Ver el código de «Teorema de Euclides-Euler»

[[Archivo:Perfect number Cuisenaire rods 6.png|miniaturadeimagen|Mostrando, a través de las barras de Cuisenaire, que el 6 es un número perfecto.]]
El  '''teorema de Euclides–Euler''' es un [[teorema]]  de la [[teoría de números]] que relaciona los [[Número perfecto|números perfectos]] con los [[números primos de Mersenne]]. Afirma que un número par es perfecto [[Bicondicional|si y sólo si]]  tiene la forma  <math>2^{p-1}(2^{p}-1)</math>, donde <math>2^{p}-1</math> es un [[número primo]]. El teorema lleva el nombre de los matemáticos [[Euclides]] y [[Leonhard Euler]], que demostraron respectivamente los aspectos "si" y "sólo si" del teorema.

Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de Mersenne. Aunque la verdad de esta conjetura sigue siendo desconocida, es equivalente, por el teorema de Euclides-Euler, a la conjetura de que hay infinitos números perfectos pares. Sin embargo, también se desconoce si existe incluso un único número perfecto impar.<ref name="Stillwell">{{citation|title=Mathematics and Its History|last=Stillwell|first=John|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40|publisher=Springer|series=Undergraduate Texts in Mathematics|page=40|isbn=978-1-4419-6052-8|year=2010}}.</ref>
== Teorema y ejemplos ==
Un número perfecto es un [[número natural]]  que es igual a la suma de sus [[Divisibilidad|divisores]] propios, los números que son menores que él y lo dividen en partes iguales (con [[resto]] cero). Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman 6, por lo que 6 es perfecto.

Un número primo de Mersenne es un número primo  de la forma <math>2^{p}-1</math>. Para que un número de esta forma sea primo, el propio <math>p</math> debe ser también primo, pero no todos los primos dan lugar a primos de Mersenne de esta forma. Por ejemplo, {{nowrap|1=2<sup>3</sup> − 1 = 7}} es un primo de Mersenne, pero {{nowrap|1=2<sup>11</sup> − 1 = 2047 = 23 × 89}}  no lo es.

El teorema de Euclides–Euler afirma que un número natural par es perfecto si y sólo si  tiene la forma <math>2^{p-1}M_{p}</math>, donde <math>M_{p}</math> es un primo de Mersenne.<ref name="Stillwell"/> El número perfecto 6 proviene de <math>p = 2</math> de este modo, ya que {{nowrap|1=2<sup>2−1</sup><math>M</math><sub>2</sub> = 2 × 3 = 6}}, y el primo de Mersenne 7 corresponde de la misma manera al número perfecto 28.

== Historia ==
Euclides probó que <math>2^{p-1}(2^{p}-1)</math> es un número par perfecto siempre que <math>2^{p}-1</math> es primo. Este es el último resultado sobre la [[teoría de números]] en los ''[[Elementos de Euclides]]''. Euclides expresa el resultado afirmando que si una [[serie geométrica]] finita que comienza en 1 y tiene razón 2 tiene una suma prima <math>q</math>, entonces esta suma multiplicada por el último término <math>t</math> de la serie es un número perfecto. Expresado en estos términos, la suma <math>q</math> de la serie finita es el primo de Mersenne <math>2^{p}-1</math> y el último término <math>t</math> de la serie es la potencia de dos <math>2^{p-1}</math>. Euclides demuestra que <math>qt</math> es perfecto, observando que la serie geométrica de razón 2 que empieza en <math>q</math>, con el mismo número de términos, es proporcional a la serie original; por tanto, como la serie original suma <math>q=2t</math>, la segunda serie suma  <math>q(2t-1)=2qt-q</math>, y la suma de las dos series es <math>2qt</math>, el doble del número perfecto supuesto. Sin embargo, estas dos series son disjuntas entre sí y (por ser <math>q</math> primo) agotan todos los divisores de <math>qt</math>, por lo que <math>qt</math> tiene divisores que suman <math>2qt</math>, demostrando que es perfecto.<ref>{{Obra citada|título=The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX)|apellidos=[[Euclides]]|edición=2ª|editorial=Dover|páginas=421–426|year=1956}} Ver en particular Prop. IX.36.</ref>

Más de un milenio después de Euclides, [[Alhacén|Alhazen]], hacia el año 1000 de nuestra era, conjeturó que cualquier número perfecto par es de la forma <math>2^{p-1}(2^{p}-1)</math> donde <math>2^{p}-1</math> es primo, pero no pudo demostrar este resultado.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> No fue hasta el {{siglo|XVIII||s}}, más de 2.000 años después de Euclides,<ref>{{citation|title=On perfect and near-perfect numbers|last1=Pollack|first1=Paul|journal=Journal of Number Theory|issue=12|volume=132|pages=3037–3046|last2=Shevelev|first2=Vladimir|doi=10.1016/j.jnt.2012.06.008|year=2012|mr=2965207|arxiv=1011.6160|s2cid=13607242}}</ref> cuando [[Leonhard Euler]] demostró que la fórmula <math>2^{p-1}(2^{p}-1)</math> da lugar a todos los números perfectos pares.<ref name="Stillwell"/><ref>{{citation|title=Commentationes arithmeticae|language=Latin|last=Euler|first=Leonhard|authorlink=Leonhard Euler|chapter=De numeris amicibilibus|contribution-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/798/|volume=2|pages=627–636|year=1849|trans-chapter=On amicable numbers}}. Leído por primera vez ante la Berlin Academy el 23 de febrero de 1747, y publicado de modo póstumo. Ver en particular la sección 8, p. 88.</ref> Así pues, existe una [[Función_biyectiva|relación biunívoca]] entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número perfecto par, y viceversa. Después de la demostración de Euler del teorema de Euclides-Euler, otros matemáticos han publicado diferentes demostraciones, como [[Victor-Amédée_Lebesgue|Victor-Amédée Lebesgue]], [[Robert Daniel Carmichael]], [[Leonard_Eugene_Dickson|Leonard Eugene Dickson]], [[John_Knopfmacher|John Knopfmacher]], and Wayne L. McDaniel. La demostración de Dickson, en particular, se ha utilizado habitualmente en los libros de texto.<ref>{{citation|title=Even perfect numbers|last=Cohen|first=Graeme L.|date=March 1981|journal=The Mathematical Gazette|issue=431|volume=65|pages=28–30|doi=10.2307/3617930|jstor=3617930}}</ref>

