Ver el código de «Teorema de Pitágoras»

[[Archivo:Pythagorean right angle.svg|derecha|180px]]
En [[matemáticas]], el '''teorema de Pitágoras''' es una relación en [[geometría euclidiana]] entre los tres lados de un [[triángulo rectángulo]]. Afirma que el área del [[cuadrado]] cuyo lado es la [[hipotenusa]] (el lado opuesto al [[ángulo recto]]) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los [[Cateto|catetos]] (los otros dos lados que no son la hipotenusa). Este [[teorema]] se puede escribir como una [[ecuación]] que relaciona las longitudes de los lados 'a', 'b' y 'c'. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.<ref name="Sally0">{{cite book |title=Roots to research: a vertical development of mathematical problems |author1=Judith D. Sally |author2=Paul Sally |page=63 |chapter=Chapter 3: Pythagorean triples |chapter-url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |isbn=978-0-8218-4403-8 |year=2007 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref> El teorema de Pitágoras establece que, en todo [[triángulo rectángulo]], la longitud de la [[hipotenusa]] es igual a la [[raíz cuadrada]] de la suma del área de los [[Cuadrado|cuadrados]] de las respectivas longitudes de los [[catetos]].

Si en un triángulo rectángulo hay [[catetos]] de longitud <math> a \,</math> y <math> b \,</math>, y la medida de la [[hipotenusa]] es <math> c \,</math>, entonces se cumple la siguiente relación:

{{Ecuación|<math>  a^2 + b^2 = c^2 \,</math>|1}}

De esta [[ecuación]] se deducen tres [[Corolario|corolarios]] de verificación algebraica y aplicación práctica:{{Pitágoras (fórmulas prácticas)}}

El teorema de Pitágoras se ha demostrado en numerosas ocasiones por muchos métodos diferentes, posiblemente el mayor número de teoremas matemáticos. Las pruebas son diversas, e incluyen tanto pruebas geométricas como algebraicas, y algunas se remontan a miles de años atrás. 

El teorema se puede [[generalización|generalizar]] de varias maneras: a espacios de mayor dimensión, a espacios que no son euclidianos, a objetos que no son triángulos rectos y a objetos que no son triángulos en absoluto, sino sólidos ''n''. El teorema de Pitágoras ha despertado interés fuera de las matemáticas como símbolo de abstracción matemática, mística o poder intelectual; abundan las referencias populares en la literatura, obras de teatro, musicales, canciones, sellos y dibujos animados.

== Historia ==
El teorema de Pitágoras fue comprobado en el {{siglo|VI|a|s}} por el [[Filosofía|filósofo]] y matemático [[Antigua Grecia|griego]] [[Pitágoras]], pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación.

Respecto de los babilonios hay esta nota: {{cita|Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas. |<ref>Julio Rey Pastor y José Babini. ''Historia de la matemática, pág. 22; ISBN 84-7432-807-1</ref> }}

[[Archivo:Plimpton 322.jpg|derecha|300px]]
Existe un debate sobre si el teorema de Pitágoras se descubrió una vez, o muchas veces en muchos lugares, y la fecha del primer descubrimiento es incierta, al igual que la fecha de la primera demostración. Los historiadores de las matemáticas mesopotámicas han llegado a la conclusión de que la regla pitagórica tuvo un uso generalizado durante el período babilónico antiguo ({{siglo|XX||s}} al {{siglo|VI|a|s}}), más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras.<ref>{{harvnb|Neugebauer|1969}}: p. 36 "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse."</ref><ref>{{cite journal|author=Friberg, Jöran|url=https://www.researchgate.net/publication/222892801|title=Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations|journal= Historia Mathematica|volume=8|pages=277–318|year=1981|doi=10.1016/0315-0860(81)90069-0|doi-access=}}: p. 306 "Although Plimpton 322 is a unique text of its kind, there are several other known texts testifying that the Pythagorean theorem was well known to the mathematicians of the Old Babylonian period."</ref><ref>{{cite conference|last=Høyrup|first=Jens|author-link=Jens Høyrup|contribution=Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’ – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics|pages=393–407|editor=Renger|editor-first=|title=Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 in Berlin|publisher=Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag|url=http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/Pythrule.pdf}}, p. 406, "''To judge from this evidence alone'' it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors’ environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db<sub>2</sub>-146, somewhere between 2300 and 1825 BC."  ([[Db2-146|Db<sub>2</sub>-146]] is an Old Babylonian clay tablet from [[Eshnunna]] concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.)</ref><ref>{{cite book |author-link= |last=Robson |first=Eleanor |title=Mathematics in Ancient Iraq: A Social History |publisher=Princeton University Press |year=2008 }}: p. 109 "Many Old Babylonian mathematical practitioners … knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste ‘algebra’ on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."</ref> 

