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{{PA|referencias|wikificar|matemáticas|t=20111021133150}}

En la [[teoría geométrica de grupos]], la '''Teoría de Bass-Serre''' es una parte del tema matemático de la [[teoría de grupos]]  y la [[topología combinatoria]]  que trata del análisis de la estructura algebraica de las [[acción (matemática)|acciones de grupos]], mediante [[automorfismo]]s, sobre los [[Árbol (teoría de grafos)|árboles]] [[complejo simplicial|simpliciales]]. 

Esta teoría relaciona las acciones de los grupos sobre árboles con la descomposición de grupos como aplicaciones iteradas de las operaciones de '''producto libres con amalgamación''' y la de '''HNN-extensión''', empleando principalmente el concepto de '''grupo fundamental de un grafo de grupos'''. 

La teoría de Bass-Serre puede ser considerada como la versión 1-dimensional de la teoría de [[orbidad]]es y aporta un método muy importante cuando se estudia a los grupos infinitos discretos.

==Historia==
La teoría de Bass-Serre fue desarrollada por [[Jean-Pierre Serre]] en los setenta y formalizada en ''Trees'', la monografía fundamental de Serre (desarrollada en conjunto con [[Hyman Bass]]) sobre el tema.

La motivación original de Serre fue para entender la estructura de ciertos  [[grupo algebraico|grupos algebraicos]] cuyas construcciones llamadas [[Bruhat-Tits buildings]] son [[árbol (teoría de grafos)|árboles]]. Sin embargo, la teoría rápidamente se convirtió en una herramienta estándar de la [[teoría geométrica de grupos]] y de la [[topología geométrica]], particularmente para el estudio de las [[3-variedad]]es. Subsecuentes trabajos de Hyman Bass contribuyeron substanciosamente a la formalización y desarrollo de esta herramienta básica, y actualmente el término ''Teoría de Bass-Serre'' es ampliamente usado para describir el tema.

Matemáticamente, la teoría de Bass-Serre se construye sobre la explotación y generalización de las propiedades de dos viejas construcciones teórico-grupales: [[producto libre amalgamado]] y [[HNN-extensión]]. Pero, no como el tradicional estudio algebraico de estas dos construcciones, la teoría de Bass-Serre usa el lenguaje geométrico de los [[espacio cubriente|espacios cubrientes]] y el [[grupo fundamental]]. Los '''[[Grafo de grupos|Grafos de grupos]]''', que son los objetos básicos de la teoría, pueden ser vistos como las versiones uno-dimensionales de la teoría de [[orbidad]]es.

Aparte del libro de Serre (''Trees''), los tratamientos elementales de esta teoría están disponibles en los artículos de Bass (''Covering theory for graphs of groups''), el artículo de Scott-Wall (''Topological methods in group theory''), y los libros de [[Allen Hatcher|Hatcher]], [[Gilbert Baumslag|Baumslag]], [[Dicks]]-[[Martin Dunwoody]] y [[Cohen]].

==Implementación básica==

===Grafos en el sentido de Serre===
El formalismo de los grafos en esta teoría es ligeramente diferente con la [[teoría de grafos]] estándar. Aquí un '''grafo''' ''A'' consiste de un conjunto de vértices ''V'', uno de aristas ''E'', un [[Función matemática|mapeo]] que invierte <math>\scriptstyle E\to E</math>, <math>\scriptstyle e\mapsto\bar{e}</math> tal que <math>\scriptstyle e\neq \bar{e}</math> y <math>\scriptstyle \bar{\bar{e}}=e</math> para toda <math>\scriptstyle e\in E</math>, y el ''mapeo de vértice inicial'' <math>\scriptstyle o:E\to V\,</math>. Así, en ''A'', para cada arista ''e'' este viene equipado con su ''inverso formal'' <math>\scriptstyle \bar{e}</math>.  El vértice <math>o(e)</math> es llamado el ''origen'' o el ''vértice inicial'' de ''e'' y el vértice  <math>o(\bar{e})</math> es llamado el ''vértice terminal'' de ''e'' y es denotado por ''t(e)''.

Ambos, los lazos (aristas para las cuales <math>o(e)=t(e)</math>) y [[vértice múltiple|vértices múltiples]] son permitidos. 

Una ''orientación'' sobre ''A'' es una partición de ''E'' en la unión de dos subconjuntos disjuntos <math>E^+</math> y <math>E^-</math> tales que para cada vértice ''e'' exactamente una de las aristas del par <math>e,\bar{e}</math> pertenece a <math>E^+</math> y la otra pertenece a <math>E^-</math>.

