Ver el código de «Teoría de la representación de SU(2)»

Dentro del estudio de la [[teoría de la representación]] del [[grupo de Lie]], el estudio de las representaciones del [[grupo unitario especial]] es fundamental para el estudio de las representaciones de [[grupo de Lie semisimple|grupos de Lie semisimples]]. Es el primer caso de un grupo de Lie que es tanto un [[grupo compacto]] como [[grupo no abeliano|no abeliano]]. La primera condición implica que la teoría de la representación es discreta: las representaciones son [[suma directa de representaciones|sumas directas]] de una colección de [[representación irreducible|representaciones irreducibles]] básicas (gobernadas por el [[teorema de Peter-Weyl]]). El segundo significa que habrá representaciones irreducibles en dimensiones superiores a 1.

SU(2) es el [[grupo de recubrimiento]] del [[grupo de rotación SO(3)]], por lo que su teoría de representación incluye la de este último, debido al [[Grupo de rotación SO(3)|homomorfismo suprayectivo]] existente entre ambos. Esto subraya la importancia de SU(2) para la descripción no relativista del [[espín]] en la [[física teórica]].

Como se muestra a continuación, las representaciones irreducibles de dimensión finita de SU(2) se indexan mediante un entero no negativo <math>m</math> y tienen una dimensión <math>m+1</math>. En la literatura sobre física, las representaciones están etiquetadas por la cantidad <math>l=m/2</math>, donde <math>l</math> es entonces un [[número entero]] o semientero, y la dimensión es <math>2l+1</math>.

== Representaciones del álgebra de Lie ==
Las representaciones del grupo se encuentran considerando representaciones de SU(2), el [[Grupo unitario especial|álgebra de Lie sobre SU(2)]]. Dado que el grupo SU(2) es simplemente conexo, cada representación de su álgebra de Lie puede integrarse en una representación del grupo;<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 5.6</ref> por lo que aquí se ofrece una construcción explícita de las representaciones en el nivel de grupo que se muestra a continuación. Una referencia para este material es la Sección 4.6 de {{Harv|Hall|2015}}.

=== Álgebras de Lie reales y complejizadas ===
La verdadera álgebra de Lie(2) tiene una [[Grupo unitario especial|base]] dada por
: <math> u_1 = \begin{pmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_2 = \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_3 = \begin{pmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{pmatrix}  ~,</math>
que satisfacen

: <math>[u_1,u_2]=2u_3;\quad [u_2,u_3]=2u_1;\quad [u_3,u_1]=2u_2. </math>

Entonces es conveniente pasar al álgebra compleja de Lie.

: <math>\mathrm{su}(2)+i\mathrm{su}(2)=\mathrm{sl}(2;\mathbb C)</math>.

Las matrices diagonales con auto-adjuntos con traza cero, más las matrices con auto-adjuntos con traza cero dan todas las matrices con traza cero. Mientras se trabaje con representaciones sobre <math>\mathbb C</math>, este paso del álgebra de Lie real al complejo no presenta problemas.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 3.6</ref> La razón para pasar a la complejización es que permite construir una buena base de un tipo que no existe en el álgebra de Lie real su(2).

El álgebra de Lie compleja se divide en tres elementos <math>X</math>, <math>Y</math> y <math>H</math>, dados por

: <math>H=\frac{1}{i}u_3;\quad X=\frac{1}{2i}(u_1-iu_2);\quad Y=\frac{1}{2i}(u_1+iu_2),</math>

o, explícitamente,

: <math> 
H = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix};\quad
X = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix};
\quad
Y = \begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix}
  ~.</math>

Estos elementos satisfacen las relaciones de conmutación

: <math>[H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H</math>

Hasta un factor de 2, los elementos <math>H</math>, <math>X</math> e <math>Y</math> pueden identificarse con los operadores del momento angular <math>J_z</math>, <math>J_+</math> y <math>J_-</math>, respectivamente. El factor de 2 es una discrepancia entre las convenciones en matemáticas y física; en general, se mencionan ambas convenciones en los resultados que siguen a continuación.

=== Pesos y la estructura de la representación ===
En esta configuración, los valores propios de <math>H</math> se conocen como los '''pesos''' de la representación. El siguiente resultado elemental<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Lemma 4.33</ref> es un paso clave en el análisis. Supóngase que <math>v</math> es un [[vector propio y valor propio|vector propio]] para <math>H</math> con un valor propio <math>\alpha</math>, es decir, que <math>H\cdot v=\alpha v</math>. Entonces
: <math>
\begin{align}
H\cdot (X\cdot v) & =(\alpha +2) X\cdot v\\[3pt]
H\cdot (Y\cdot v) & =(\alpha -2) Y\cdot v
\end{align}
</math>

En otras palabras, <math>X\cdot v</math> es el vector cero o un vector propio para <math>H</math> con valor propio <math>\alpha+2</math> y <math>Y\cdot v</math> es cero o un vector propio para <math>H</math> con valor propio <math>\alpha -2</math>. Por lo tanto, el operador <math>X</math> actúa como un '''operador de elevación''', aumentando el peso en 2, mientras que <math>Y</math> actúa como un '''operador de reducción'''.