Este teorema se incluyó en una lista web de los "100 mejores teoremas matemáticos", que data de 1999, y que más tarde fue utilizada por Freek Wiedijk como [[Benchmark (informática)|benchmark]] para probar la potencia de diferentes [[Demostración interactiva de teoremas|asistentes de demostración]] . En 2021, la demostración del teorema de Euclides-Euler se había formalizado en 5 de los 10 asistentes de demostración registrados por Wiedijk.<ref>{{Obra citada|título=Formalizing 100 Theorems|apellidos=Wiedijk|nombre=Freek|url=https://www.cs.ru.nl/~freek/100/|fechaacceso=2021-07-10|editorial=Radboud University Institute for Computing and Information Sciences}}</ref>

== Demostración ==
La prueba de Euler es corta<ref name="Stillwell"/> y depende del hecho de que la función de [[Función divisor|suma de divisores]] <math>\sigma</math> es [[Función multiplicativa|multiplicativa]]; es decir, si <math>a</math> y <math>b</math> son dos enteros cualesquiera [[Números coprimos|primos entre sí]], entonces <math>\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)</math>. Para que esta fórmula sea válida, la suma de los divisores de un número debe incluir el propio número, no sólo los divisores propios. Un número es perfecto si y sólo si su suma de divisores es el doble de su valor.

=== Suficiencia ===
Un sentido del teorema (la parte ya demostrada por Euclides) se deduce inmediatamente de la propiedad multiplicativa: todo primo de Mersenne da lugar a un número perfecto par. Cuando <math>2^{p}-1</math> es primo, <math display-block="">\sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) = \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1).</math> Los divisores de <math>2^{p-1}</math> son <math>1, 2, 4, 8, ..., 2^{p-1}</math>.  La suma de estos divisores es una [[serie geométrica]] cuya suma es <math>2^{p}-1</math>. Luego, como  <math>2^{p}-1</math> es primo, sus únicos divisores son {{Math|1}} y él mismo, así que la suma de sus divisores es <math>2^{p}</math>.



Combinando estas expresiones,<math display="block">\begin{align}
   \sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) &= \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1) \\
   &= (2^p - 1)(2^p) \\
   &= 2(2^{p-1})(2^p - 1).
 \end{align}</math>Por tanto, <math>2^{p-1}(2^{p}-1)</math> es perfecto.<ref name="Gerstein">{{Obra citada|título=Introduction to Mathematical Structures and Proofs|apellidos=Gerstein|nombre=Larry|url=https://books.google.com/books?id=qK9y768b1NQC&pg=PA339|editorial=Springer|serie=Undergraduate Texts in Mathematics|en=Theorem 6.94, p.&nbsp;339|ISBN=978-1-4614-4265-3|year=2012}}</ref><ref name="Caldwell">{{Obra citada|título=A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime|apellidos=Caldwell|nombre=Chris K.|url=https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html|fechaacceso=2014-12-02|pub-periódica=Prime Pages}}.</ref><ref name="Travaglini">{{Obra citada|título=Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy|apellidos=Travaglini|nombre=Giancarlo|url=https://books.google.com/books?id=mIaYAwAAQBAJ&pg=PA26|editorial=Cambridge University Press|serie=London Mathematical Society Student Texts|volumen=81|páginas=26–27|ISBN=978-1-107-04403-6|year=2014}}.</ref>

=== Necesidad ===
En el otro sentido, supongamos que se ha dado un número perfecto par, y lo factorizamos parcialmente como <math>2^{k}x</math>, donde <math>x</math> es impar. Para que <math>2^{k}x</math> sea perfecto, la suma de su divisores tiene que ser dos veces su valor:{{NumBlk|:|<math>2^{k+1}x = \sigma(2^k x) = (2^{k+1} - 1)\sigma(x).</math>|∗}}El factor impar <math>2^{k+1}-1</math> en el lado derecho de ('''∗''') es al menos 3, y  tiene que dividir a <math>x</math>, el único factor impar en el lado izquierdo, así que <math>y=x/(2^{k+1}-1)</math> es un divisor propio de <math>x</math>. Dividiendo ambos lados de ('''∗''') por el factor común <math>2^{k+1}-1</math> y teniendo en cuenta los divisores conocidos <math>x</math> e <math>y</math> de <math>x</math> se obtiene:
<math>2^{k+1}y=\sigma(x)=x+y+\text{otros divisores}=2^{k+1}y+\text{otros divisores}</math>

Para que esta igualdad sea cierta,  no puede haber otros divisores. Por tanto, <math>y</math> tiene que valer 1, y <math>x</math> tiene que ser un número primo de la forma <math>2^{k+1}-1</math>.<ref name="Gerstein"/><ref name="Caldwell"/><ref name="Travaglini"/>
== Referencias ==
{{Listaref}}

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Euclides-Euler Teorema de}}
[[Categoría:Teoremas de teoría de números]]
[[Categoría:Números perfectos]]
[[Categoría:Primos de Mersenne]]
[[Categoría:Leonhard Euler]]