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la [[escuela pitagórica]]. Anteriormente, en [[Mesopotamia]] y el [[Antiguo Egipto]] se conocían [[Terna pitagórica|ternas de valores]] que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y [[papiro]]s. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.<ref>Marc-Alain Ouaknin. ''El misterio de las cifras'', pp 221-224. ISBN 9788496222465</ref> La [[pirámide de Kefrén]], datada en el siglo XXVI&nbsp;a.&nbsp;C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado [[triángulo sagrado egipcio]], de proporciones 3-4-5.

== Designaciones convencionales ==
[[Archivo:Euklidova veta.svg|centrado|350px]]

{{Triángulos (Designaciones convencionales)}}

== Demostraciones ==
El teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la [[Edad Media]] se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "[[Magíster matheseos]]".{{cr}}

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Por ejemplo, el matemático estadounidense [[E. S. Loomis]] catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 ''The Pythagorean Proposition''.{{cr}}
[[Archivo:TEOREMA DE PITAGORAS.jpg|miniaturadeimagen|Demostración gráfica del teorema de Pitágoras- Taller escolar. ]]
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; las geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; las dinámicas, a través de las propiedades de fuerza, masa, y las [[cuaterniónicas]], mediante el uso de [[vectores]].{{cr}}

=== China: El ''Zhoubi Suanjing'' y el ''Jiuzhang Suanshu'' ===
[[Archivo:Chinese pythagoras.jpg|miniatura|210px|Prueba visual para un triángulo de '''''a'''''&nbsp;=&nbsp;3, '''''b'''''&nbsp;=&nbsp;4 y '''''c'''''&nbsp;=&nbsp;5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200&nbsp;a.&nbsp;C.]]
[[Archivo:Pythagoras-2a.gif|thumb|derecha|220px|Prueba animada del teorema de Pitágoras.]]

El ''[[Zhoubi Suanjing]]'' es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que se escribió entre el 500 y el 300&nbsp;a.&nbsp;C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al ''[[Jiuzhang Suanshu]]'', parece que es posterior; está fechado en torno al año 250&nbsp;a.&nbsp;C.

El ''Zhou Bi'' demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado '''''(a+b)''''' que se parte en cuatro [[triángulos]] de base '''''a''''' y altura '''''b''''', y un cuadrado de lado '''''c'''''.

;Demostración

Sea el [[triángulo rectángulo]] de catetos '''''a''''' y '''''b''''' e hipotenusa '''''c'''''. Se trata de demostrar que el área del [[cuadrado]] de lado ''c'' es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado ''a'' y lado ''b''. Es decir: 
: <math> a^2 + b^2 = c^2\,</math>

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado '''''c''''' formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de '''''b - a'''''. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
:<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,</math>
Ya que <math>(b-a)^2 = (a-b)^2 \,</math>.

Es evidente que el área del cuadrado de lado '''''c''''' es la suma del área de los cuatro triángulos de altura '''''a''''' y base '''''b''''' que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

:<math>c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2 </math>

Con lo cual queda demostrado el teorema.

=== Demostraciones de Pitágoras ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras.svg|thumb|300px|right|Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.]]

Se estima que se demostró el teorema mediante [[triángulos semejantes|semejanza]] de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.<ref>Una vez descubiertos los [[números irracionales]], esta demostración quedaba invalidada. [[Euclides]] fue el primero en prescindir de la [[proporcionalidad]] para demostrar el teorema.</ref>

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos ''a’'' y ''b’'', proyecciones en ella de los catetos ''a'' y ''b'', respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia, dichos triángulos son semejantes.

* De la semejanza entre ABC y AHC: 
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

:<math>\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}</math> 

:<math>b^2\ =\ b'c</math>

* De la semejanza entre ABC y BHC: 

:<math>\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}</math>

:<math>a^2\ =\ a'c</math>

Los resultados obtenidos son el [[triángulo rectángulo#Teorema_del_cateto|teorema del cateto]].

Sumando: 

:<math>a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )</math>

Pero <math>\left (a'+b'\right )=\ c</math>, por lo que finalmente resulta: 

:<math>a^2\ +\ b^2 =c^2</math>

[[Archivo:Triángulos semejantes b.svg|thumb|300px|right|La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema.]]