Supóngase ahora que <math>V</math> es una representación irreducible y de dimensión finita del álgebra de Lie complejizada. Entonces <math>H</math> solo puede tener un número finito de valores propios. En particular, debe haber un valor propio <math>\lambda\in\mathbb C</math> con la propiedad de que <math>\lambda+2</math> no es un valor propio. Sea <math>v_0</math> un vector propio para <math>H</math> con valor propio <math>\lambda</math>:
: <math>H\cdot v_0=\lambda v_0</math>.
y por lo tanto, se debe tener que
: <math>X\cdot v_0=0</math>,
o si no, la identidad anterior mostraría que <math>X\cdot v_0</math> es un vector propio con valor propio <math>\lambda+2</math>.

Ahora se define una "cadena" de vectores <math>v_0,v_1,\ldots</math> por
: <math>v_k=Y^k\cdot v_0</math>.
Un argumento simple por inducción<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Equation (4.15)</ref> muestra que
: <math>X\cdot v_k=k(\lambda-(k-1))v_{k-1}</math>
para todos los <math>k=1,2,\ldots</math>. Ahora, si <math>v_k</math> no es el vector cero, es un vector propio para <math>H</math> con valor propio <math>\lambda-2k</math>. Como, nuevamente, <math>H</math> tiene solo un número finito de vectores propios, se concluye que <math>v_l</math> debe ser cero para algunos <math>l</math> (luego <math>v_k=0</math> para todos los <math>k>l</math>). 

Sea <math>v_m</math> el último vector distinto de cero en la cadena; es decir, <math>v_m\neq 0</math> pero <math>v_{m+1}=0</math>. Luego, por supuesto, <math>X\cdot v_{m+1}=0</math> y por la identidad anterior con <math>k=m+1</math>, se tiene que
: <math>0=X\cdot v_{m+1}=(m+1)(\lambda-m)v_m</math>
Como <math>m+1</math> es al menos uno y <math>v_m\neq 0</math>, se concluye que <math>\lambda</math> ''debe ser igual al entero no negativo'' <math>m</math>.

De este modo se obtiene una cadena de vectores <math>m+1</math> <math>v_0,\ldots, v_m</math> tal que <math>Y</math> actúa como
: <math>Y\cdot v_m=0;\quad Y\cdot v_k=v_{k+1}\quad(k<m) </math>
y <math>X</math> actúa como
: <math>X\cdot v_0=0,\quad X\cdot v_k=k(m-(k-1))v_{k-1}\quad(k>0)</math>
y <math>H</math> actúa como
:<math>H\cdot v_k=(m-2k)v_k</math>.

(Se ha reemplazado <math>\lambda</math> con su valor actualmente conocido de <math>m</math> en las fórmulas anteriores).

Dado que los vectores <math>v_k</math> son vectores propios para <math>H</math> con valores propios distintos, deben ser [[Dependencia e independencia lineal|linealmente independientes]]. Además, el alcance de <math>v_0,\ldots ,v_m</math> es claramente invariante bajo la acción del álgebra de Lie complejizada. Como <math>V</math> se supone irreducible, este intervalo debe ser todo de <math>V</math>. De este modo, se obtiene una descripción completa de cómo debe ser una representación irreducible; es decir, una base para el espacio y una descripción completa de cómo actúan los generadores del álgebra de Lie. A la inversa, para cualquier <math>m\geq 0</math> se puede construir una representación simplemente usando las fórmulas anteriores y comprobando que las relaciones de conmutación se mantienen. Esta representación se puede mostrar como irreducible.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} proof of Proposition 4.11</ref>

'''Conclusión''': para cada entero <math>m</math> no negativo, existe una representación irreducible única con el peso <math>m</math> más alto. Cada representación irreducible es equivalente a una de estas. La representación con mayor peso <math>m</math> tiene dimensión <math>m+1</math> con pesos <math>m,m-2,\ldots,-(m-2),-m</math>, cada uno con multiplicidad uno.

