Ver el código de «Teselado uniforme»

[[Archivo:Tiling 4a simple.svg|mini|[[Teselado cuadrado]] regular]]
[[Archivo:Tiling Regular 6-3 Hexagonal.svg|mini|[[Teselado hexagonal]] regular]]

En [[geometría]], un '''teselado uniforme''' es un tipo de [[teselado]] del plano mediante [[polígonos regulares]], que deben ser necesariamente [[figura isogonal|vértice transitivos]].

Pueden existir teselados uniformes tanto en el [[Plano (geometría)|plano euclídeo]] como en [[Espacio hiperbólico|plano hiperbólico]]. Los teselados uniformes están relacionados con el [[poliedros uniformes]] finitos, que pueden considerarse teselados uniformes de la [[esfera]].

La mayoría de los teselados uniformes se pueden generar a partir de una [[construcción de Wythoff]], comenzando con un [[grupo de simetría]] y un punto generador singular dentro de [[dominio fundamental]]. Un grupo de simetría plana tiene un [[dominio fundamental]] poligonal y puede representarse mediante el nombre del grupo denotado a su vez por el orden de los espejos en vértices secuenciales.

Un triángulo de dominio fundamental es (''p'' ''q'' ''r''), y un triángulo rectángulo (''p'' ''q'' 2), donde ''p'', ''q'', ''r'' son números enteros mayores que 1. El triángulo puede ser [[trigonometría esférica|esférico]], un triángulo plano euclídeo o un triángulo plano hiperbólico, dependiendo de los valores de ''p'', ''q'' y ''r''.

Existen varias clases de símbolos para denominar a estas figuras, a partir de un [[símbolo de Schläfli]] modificado para dominios de triángulos rectángulos: (''p'' ''q'' 2) → {''p'', ''q''}. El [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] es un gráfico triangular con ''p'', ''q'', ''r'' etiquetados en las aristas. Si ''r'' = 2, la gráfica es lineal, ya que los nodos del dominio de orden 2 no generan reflexiones. El [[símbolo de Wythoff]] toma los 3 números enteros y los separa por una barra vertical (|). Si el punto del generador está fuera del espejo opuesto a un nodo de dominio, se indica antes de la barra.

Finalmente, los teselados se pueden describir por su [[configuración de vértices]], la secuencia de polígonos alrededor de cada vértice.

Todos los teselados uniformes se pueden construir a partir de varias operaciones aplicadas a los [[teselados regulares]]. Estas operaciones, según la nomenclatura ideada por [[Norman Johnson]], se denominan [[Truncamiento (geometría)|truncamiento]] (cortado de vértices), [[Rectificación (geometría)|rectificación]] (cortado de vértices hasta hacer desaparecer las aristas originales) y [[canteado (geometría)|canteado]] (cortado de aristas). El [[omnitruncamiento]] es una operación que combina truncamiento y canteado. El achatado es una operación de [[Alternación (geometría)|truncamiento alternado]] de la forma omnitruncada (véase [[poliedro uniforme]] para obtener más detalles).

==Grupos de Coxeter==

Los [[grupos de Coxeter]] para el plano definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante los [[diagramas de Coxeter-Dynkin]]:

Los grupos con órdenes enteros son los siguientes:

{|class=wikitable width=50%
|+ Plano euclídeo
|-
![[Notación orbifold|Simetría<br/>orbifold]]
!colspan=3|[[Grupo de Coxeter]]
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br/>de Coxeter]]
!Notas
|-
! colspan=6|Compacto
|- valign=top align=center
|*333
|(3 3 3) 
|<math>{\tilde{A}}_2</math>
|[3<sup>[3]</sup>] 
|{{DCD|node|split1|branch}}
|3 formas de reflexión, 1 roma
|- valign=top align=center
|*442
|(4 4 2) 
|<math>{\tilde{B}}_2</math>
|[4,4] 
|{{DCD|node|4|node|4|node}} 
|5 formas de reflexión, 1 roma
|- valign=top align=center
|*632
|(6 3 2) 
|<math>{\tilde{G}}_2</math>
|[6,3] 
|{{DCD|node|6|node|3|node}} 
|7 formas de reflexión, 1 roma
|- valign=top align=center
|*2222
|(&infin; 2 &infin; 2) 
|<math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{I}}_1</math>
|[&infin;,2,&infin;] 
|{{DCD|node|infin|node|2|node|infin|node}} 
|3 formas de reflexión, 1 roma
|-
! colspan=6|No compacto ([[Friso (matemáticas)|friso]])
|- align=center
|*&infin;&infin;
|(&infin;) 
|<math>{\tilde{I}}_1</math>
|[&infin;]
|{{DCD|node|infin|node}}
|
|- align=center
|*22&infin;
|(2 2 &infin;) 
|<math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{A}}_2</math>
|[&infin;,2]
|{{DCD|node|infin|node|2|node}}
|2 formas de reflexión, 1 roma
|}