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes. 

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que: 

:<math>\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r</math>

siendo '''r''' la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

:<math>S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )</math>

:<math>S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )</math>

obtenemos después de simplificar que: 

:<math>\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}</math>

pero siendo <math>\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r</math> la razón de semejanza, está claro que: 

:<math>\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2 </math>

Es decir, ''"la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza"''.

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que: 

:<math>\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2 </math>

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da: 

:<math>\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }</math> '''(I)'''

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que: 

:<math>\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2 </math>

:<math>\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}</math>

pero según '''(I)''' <math>\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }</math>, así que: 

:<math> \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2} </math> 

y por lo tanto: 

:<math> b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2</math> 

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras b.svg|thumb|300px|left|Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.]]

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados '''''a''''', '''''b''''', '''''c''''', y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

* Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
* El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (<math>c^2</math>) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (<math>b^2+a^2</math>), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

<!-- ESTO NO ES UNA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS, ES SOLO UN CASO ESPECIAL QUE NO TIENE VALIDEZ GENERAL. NADIE PUEDE TOMAR SERIAMENTE UN CASO PARTICULAR COMO UNA DEMOSTRACIÓN GENERAL DEL TEOREMA DE PITÁGORAS !!  usuario:Gusbelluwiki -->
<!-- === Demostración de Platón: el ''Menón'' ===
[[Archivo:PLATÓN.Duplicación del cuadrado y teorema de Pitágoras.svg|<div style='text-align:center'>En uno de los [[meandro (geomorfología)|meandros]] del [[Menón]] se plantea el problema de la duplicación del cuadrado –izquierda y centro-. La solución que elabora Platón encierra inesperadamente una demostración del teorema de Pitágoras –derecha-, si bien referida exclusivamente a los triángulos rectángulos isósceles.</div>]]

{{cita|Dinos, Sócrates, ¿cómo se adquiere la virtud? ¿Mediante la enseñanza o mediante el ejercicio?|}} 
Esta filosófica pregunta forma parte del ''[[Menón]]'' de [[Platón]], y a su tenor no parece que la [[Geometría]] vaya a hacer acto de presencia en el "Diálogo", pero el filósofo es quien maneja los hilos y unas páginas más adelante nos encontramos con cuadrados y superficies. En ese fragmento, Platón habla de que conocer es recordar. Cuando creemos estar aprendiendo, lo que sucede en realidad es que recordamos las verdades que nuestra alma pudo percibir de forma inmediata antes de encarnarse en el cuerpo. 

En el texto, [[Sócrates]] se lo demuestra a Menón llamando a uno de sus esclavos, que nunca ha sido educado, pero que, sin embargo, es capaz de llegar a demostrar el teorema de Pitágoras. Sócrates le plantea el problema de la duplicación del cuadrado. Sucesivas preguntas van sacando de la mente del esclavo la solución del problema, con lo que pretendidamente aquél no hizo sino "recordar" lo que ya "sabía". Ese método para sacar esos conocimientos es la mayéutica, en la cual, el individuo que conduce al otro hacia el conocimiento, como en este caso hace Sócrates, desempeña una función similar a la de una partera, donde lo que logra extraer de su interlocutor, es el conocimiento de lo verdadero.

Platón construye un [[cuadrado]] cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). Su área vale lo de cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su [[diagonal]] AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero.<ref>En primer lugar se ha cuadruplicado el área del cuadrado inicial, que aumentó de cuatro a dieciséis unidades cuadradas, para después obtener el resultado buscado</ref> Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul (<math>8 u^2</math>) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises (<math>4 u^2</math> cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC. Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre la hipotenusa (la diagonal del cuadrado inicial) contiene cuatro de dichos triángulos.

Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los '''triángulos rectángulos isósceles'''.
-->

=== Demostración de Euclides: proposición I.47 de ''Los Elementos'' ===
[[Archivo:Euclides I.41.svg|thumb|300px|right|'''Figura&nbsp;Euclides&nbsp;1''': La proposición I.41<ref name="Euclides proposición I.41" /> de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita [[Euclides]] para demostrar el teorema de Pitágoras.]]

[[Archivo:Euclides I.36.svg|thumb|300px|right|'''Figura&nbsp;Euclides&nbsp;2''': La proposición I.36<ref name="Euclides proposición I.36">Euclides ''[[Los Elementos]]'', proposición I.36 → «Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.»</ref> de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.]]