=== Elemento Casimir ===
El [[elemento Casimir]] <math>C</math> (cuadrático), viene dado por
: <math>C=-(u_1^2+u_2^2+u_3^2)</math>.
Se puede ver <math>C</math> como un elemento del [[álgebra envolvente universal]] o como un operador en cada representación irreducible. Viendo a <math>C</math> como un operador en la representación con <math>m</math> de mayor peso, se puede calcular fácilmente que <math>C</math> conmuta con cada <math>u_i</math>. Así, por el [[lema de Schur]], <math>C</math> actúa como un  escalar múltiple <math>c_m</math> de la identidad para cada <math>m</math>. Se puede escribir <math>C</math> en términos de la base <math>{H,X,Y}</math> de la siguiente manera:

: <math>C=(X+Y)^2-(-X+Y)^2+H^2</math>,

lo que se simplifica a

: <math>C=4YX+H^2+2H</math>.

El valor propio de <math>C</math> en la representación con mayor peso <math>m</math> se puede calcular aplicando <math>C</math> al vector de mayor peso, que es neutralizado por <math>X</math>. Así, se obtiene
: <math>c_m=m^2+2m=m(m+2)</math>.

En la literatura sobre física, el elemento Casimir se normaliza como <math>C'=C/4</math>. Etiquetando elementos en términos de <math>l=m/2</math>, el valor propio <math>d_l</math> de <math>C'</math> se calcula como
: <math>d_l= \frac{1}{4}(2l)(2l+2)=l(l+1)</math>.

== Las representaciones del grupo ==

=== Acción sobre los polinomios ===
Dado que SU(2) es simplemente conexo, un resultado general muestra que cada representación de su álgebra de Lie (compleja) da lugar a una representación de SU(2). Sin embargo, es deseable dar una realización explícita de las representaciones a nivel de grupo. Las representaciones grupales se pueden realizar en espacios de polinomios en dos variables complejas.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 4.2</ref> Es decir, para cada entero no negativo <math>m</math>, se hace que <math>V_m</math> denote el espacio de polinomios homogéneos de grado <math>m</math> en dos variables complejas. Entonces, la dimensión de <math>V_m</math> es <math>m+1</math>. Existe una acción natural de SU(2) en cada <math>V_m</math>, dada por
: <math>[U\cdot p](z)=p(U^{-1}z),\quad z\in\mathbb C^2,\, U\in\mathrm{SU}(2)</math>.
La representación del álgebra de Lie asociada es simplemente la descrita en la sección anterior (véase [[representación de álgebras de Lie]] para una fórmula explícita, para más datos sobre la acción del álgebra de Lie en el espacio de polinomios).

=== Caracteres ===
El [[Carácter (matemáticas)|carácter]] de una representación <math>\Pi:G\rightarrow\mathrm{GL}(V)</math> es la función <math>\Chi:G\rightarrow\mathbb C</math> dada por
: <math>\Chi(g)=\mathrm{trace}(\Pi(g))</math>.
Los caracteres juegan un papel importante en la teoría de la representación de grupos compactos. Se ve fácilmente que son una función de clase, es decir, invariantes bajo conjugación.

En el caso de SU(2), el hecho de que el carácter sea una función de clase significa que está determinado por su valor en el [[toro máximo]] <math>T</math>, que consiste en las matrices diagonales en SU(2). Dado que la representación irreducible con mayor peso <math>m</math> tiene pesos <math>m,m-2,\ldots -(m-2),-m</math>, es fácil ver que el carácter asociado satisface la condición
: <math>\Chi\left(\begin{pmatrix}
e^{i\theta} & 0\\
0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix}\right)=e^{im\theta}+e^{i(m-2)\theta}+\cdots e^{-i(m-2)\theta}+e^{-im\theta}.</math>
Esta expresión es una [[serie geométrica]] finita que se puede simplificar para
: <math>\Chi\left(\begin{pmatrix}
e^{i\theta} & 0\\
0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix}\right)=\frac{\mathrm{sin}((m+1)\theta)}{\mathrm{sin}(\theta)}.</math>
Esta última expresión es solo la declaración de la [[fórmula del carácter de Weyl]] para el caso SU(2).<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Example 12.23</ref>

En realidad, siguiendo el análisis original de Weyl de la teoría de la representación de grupos compactos, se pueden clasificar las representaciones en su totalidad desde la perspectiva del grupo, sin utilizar representaciones del álgebra de Lie. En este enfoque, la fórmula del carácter de Weyl juega un papel esencial en la clasificación, junto con el [[Teorema de Peter-Weyl]]. El caso de SU(2) se denomina ''SU.282.29''.

=== Relación con las representaciones de SO(3) ===
{{VT|Grupo de rotación SO(3)#Conexión entre SO(3) y SU(2)|Representación proyectiva}}

Teniendo en cuenta que cualquiera de los pesos de la representación son pares (si <math>m</math> es par) o todos los pesos son impares (si <math>m</math> es impar). En términos físicos, esta distinción es importante: las representaciones con pesos pares corresponden a representaciones ordinarias del [[grupo de rotación SO(3)]].<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 4.7</ref> Por el contrario, las representaciones con pesos impares corresponden a la representación de doble valor de SO(3) (espinorial), también conocida como [[representación proyectiva]].