{|class=wikitable width=50%
|+ Plano hiperbólico
|-
![[Notación orbifold|Simetría<br/>orbifold]]
!colspan=2|[[Grupo de Coxeter]]
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br/>de Coxeter]]
!Notas
|-
! colspan=5|Compacto
|- valign=top align=center
|*pq2
|(p q 2)
|[p,q] 
|{{DCD|node|p|node|q|node}}
|2(p+q) < pq
|- valign=top align=center
|*pqr
|(p q r) 
|[(p,q,r)]
|{{DCD|3|node|p|node|q|node|r}}
|pq+pr+qr < pqr
|-
! colspan=5|Paracompacto
|- align=center
|*&infin;p2
|(p &infin; 2) 
|[p,&infin;]
|{{DCD|node|p|node|infin|node}}||p>=3
|- align=center
|*&infin;pq
|(p q &infin;) 
|[(p,q,&infin;)] 
|{{DCD|3|node|p|node|q|node|infin}}||p,q>=3, p+q>6
|- align=center
|*&infin;&infin;p
|(p &infin; &infin;) 
|[(p,&infin;,&infin;)] 
|{{DCD|3|node|p|node|infin|node|infin}}||p>=3
|- align=center
|*&infin;&infin;&infin;
|(&infin; &infin; &infin;) 
|[(&infin;,&infin;,&infin;)] 
|{{DCD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}||
|}

==Teselados uniformes del plano euclídeo==
{{VT|Anexo:Teselados k-uniformes}}
[[File:Elongated triangular tiling 1.png|thumb|right|El teselado triangular alargado, el único teselado uniforme convexo no wythoffiano]]

Hay grupos de simetría en el plano euclidiano construidos a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.

Estos grupos de simetría crean 3 [[teselados regulares]] y 7 semirregulares. Varios de los teselados semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.

Un grupo de simetría prismática denotado (2 2 2 2) está representado por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden tener un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos teselados.

Otro grupo de simetría prismática representado por (&infin; 2 2) tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos teselados uniformes, el [[prisma apeirogonal]] y el [[antiprisma apeirogonal]].

El apilamiento de las caras finitas de estos dos teselados prismáticos construye un teselado uniforme [[construcción de Wythoff|no wythoffiano]] del plano. Se llama [[teselado triangular elongado]] y está compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.{{clear|right}}