[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Euclides.svg|thumb|300px|right|'''Figura&nbsp;Euclides&nbsp;3''': La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41<ref name="Euclides proposición I.41" /> de [[Los Elementos]].]]

El descubrimiento de los [[número irracional|números irracionales]] por Pitágoras y los [[Pitagóricos]] supuso un contratiempo muy serio.<ref>Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico [[Hipaso de Metaponto]] lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.</ref> De pronto, las [[proporción|proporciones]] dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un [[número racional]]. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, [[Euclides]] elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47<ref name="Euclides proposición I.47">Euclides ''[[Los Elementos]]'', proposición I.47 → «En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.»</ref> de ''[[Los Elementos]]'': 
{{Definición|1= En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.|2= [[Euclides]] (proposición I.47)}}
Basándose en la proposición I.41<ref name="Euclides proposición I.41">Euclides ''[[Los Elementos]]'', proposición I.41 → «Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.»</ref> de ''[[Los Elementos]]'', que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura&nbsp;Euclides&nbsp;1<!-- y '''Figura&nbsp;Euclides&nbsp;2''' -->).

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura&nbsp;Euclides&nbsp;3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:
* Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales.
* Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la [[#Demostración de Leonardo da Vinci|demostración de Leonardo da Vinci]] se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Véase (en la Figura&nbsp;Euclides&nbsp;3) que:
# Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el [[rectángulo]] AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41<ref name="Euclides proposición I.41">Euclides ''[[Los Elementos]]'', proposición I.41 → «Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.»</ref> de ''[[Los Elementos]]'', AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura&nbsp;Euclides&nbsp;1).
# Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD. 

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el [[cuadrado]] ADEC tienen áreas equivalentes. 
Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABg y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que estos últimos tienen asimismo áreas iguales. 
A partir de lo anterior, surge de inmediato que: «la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa».

=== Demostración de Pappus ===
[[Archivo:Euclides I.36.svg|thumb|300px|left|La proposición I.36<ref name="Euclides proposición I.36" /> de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.]]
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pappus.svg|thumb|300px|left|La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.]]
Unos 625 años después que Euclides, [[Pappus de Alejandría|Pappus]]<ref>Pappus nació en [[Alejandría]] -''Pappus de Alejandría''- sobre el año 290, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.</ref> parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposición I.36<ref name="Euclides proposición I.36" /> de ''[[Los Elementos]]'' de Euclides:

:Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del [[triángulo]] ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes. 

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el [[rectángulo]] CEGI cuya diagonal CG determina en aquel dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado: 

* Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
* El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales. 

# Los [[paralelogramo]]s ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, '''r''' y '''s'''. Por lo tanto tienen la misma superficie (''Elementos'' I.36)
# Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas '''m''' y '''n'''– resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

# CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas '''s''' y '''t'''. Sus superficies son equivalentes.
# CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas '''o''' y '''p'''. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

=== Demostración de Bhaskara ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Bhaskara.svg|thumb|300px|right|Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.]]
[[Bhaskara II]], el matemático y astrónomo hindú del {{siglo|XII||s}}, dio la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b). 

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que <math>c^2=a^2+b^2</math>

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

:<math>c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2</math>

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado <math>c^2=a^2+b^2</math>, y el teorema queda demostrado.

=== Demostración de Leonardo Da Vinci ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|thumb|300px|right|El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.]]

[[Leonardo da Vinci]] también encontró una demostración para este teorema. 

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos [[polígono]]s, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

# Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
# Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

* De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
* Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
** A de ADGB y A de CIJA
** B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la [[#Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos|demostración de Euclides]], nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

=== Demostración de Garfield ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Garfield.svg|thumb|300px|right|El [[polígono]] construido por Garfield es un [[trapecio (figura)|trapecio]] de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.]]
[[James A. Garfield|James Abram Garfield]] (1831-1881), el vigésimo [[presidente de los Estados Unidos]],<ref>James A. Garfield murió el 19 de septiembre de 1881, a consecuencia de un atentado sufrido el 2 de julio del mismo año. Fue el segundo Presidente asesinado, después de [[Abraham Lincoln]]. Su demostración del teorema de Pitágoras es de 1876, cuando era miembro de la Cámara de Representantes.</ref> desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el ''New England Journal of Education''.

