua española; aunque en la vigésima tercera edición ha sido incorporada la expresión «sumatorio». Aun con ello, la tradición en la lengua española ha sido llamarle «suma» u «operación de suma».

== Véase también ==
* [[Productorio]]
* [[Serie matemática]]
* [[Suma vacía]]
* [[Notación matemática]]
* [[Anexo:Símbolos matemáticos|Símbolos matemáticos]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Summation}}
{{Wikcionario}}
* Susana Castro, [http://es.slideshare.net/AnselmiJuan/sumatoria-23809739 Funciones y Procesos Infinitos: Sumatorias]
* [http://profe-alexz.blogspot.com/2010/07/sumatorias-ejercicios-resueltos.html Sumatorias - Ejercicios Resueltos - Razonamiento Matemático]
{{Traducido ref|fr|Symbole somme||parcial}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Aritmética]]
[[Categoría:Notación matemática]]