'''Triángulos fundamentales rectángulos: (''p'' ''q'' 2)'''
{|class="wikitable" width=100%
!(''p'' ''q'' 2)
!Triángulos<br/>fundamentales
!Original
!Truncado
!Rectificado
!Bitruncado
!Birrectificado<br/>(dual)
!Canteado
!Omnitruncado<br/>(<small>Cantitruncado</small>)
!Romo
|-
![[Construcción de Wythoff]]
!
! ''q'' &#124; ''p'' 2
! 2 ''q'' &#124; ''p''
! 2 &#124; ''p'' ''q''
! 2 ''p'' &#124; ''q''
! ''p'' &#124; ''q'' 2
! ''p'' ''q'' &#124; 2
! ''p'' ''q'' 2 &#124;
! &#124; ''p'' ''q'' 2
|-
![[Símbolo de Schläfli]]
!
!{''p'',''q''}
!''t''{''p'',''q''}
!r{p,q}
!2t{p,q}=t{q,p}
!2r{p,q}={q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin]]
!
!{{DCD|node_1|p|node|q|node}}
!{{DCD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{DCD|node|p|node_1|q|node}}
!{{DCD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{DCD|node|p|node|q|node_1}}
!{{DCD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{DCD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{DCD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[Configuración de vértices]]
!
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!(p.q)<sup>2</sup>
!p.&nbsp;2q.2q
!q<sup>p</sup>
!p.&nbsp;4.q.4
!4.2p.2q
!3.3.p.&nbsp;3.q
|- align=center
|[[Teselado cuadrado]]<br/>(4 4 2)
|[[Image:Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square-2-color-zoom.svg|64px]]<br/>{{0}}
|[[Image:Uniform tiling 44-t0.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado|{4,4}]]
|[[Image:Uniform tiling 44-t01.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[Image:Uniform tiling 44-t1.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[Image:Uniform tiling 44-t12.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[Image:Uniform tiling 44-t2.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado|{4,4}]]
|[[Image:Uniform tiling 44-t02.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[Image:Uniform tiling 44-t012.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[Image:Uniform tiling 44-snub.svg|64px]]<br/>[[Teselado cuadrado romo|3.3.4.3.4]]
|-align=center
|[[Teselado hexagonal]]<br/>(6 3 2)
|[[Image:Tile V46b.svg|64px]]<br/>{{0}}
|[[Image:Uniform tiling 63-t0.svg|64px]]<br/>[[Teselado hexagonal|{6,3}]]
|[[Image:Uniform tiling 63-t01.svg|64px]]<br/>[[Teselado hexagonal truncado|3.12.12]]
|[[Image:Uniform tiling 63-t1.svg|64px]]<br/>[[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|[[Image:Uniform tiling 63-t12.svg|64px]]<br/>[[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[Image:Uniform tiling 63-t2.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular|{3,6}]]
|[[Image:Uniform tiling 63-t02.svg|64px]]<br/>[[Pequeño teselado rombitrihexagonal|3.4.6.4]]
|[[Image:Uniform tiling 63-t012.svg|64px]]<br/>[[Gran teselado rombitrihexagonal|4.6.12]]
|[[Image:Uniform tiling 63-snub.svg|65px]]<br/>[[Teselado hexagonal romo|3.3.3.3.6]]
|}

'''Triángulos fundamentales generales: (p q r)'''
{|class="wikitable" width=100%
![[Construcción de Wythoff]]<br/>(p q r)
!Triángulos<br/>fundamentales
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q      
! p &#124; q r      
! p q &#124; r    
! p q r &#124;       
! &#124; p q r
|-
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin]]
!
!{{DCD|3|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{DCD|3|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{DCD|3|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{DCD|3|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[Configuración de vértices]]
!
!(p.q)<sup>r</sup>
!r.2p.q.2p
!(p.r)<sup>q</sup>
!q.2r.p.&nbsp;2r
!(q.r)<sup>p</sup>
!q.2r.p.&nbsp;2r
!r.2q.p.&nbsp;2q
!3.r.3.q.3.p
|-align=center
|Triangular<br/>(3 3 3)
|[[Image:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|64px]]<br/>{{0}}
|[[Image:Uniform tiling 333-t0.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Image:Uniform polyhedron-63-t1-1.svg|64px]]<br/>[[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|[[Image:Uniform tiling 333-t1.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Image:Uniform tiling 333-t12.svg|64px]]<br/>[[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|[[Image:Uniform tiling 333-t2.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Image:Uniform tiling 333-t02.svg|64px]]<br/>[[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|[[Image:Uniform tiling 333-t012.svg|64px]]<br/>[[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[Image:Uniform tiling 333-snub.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular|3.3.3.3.3.3]]
|}

'''Dominios fundamentales no simples'''

El único dominio fundamental posible en el espacio euclídeo bidimensional que no es un [[símplex]] es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con [[diagrama de Coxeter-Dynkin]]: {{DCD|node|infin|node|2|node|infin|node}}. Todas las formas generadas a partir de él se convierten en [[teselado cuadrado|teselados cuadrados]].

==Teselados uniformes del plano hiperbólico==
{{VT|Teselados uniformes en plano hiperbólico}}

Hay infinitos teselados uniformes de polígonos regulares convexos en el [[Espacio hiperbólico|plano hiperbólico]], cada uno basado en un grupo de simetría de reflexión diferente (p q r).

Aquí se incluye una muestra, representada mediante su proyección sobre el [[disco de Poincaré]].

El [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r conectado al primer nodo.

Existen más grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros que comienzan con (2 2 2 3)..., que pueden generar nuevas formas. Además, existen dominios fundamentales que colocan los vértices en el infinito, como (&infin; 2 3) u otros.

