Ver el código de «Superficie cúbica»

[[Archivo:Cubic surface.jpg|thumb|right|300px|Ejemplo de una superficie cúbica]]
Una '''superficie cúbica''' es un [[variedad proyectiva]] estudiado en [[geometría algebraica]]. Es una [[superficie algebraica]] en el [[espacio proyectivo]] tridimensional definido por un solo [[polinomio]] cúbico cuaternario [[Polinomio homogéneo|homogéneo]] de grado 3 (por lo tanto, cúbico). Las superficies cúbicas son [[superficies del Pezzo]].

==Ejemplos==
Si <math>\mathbb{P}^3</math> tiene [[coordenadas homogéneas]] <math>[X:Y:Z:W]</math>, entonces el conjunto de puntos donde

:<math> X^3 + Y^3 + Z^3 + W^3 = 0</math>

Es una superficie cúbica denominada [[superficie cúbica de Fermat]].

La [[superficie de Clebsch]] es el conjunto de puntos donde

:<math> X^3 + Y^3 + Z^3 + W^3 = (X+Y+Z+W)^3</math>

La [[superficie cúbica nodal de Cayley]] es el conjunto de puntos donde

:<math>WXY + XYZ + YZW + ZWX =0</math>

==27 líneas sobre una superficie cúbica==
[[Archivo:Clebsch 27 lines.webm|thumb|Superficie de Clebsch con 27 líneas rectas.]]
El teorema de Cayley-Salmon {{harv|Cayley|1849}} establece que una superficie cúbica suave sobre un [[cuerpo algebraicamente cerrado]] contiene 27 líneas rectas. Estas pueden caracterizarse independientemente de la inclusión en el espacio proyectivo como las líneas racionales con número de autointersección −1, o en otras palabras, las  ''−1 curvas'' en la superficie. Un ''punto de Eckardt'' es aquel donde 3 de las 27 líneas se encuentran.

Una superficie cúbica lisa también se puede describir como una [[superficie racional]] obtenida por [[explosión (geometría)|explosión]] de seis puntos en el [[plano proyectivo]] en [[posición general]] (en este caso, "posición general" significa que no hay tres puntos alineados y que tampoco seis coinciden en una [[sección cónica]]). Las 27 líneas son los divisores excepcionales sobre los 6 puntos explotados, las transformaciones adecuadas de las 15 líneas en <math>\mathbb{P}^2</math> que unen dos de los puntos explotados y las transformaciones apropiadas de las 6 cónicas en <math>\mathbb{P}^2</math> que contienen todas menos uno de los puntos explotados.

[[Alfred Clebsch]] dio un modelo de una superficie cúbica, llamada  [[superficie diagonal de Clebsch]], donde todas las 27 líneas se definen sobre el campo '''Q''' [√5], y en particular son todas reales.

===Clasificaciones relacionadas===
Las 27 líneas también se pueden identificar con algunos objetos que surgen en la teoría de la representación. En particular, estas 27 líneas pueden identificarse con 27 vectores en el dual de la red E6, de modo que su configuración sea actuada por el [[Grupo de Weyl]] de E6. En particular, forman una base de la [[representación fundamental]] de 27 dimensiones del grupo [[E6 (matemáticas)|E<sub>6</sub>]].

Las 27 líneas contienen 36 copias de la configuración [[seis doble de Schläfli]].

Las 27 líneas se pueden identificar con las 27 cargas posibles de la [[Teoría M]] en un [[toro (geometría)|toro]] de seis dimensiones (6 momentos; 15 [[Brana|membrana]]s; 6 [[brana]]s) y el grupo E<sub>6</sub> entonces actúa naturalmente como el grupo [[dualidad-U]]. Este mapa entre las [[superficie de del Pezzo|superficies del Pezzo]] y la [[Teoría M]] en toros se conoce como la [[dualidad misteriosa]].

Hay otras maneras de pensar en estas 27 líneas. Por ejemplo, si se proyecta la cúbica desde un punto que no está en ninguna recta (la mayoría de los puntos de la cúbica son así) entonces se obtiene una doble cubierta del plano ramificado en una curva [[cuádrica]] lisa. Las 27 líneas están asignadas a 27 de las 28 [[Bitangentes de una cuártica|bitangentes de esta curva cuártica]]; la recta 28 es la imagen del lugar excepcional de la explosión necesaria para resolver la indeterminación de la proyección. Estos dos objetos (27 líneas en el cúbico, 28 bitangentes en una cuártica), junto con los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4, forman una trinidad en el sentido de [[Vladímir Arnold]], específicamente una forma de [[correspondencia de McKay]],<ref name="arntrin">{{citation |apellido=le Bruyn |nombre=Lieven |título=Arnold’s trinities |url=http://www.neverendingbooks.org/index.php/arnolds-trinities.html |fecha=17 de junio de 2008 |deadurl=yes |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20110411132940/http://www.neverendingbooks.org/index.php/arnolds-trinities.html |fechaarchivo=11 de abril de 2011 }}</ref><ref>Arnold 1997, p. 13</ref><ref>{{Harv|McKay|Sebbar|2007|loc=p. 11}}</ref> y puede estar relacionado con muchos otros objetos, incluyendo E<sub>7</sub> y E<sub>8</sub>, como se discute en ''[[ADE classification#Trinities|trinidades]]''.