Garfield construye un [[trapecio (figura)|trapecio]] de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:
{{ecuación|<math>S_{\text{trapecio}}=\frac {a+b}{2} \cdot (a+b)</math>|g.1|right}}

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

{{ecuación|<math>S=2 \cdot \frac {ab}{2} + \frac  {c^2}{2}</math>|g.2|right}}

igualando la ecuación {{Eqnref|g.2}} con la {{Eqnref|g.1}} obtenemos:
:<math>(ab) + \frac {c^2}{2} = \frac {1}{2} (a+b) \cdot (a+b)</math>

multiplicando ambos lados por <math>2</math> y simplificando...
:<math>2 a b+c^2=(a+b)^2\,</math>

expandiendo el miembro derecho...
:<math>2 a b+c^2=a^2+2 a b+b^2\,</math>

restando <math>2ab</math> a ambos miembros, finalmente nos da:
{{ecuación|<math>c^2=a^2+b^2 \,</math>}}
y el teorema está demostrado.

=== Prueba mediante un geoplano ===
Es posible, más que una demostración de carácter genérico, la comprobación de la justeza de la proposición mediante un geoplano, únicamente para casos especiales y concretos, previamente conocidos.<ref>Ángel GUTIÉRREZ ( editor) ''Didáctica de la matemática''. Editorial Síntesis. ISBN 84-7738-137-2</ref>

=== Proposición recíproca del teorema de Pitágoras ===
Si en un triángulo ABC, siendo el lado mayor ''a'' se cumple que <math> a^2 =b^2+c^2 </math> entonces el triángulo es rectángulo.<ref>Pogorélov. ''Geometría elemental''</ref>

== Usos del teorema en la matemática ==
=== Triples pitagóricos ===
{{AP|Terna pitagórica}}
Un triple pitagórico tiene tres enteros positivos ''a'', ''b'' y ''c'', tales que {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>.}}. En otras palabras, un triple pitagórico representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo en el que los tres lados tienen longitudes enteras.<ref name=Sally0/> Este triple se suele escribir (a, b, c). Algunos ejemplos conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

Un triple pitagórico primitivo es aquel en el que ''a'', ''b'' y ''c'' son [[Números coprimos| coprimos]], es decir, que el máximo común divisor de a, b y c es 1.

La siguiente es una lista de triples pitagóricos primitivos con valores inferiores a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)
=== Teorema de Pitágoras recíproco ===
Dado un [[triángulo rectángulo]] con lados <math>a,b,c</math> y [[Altura (geometría)| altitud]] <math>d</math> (una recta del ángulo recto y perpendicular a la [[hipotenusa]] <math>c</math>). El teorema de Pitágoras tiene,
:<math>a^2+b^2 = c^2</math>
mientras que el ''teorema pitagórico recíproco'' <ref>R. B. Nelsen, Proof Without Words: A Reciprocal Pythagorean Theorem, Mathematics Magazine, 82, December 2009, p. 370</ref> o el ''teorema de Pitágoras al revés'' <ref>The upside-down Pythagorean theorem, Jennifer Richinick, The Mathematical Gazette, Vol. 92, No. 524 (July 2008), pp. 313-316</ref> relaciona las dos [[cateto]]s <math>a,b</math> con la altitud <math>d</math>,<ref>Alexander Bogomolny, Teorema de Pitágoras para los recíprocos,https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PTForReciprocals.shtml</ref>
:<math>\frac1{a^2}+\frac1{b^2} = \frac1{d^2}</math>
La ecuación se puede transformar en,
<math>\frac1{(xz)^2}+\frac1{(yz)^2} = \frac1{(xy)^2}</math>
donde <math>x^2+y^2=z^2</math> para cualquier [[número real|real]] no nulo <math>x,y,z</math>. Si los <math>a,b,d</math> han de ser [[enteros]], la solución más pequeña <math>a>b>d</math> es entonces 
<math>\frac1{20^2}+\frac1{15^2} = \frac1{12^2}</math>
utilizando el triple pitagórico más pequeño <math>3,4,5</math>. El teorema de Pitágoras recíproco es un caso especial de la [[ecuación óptica]]
:<math>\frac1{p}+\frac1{q} = \frac1{r}</math>



donde los denominadores son cuadrados y también para un [[triángulo heptagonal]] cuyos lados <math>p,q,r</math> son números cuadrados.