'''Triángulos fundamentales rectángulos: (''p'' ''q'' 2)'''
{|class="wikitable" width=100%
|-
!(p q 2)
!Triángulos<br/>fundamentales
!Original
!Truncado
!Rectificado
!Bitruncado
!Birrectificado<br/>(dual)
!Canteado
!Omnitruncado<br/>(<small>Cantitruncado</small>)
!Romo
|-
![[Construcción de Wythoff]]
!
! q &#124; p 2
! 2 q &#124; p
! 2 &#124; p q
! 2 p &#124; q
! p &#124; q 2
! p q &#124; 2
! p q 2 &#124;
! &#124; p q 2
|-
![[Símbolo de Schläfli]]
!
!t{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!2t{p,q}=t{q,p}
!2r{p,q}={q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin]]
!
!{{DCD|node_1|p|node|q|node}}
!{{DCD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{DCD|node|p|node_1|q|node}}
!{{DCD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{DCD|node|p|node|q|node_1}}
!{{DCD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{DCD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{DCD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[Configuración de vértices]]
!
!p<sup>q</sup>
!(q.2p.2p)
!(p.q.p.q)
!(p.&nbsp;2q.2q)
!q<sup>p</sup>
!(p.&nbsp;4.q.4)
!(4.2p.2q)
!(3.3.p.&nbsp;3.q)
|- align=center
|(5 4 2)
|[[Image:H2-5-4-kisrhombille.svg|72px]]<br/>V4.8.10
|[[Image:H2-5-4-dual.svg|64px]]<br/>{5,4}
|[[Image:H2-5-4-trunc-dual.svg|64px]]<br/>4.10.10
|[[Image:H2-5-4-rectified.svg|64px]]<br/>4.5.4.5
|[[Image:H2-5-4-trunc-primal.svg|64px]]<br/>5.8.8
|[[Image:H2-5-4-primal.svg|64px]]<br/>{4,5}
|[[Image:H2-5-4-cantellated.svg|64px]]<br/>4.4.5.4
|[[Image:H2-5-4-omnitruncated.svg|64px]]<br/>4.8.10
|[[Image:H2-5-4-snub.svg|64px]]<br/>3.3.4.3.5
|- align=center
|(5 5 2)
|[[File:Order-5 bisected pentagonal tiling.png|72px]]<br/>V4.10.10
|[[Image:Uniform tiling 552-t0.png|64px]]<br/>{5,5}
|[[Image:Uniform tiling 552-t01.png|64px]]<br/>5.10.10
|[[Image:Uniform tiling 552-t1.png|64px]]<br/>5.5.5.5
|[[Image:Uniform tiling 552-t12.png|64px]]<br/>5.10.10
|[[Image:Uniform tiling 552-t2.png|64px]]<br/>{5,5}
|[[Image:Uniform tiling 552-t02.png|64px]]<br/>5.4.5.4
|[[Image:Uniform tiling 552-t012.png|64px]]<br/>4.10.10
|[[Image:Uniform tiling 552-snub.png|64px]]<br/>3.3.5.3.5
|- align=center
|(7 3 2)
|[[Image:3-7 kisrhombille.svg|72px]]<br/>V4.6.14
|[[Image:Heptagonal tiling.svg|64px]]<br/>[[Teselado heptagonal de orden-3|{7,3}]]
|[[Image:Truncated heptagonal tiling.svg|64px]]<br/>3.14.14
|[[Image:Triheptagonal tiling.svg|64px]]<br/>[[Teselado triheptagonal|3.7.3.7]]
|[[Image:Truncated order-7 triangular tiling.svg|64px]]<br/>7.6.6
|[[Image:Order-7 triangular tiling.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular de orden-7|{3,7}]]
|[[Image:Rhombitriheptagonal tiling.svg|64px]]<br/>3.4.7.4
|[[Image:Truncated triheptagonal tiling.svg|64px]]<br/>[[Gran teselado rombitriheptagonal|4.6.14]]
|[[Image:Snub triheptagonal tiling.svg|65px]]<br/>3.3.3.3.7
|- align=center
|(8 3 2)
|[[File:H2-8-3-kisrhombille.svg|72px]]<br/>V4.6.16
|[[Image:H2-8-3-dual.svg|64px]]<br/>[[Teselado octogonal|{8,3}]]
|[[Image:H2-8-3-trunc-dual.svg|64px]]<br/>3.16.16
|[[Image:H2-8-3-rectified.svg|64px]]<br/>[[Teselado trioctagonal|3.8.3.8]]
|[[Image:H2-8-3-trunc-primal.svg|64px]]<br/>8.6.6
|[[Image:H2-8-3-primal.svg|64px]]<br/>[[Teselado triangular de orden-8|{3,8}]]
|[[Image:H2-8-3-cantellated.svg|64px]]<br/>3.4.8.4
|[[Image:H2-8-3-omnitruncated.svg|64px]]<br/>[[Gran teselado rombitrioctogonal|4.6.16]]
|[[Image:H2-8-3-snub.svg|65px]]<br/>3.3.3.3.8
|}