==Superficies cúbicas singulares==
[[Archivo:Cayley 9 lines.webm|thumb|Superficie de Cayley con 9 líneas rectas.]]
Un ejemplo de una cúbico singular es la [[superficie cúbica nodal de Cayley]]

:<math>WXY + XYZ + YZW + ZWX =0</math>

Con 4 [[Singularidad matemática|puntos singulares]] nodales en <math>[0:0:0:1]</math> y sus permutaciones. Las superficies cúbicas singulares también contienen líneas racionales, y el número y disposición de las líneas está relacionado con el tipo de la singularidad.

Las superficies cúbicas singulares fueron clasificadas por {{harvtxt|Schlafli|1863}}, y su clasificación fue descrita por {{harvtxt|Cayley|1869}} y {{harvtxt|Bruce|Wall|1979}}

==Referencias==
{{listaref}}
*{{Citation | apellido1=Bruce | nombre1=J. W. | apellido2=Wall | nombre2=C. T. C. | título=On the classification of cubic surfaces | doi=10.1112/jlms/s2-19.2.245  | mr=533323  | año=1979 | publicación=Journal of the London Mathematical Society | issn=0024-6107 | volumen=19 | número=2 | pages=245–256}}
*{{citation| nombre=A. |apellido=Cayley|título= On the triple tangent planes of surfaces of the third order|publicación= Cambridge and Dublin Math. J.|volumen= 4 |año=1849|pages= 118–138|url=https://archive.org/stream/collectedmathema01cayluoft#page/444/mode/2up}}
*{{Citation |apellido1=Cayley |nombre1=Arthur |enlaceautor1=Arthur Cayley | título=A Memoir on Cubic Surfaces | jstor=108997 | publisher=The Royal Society | año=1869 | publicación=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]] | issn=0080-4614 | volumen=159 | pages=231–326 | doi=10.1098/rstl.1869.0010}}
*{{Citation|apellido=Dolgachev|nombre=Igor|título=Classical Algebraic Geometry:a modern view|publisher=[[Cambridge University Press]]|mr=2964027|año=2012}}
*{{Citation | apellido1=Dolgachev | nombre1=Igor V. | título=Luigi Cremona (1830–1903)  | url=http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/cremona.pdf | publisher=Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, Milan | series=Incontro di Studio  | mr=2305952  | año=2005 | volumen=36 | chapter=Luigi Cremona and cubic surfaces | pages=55–70}}
*{{Citation | apellido1=Henderson | nombre1=Archibald | título=The twenty-seven lines upon the cubic surface | publisher=Merchant books | series=Reprinting of Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 13 | isbn=978-1-60386-066-6 | mr=0119139  | año=2007}}
*{{Citation | apellido1=Hunt | nombre1=Bruce | título=The geometry of some special arithmetic quotients | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-61795-2 | doi=10.1007/BFb0094399 | mr=1438547  | año=1996 | volumen=1637}}
*{{springer|id=C/c027270|nombre=V.A.|apellido= Iskovskikh}}
*{{Citation | apellido1=Manin | nombre1=Yuri Ivanovich | enlaceautor1=Yuri Ivanovich Manin | título=Cubic forms | publisher=North-Holland | ubicación=Amsterdam | edición=2nd | series=North-Holland Mathematical Library | isbn=978-0-444-87823-6 | mr=833513  | año=1986 | volumen=4}}
*{{Citation |título=On the Distribution of Surfaces of the Third Order into Species, in Reference to the Absence or Presence of Singular Points, and the Reality of Their Lines | jstor=108795 | publisher=The Royal Society | año=1863 | publicación=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]] | issn=0080-4614 | volumen=153 | pages=193–241 | autor1=Schläfli, Dr | doi=10.1098/rstl.1863.0010}}
*{{Citation | apellido1=Segre | nombre1=Beniamino | título=The Non-singular Cubic Surfaces | publisher=[[Oxford University Press]] | mr=0008171  | año=1942}}

==Enlaces externos==
{{commonscat|Cubic surfaces}}
*{{Citation|nombre=Oliver|apellido=Labs|url=http://www.cubics.algebraicsurface.net/|título=Cubic surfaces home page|fechaacceso=4 de mayo de 2017|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20080820022142/http://www.cubics.algebraicsurface.net/|fechaarchivo=20 de agosto de 2008}}
*{{MacTutor Biography|class=HistTopics|id=Cubic_surfaces}}
*{{MathWorld |title= Cubic surface|urlname=CubicSurface}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/LinesOnACubicSurface/ Lines on a Cubic Surface] de Ryan Hoban (El Laboratorio de Geometría Experimental en la Universidad de Maryland) basado en el trabajo de William Goldman, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://www.madore.org/cubic-dvd/ El '' Cubic Surfaces ''] (54 animaciones de superficies cúbicas, descargables por separado o como un DVD)

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[[Categoría:Superficies|Cubica]]