===Grafo de grupos===

Un ''grafo de grupos'' '''A''' consiste de la siguiente ''data'':
*un grafo conexo ''A''
*una asignación <math>\scriptstyle v\mapsto A_v</math> de un grupo a cada [[Vértice (teoría de grafos)|vértice]] de ''A''
*otra asignación <math>\scriptstyle e\mapsto A_e</math> de un grupo a cada [[Arista (teoría de grafos)|arista]] del grafo 
*un [[morfismo]] de frontera <math>\scriptstyle \alpha_e:A_e\to A_{o(e)}\,</math> para cada arista de ''A'' que es [[inyectivo]], es decir un [[monomorfismo]].

Para cada <math>\scriptstyle e\in E</math> el [[Función matemática|mapeo]] <math>\scriptstyle \alpha_{\bar{e}}:A_e\to A_{t(e)}</math> es denotado por <math>\scriptstyle \omega_e\,</math>

===Grupo fundamental de un grafo de grupos===

Hay dos definiciones equivalentes de la noción de grupo fundamental de un grafo de grupos: 
*la  primera es una definición algebraica mediante una [[presentación de grupo]], directamente como una aplicación iterada de los productos libres amalgamados y las HNN-extensiones; 
*la segunda usando el lenguaje de [[grupoide]]s.

La primera es la más fácil de establecer:

Primero, elija un [[árbol generador]] (''spanning tree'') ''T'' de ''A'' y una orientación <math>\scriptstyle E=E^+\sqcup E^-</math> de ''A''. Entonces el grupo fundamental de ''A'' con respecto a ''T'', denotado por <math>\scriptstyle \pi_1(\mathbf{A},T)</math>, es definido como el [[grupo cociente|cociente]] del [[producto libre de grupos]]
::<math>\scriptstyle *_{v\in V}A_v*F(E)</math> 
donde ''F(E)'' es el [[grupo libre]] con base libre ''E'', sujeto a las siguientes relaciones:

*<math>\scriptstyle\bar{e}\alpha_e(g)e=\omega_e(g)</math>, para cada ''e'' en ''E''  y cada <math>\scriptstyle g\in A_v</math> y es llamada la ''relación de Bass-Serre''
*<math>\scriptstyle\bar{e}e=1</math> para cada <math>\scriptstyle e\in E</math>
*''e''=1 para cada arista del árbol generador ''T''.

===Los grupos fundamentales de un grafo de grupos como un proceso iterativo===
El grupo <math>\scriptstyle G=\pi_1(\mathbf{A},T)</math> definido arriba admite una descripción algebraica en términos de productos libres amalgamados y HNN-extensiones.

Primero se construye un grupo ''B'' como cociente del producto libre
::<math>\scriptstyle(*_{v\in V}A_v)*F(E^+T)</math>
sujeto a las relaciones
*<math>\scriptstyle e^{-1}a_e(g)e=\omega_e(g)</math> para cada ''e'' en <math>\scriptstyle E^+T</math> y cada ''g'' en <math>A_e</math>
*<math>\scriptstyle e=1</math> para cada ''e'' en <math>\scriptstyle E^+T</math>

Esta presentación puede, entonces, ser reescrita como
::<math>\scriptstyle B=*_{v\in V}A_v/{\rm ncl}\{\alpha_e(g)=\omega_e(g)\}</math> donde ''e'' está en <math>\scriptstyle E^+T</math> y ''g'' en <math>\scriptstyle G_e</math> lo que muestra que ''B'' es un producto libre amalgamado iterado de los grupos-vértices <math>\scriptstyle A_v</math>.

Entonces el grupo <math>\scriptstyle G=\pi_1(\mathbf{A},T)</math> tiene presentación
::<math>\scriptstyle \langle B, E^+(A-T)|e^{-1}\alpha_e(g)e=\omega(g)\rangle</math> donde ''e'' pertenece a <math>\scriptstyle E^+(A-T)</math> y ''g'' a <math>\scriptstyle G_e</math>
lo que nos indica que ''G'' es una HNN-extensión múltiple de ''B'' con los ''símbolos estables'' <math>\scriptstyle\{e|e\in E^+(A-T)\}</math>.

===Descomposiciones===
Un isomorfismo entre un grupo ''G'' y el grupo fundamental de un grafo de grupos is llamado un descomposición (''splitting'') de ''G''. Si las grupos-arista en la descomposición vienen de alguna clase de grupos (e.g. finito, cíclico, abeliano, etc), a la descomposición se le dice que descompone sobre dicha clase. Así una descomposición donde ''todos'' los grupo-arista son finitos se dice que descompone sobre grupos finitos.

Algebraicamente, una descomposición de ''G'' con grupos-arista triviales corresponderá a la descomposición por producto libre 
::<math>\scriptstyle(*_{v\in V}A_v)*F(X)</math>
deonde ''F(X)'' es un [[grupo libre]] con base libre <math>X=E^+(A-T)</math> consistente en todos las aristas positivamente orientadas en el complemento del árbol-generador ''T'' en ''A''.


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