'''Los Pitagóricos'''

Una de las más conocidas herencias del pitagorismo, a las matemáticas, lo constituye el teorema de la hipotenusa, más conocido como el Teorema de Pitágoras. No está claramente establecido si éste fue obra del Maestro o de sus discípulos, ya que los pitagóricos fueron grandes matemáticos que acostumbraban a atribuir a Pitágoras todos sus descubrimientos.<ref>{{Cita web|url=https://eruizf.com/martinismo/autores/varios/sebastian_jansel_teorema_de_pitagoras.pdf|título=El teorema de Pitágoras}}</ref>

== Otros ejemplos de uso ==
* Para calcular la longitud ''e'' de una escalera; se conoce la altura ''h'' del muro a alcanzar; la distancia ''p'' desde  la línea suelo muro al pie de la escalera. Se cumple la ecuación <math> e^2 = h^2 + p^2 </math>; se despeja el valor de e, mediante  <math>e= \sqrt{h^2+ p^2}.</math><ref>Posible aplicación, con diversas variantes y contextualidades, en el mundo real.</ref>

* En la [[geometría analítica]] plana, para hallar la distancia entre los puntos <math> C(x_1, y_1) ,  D(x_2, y_2)</math> con la igualdad <math> CD^2 = (x_2 -x_1)^2+ (y_2 -y_1)^2.</math><ref>Carles Lehman: Geometría analítica</ref>

* En [[trigonometría]] para demostrar la identidad fundamental <math> \sen^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 </math>entre el [[Seno (trigonometría)|seno]] y [[coseno]].<ref>Fleming, Walter y Dale Varberg: ''Álgebra y trigonometría con geometría analítica'' ISBN 968-880-222-0</ref>
* En la [[geometría]] para calcular la altura de un triángulo equilátero en función del lado; para obtener la altura del [[tetraedro]] regular usando la arista. Para hallar el [[apotema]] de un triángulo equilátero y de un hexágono regular inscritos, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.<ref>Juan Goñi: ''Geometría''.</ref>

* En [[teoría algebraica de números]] para analizar si un [[entero gaussiano]] es primo gaussiano. Por ejemplo <math>\alpha = 1+4i</math>, cuya norma es <math> N(\alpha) =1^2+4^2 = 17.</math><ref>Vinográdov: ''Introducción a la teoría de números''.</ref>

== Véase también ==
* [[Triángulo rectángulo]]
* [[Terna pitagórica]]
* [[Teorema de De Gua]]
* [[Fórmula de Herón]]
* [[Trigonometría]]
** [[Triangulación]]
** [[Trigonometría esférica]]
** [[Función trigonométrica]]
** [[Teorema del coseno]]
** [[Teorema del seno]]
* [[Pitágoras]]
* [[Escuela de Kerala]]
* [[Matemática en la India]]
* [[Ecuación pitagórica]]

== Notas ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{versalita|Platón}} (1958). ''Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros''. [[Madrid]]: Ediciones Ibéricas.
* {{versalita|Strathern}}, Paul (1999). ''Pitágoras y su teorema''. Madrid: Siglo XXI de España Editores.
* {{versalita|Loomis}}, Elisha Scott (1940). ''The Pythagorean Proposition''. Míchigan: NCTM.
* {{versalita|González Urbaneja}}, Pedro Miguel (2001). ''Pitágoras. El filósofo del número''. Madrid: Nivola.
* {{cita libro |apellido={{versalita|Martínez Delgado}} |nombre=Alberto |título=Teorema de Pitágoras: originalidad de las demostraciones de E. García Quijano (1848) |url=http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=262 |fechaacceso=4 de octubre de 2010 |isbn= |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20100404010015/http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=262 |fechaarchivo=4 de abril de 2010 }}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Pythagorean theorem}}
* [http://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Licenciatura/Un100/recursos/_Un_031_mVolumenEnRn/index.html Teorema de Pitágoras  y fórmula de Herón en <math>R^n</math>]
* {{springer|title=Pythagorean theorem|id=p/p075940|mode=cs1}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics]
* Interactive links:
** [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html Interactive proof] in [[Java (programming language)|Java]] of the Pythagorean theorem]
** [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml En HTML con figuras interactivas basadas en lenguaje [[Java (lenguaje de programación)| Java]].
** [http://www.mathopenref.com/pythagorastheorem.html Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas with interactive animation]
** [http://math.ucr.edu/~jdp/Relativity/Pythagorus.html Animated, non-algebraic, and user-paced] Pythagorean theorem
* [https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o Pythagorean theorem water demo] on YouTube
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Pythagorean theorem] (more than 70 proofs from [[cut-the-knot]])
* {{MathWorld|title=Pythagorean theorem|urlname=PythagoreanTheorem}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teorema de Pitágoras| ]]
[[Categoría:Geometría euclidiana plana]]
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