En las convenciones de la física, <math>m</math> es par y se corresponde con el número entero <math>l</math>, mientras que <math>m</math> impar corresponde a <math>l</math> semientero. Estos dos casos se describen como [[bosón]] y [[fermión]], respectivamente. Las representaciones con valores impares y positivos de <math>m</math> son representaciones fieles de SU(2), mientras que las representaciones de SU(2) con valores de <math>m</math> pares no negativos, no son fieles.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.de/books?id=1jw8DQAAQBAJ|title=Group Theory for Physicists|last=Ma|first=Zhong-Qi|date=28 de noviembre de 2007|publisher=World Scientific Publishing Company|year=|isbn=9789813101487|location=|pages=120|language=en}}</ref>

== Otro enfoque ==
(Véase más abajo el ejemplo para el [[teorema de Borel-Weil-Bott]])

== Las representaciones irreductibles más importantes y sus aplicaciones ==
{{AP|Grupo de rotación SO(3)#Nota sobre el álgebra de Lie}}

Como se indicó anteriormente, las representaciones de SU (2) describen el [[espín]] no relativista, debido a que son un doble recubrimiento del grupo [[movimiento de rotación]] del [[espacio euclídeo]] tridimensional. El espín [[teoría de la relatividad especial|relativista]] está descrito por la [[teoría de la representación de SL2(C)|teoría de la representación de SL<sub>2</sub>('''C''')]], un supergrupo de SU(2), que de manera similar recubre [[Grupo de Lorentz|SO<sup>+</sup>(1;3)]], la versión relativista del grupo de rotación. La simetría SU(2) también admite conceptos de [[isospín]]<!-- BTW could this one be U(2)? --> e [[isospín débil]], conocidos colectivamente como ''isospin''.

La representación con <math>m=1</math> (es decir, <math>l=1/2</math> en la convención usada en física) es la representación '''2''', la [[representación fundamental]] de SU(2). Cuando un elemento de SU(2) se escribe como una [[Matriz (matemáticas)|matriz]] [[número complejo|compleja]] de orden {{math|2 × 2}}, es simplemente una [[Multiplicación de matrices|multiplicación]] de [[vector columna|vectores de 2 columnas]]. Es conocido en física como el [[espín-½]] e, históricamente, como la multiplicación de los [[cuaternión|cuaterniones]] (más precisamente, la multiplicación por un cuaternión [[Vector unitario|unitario]]). Esta representación también puede verse como una [[representación proyectiva]] de doble valor del grupo de rotación SO(3).

La representación con <math>m=2</math> (es decir, <math>l=1</math>) es la representación '''3''', la [[representación adjunta]]. Describe las [[Rotación (matemáticas)|rotaciones]]  3-d, la representación estándar de SO(3), por lo que los [[número real|números reales]] son suficientes para ello. Los físicos la usan para la descripción de las partículas [[Masa y energía en la relatividad especial|con masa]] de espín-1, como los [[mesón vectorial|mesones vectoriales]], pero su importancia para la teoría de los espines es mucho mayor porque ancla los estados de los espines a la [[geometría]] del [[Tridimensional|espacio físico tridimensional]].

Esta representación surgió simultáneamente con la '''2''', cuando [[William Rowan Hamilton]] introdujo los [[versor]]es, su término para los elementos de SU(2). Téngase en cuenta que Hamilton no usó la terminología estándar de la [[teoría de grupos]] ya que su trabajo precedió a los desarrollos del grupo Lie.

La representación <math>m=3</math> (es decir, <math>l=3/2</math>) se utiliza en [[física de partículas]] para ciertos [[barión|bariones]], como el [[Barión delta|Δ]].

== Véase también ==
* [[Rotación (matemáticas)]]
* [[Operador rotacional (mecánica cuántica)]]
* [[Representaciones de grupos de Lie|Teoría de la representation de SO(3)]]
* [[Grupo de rotación SO(3)|Conexión entre SO(3) y SU(2)]]
* [[Teoría de la representación de SL2(R)|Teoría de la representación de SL<sub>2</sub>('''R''')]]
* [[Modelo electrodébil]]
* [[Grupo de rotación SO(3)]]

== Referencias ==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==
* {{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
* Gerard 't Hooft (2007), {{Enlace roto|1=[http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/lieg.html' 'Grupos de mentiras en Física' '] |2=http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/lieg.html' |bot=InternetArchiveBot }}, Capítulo 5 "Operadores de escalera"
* {{Citation| last=Iachello|first=Francesco|title=Lie Algebras and Applications|series=Lecture Notes in Physics|volume=708|publisher=Springer|year=2006|isbn=3540362363}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Rotación]]
[[Categoría:Rotación en tres dimensiones]]