'''Triángulos fundamentales generales (p q r)'''
{|class="wikitable" width=100%
![[Construcción de Wythoff]]<br/>(p q r)
!Triángulos<br/>fundamentales
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q      
! p &#124; q r    
! p q &#124; r    
! p q r &#124;      
! &#124; p q r
|-
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin]]
!
!{{DCD|3|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{DCD|3|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{DCD|3|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{DCD|3|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{DCD|3|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[Configuración de vértices]]
!
!(p.r)<sup>q</sup>
!(r.2p.q.2p)
!(p.q)<sup>r</sup>
!(q.2r.p.&nbsp;2r)
!(q.r)<sup>p</sup>
!(r.2q.p.&nbsp;2q)
!(2p.2q.2r)
!(3.r.3.q.3.p)
|- align=center
|(4 3 3)
|[[Image:Uniform dual tiling 433-t012.png|72px]]<br/>V6.6.8
|[[Image:Uniform tiling 433-t0.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>3</sup>
|[[Image:Uniform tiling 433-t01.png|64px]]<br/>3.8.3.8
|[[Image:Uniform tiling 433-t1.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>3</sup>
|[[Image:Uniform tiling 433-t12.png|64px]]<br/>3.6.4.6
|[[Image:Uniform tiling 433-t2.png|64px]]<br/>(3.3)<sup>4</sup>
|[[Image:Uniform tiling 433-t02.png|64px]]<br/>3.6.4.6
|[[Image:Uniform tiling 433-t012.png|64px]]<br/>6.6.8
|[[Image:Uniform tiling 433-snub2.png|64px]]<br/>3.3.3.3.3.4
|- align=center
|(4 4 3)
|[[Image:Uniform dual tiling 443-t012.png|72px]]<br/>V6.8.8
|[[Image:Uniform tiling 443-t0.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>4</sup>
|[[Image:Uniform tiling 443-t01.png|64px]]<br/>3.8.4.8
|[[Image:Uniform tiling 443-t1.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>3</sup>
|[[Image:Uniform tiling 443-t12.png|64px]]<br/>3.6.4.6
|[[Image:Uniform tiling 443-t2.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>4</sup>
|[[Image:Uniform tiling 443-t02.png|64px]]<br/>4.6.4.6
|[[Image:Uniform tiling 443-t012.png|64px]]<br/>6.8.8
|[[Image:Uniform tiling 443-snub1.png|64px]]<br/>3.3.3.4.3.4
|- align=center
|(4 4 4)
|[[Image:Uniform dual tiling 444-t012.png|72px]]<br/>V8.8.8
|[[Image:Uniform tiling 444-t0.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Image:Uniform tiling 444-t01.png|64px]]<br/>4.8.4.8
|[[Image:Uniform tiling 444-t1.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Image:Uniform tiling 444-t12.png|64px]]<br/>4.8.4.8
|[[Image:Uniform tiling 444-t2.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Image:Uniform tiling 444-t02.png|64px]]<br/>4.8.4.8
|[[Image:Uniform tiling 444-t012.png|64px]]<br/>8.8.8
|[[Image:Uniform tiling 444-snub.png|64px]]<br/>3.4.3.4.3.4
|}

==Listas ampliadas de teselados uniformes==
[[Image:Six uniform tiling vertex figures.png|320px|thumb|Las [[figuras de vértices]] para los seis teselados con caras [[polígono regular|poligonales regulares]] y [[apeirógono]]s convexos (el [[símbolo de Wythoff]] se muestra en rojo)]]
[[Image:Twenty one uniform tiling vertex figures.png|320px|thumb|Figuras de vértices de 21 teselados uniformes]]

Hay varias formas de ampliar la lista de teselados uniformes:

# Las figuras de vértice pueden tener caras retrógradas y girar alrededor del vértice más de una vez.
# Se pueden incluir teselados con [[Estrella (figura geométrica)|polígonos estrellados]].
# Los [[apeirógono]]s, {&infin;}, se pueden utilizar como caras de teselado.
# También se puede utilizar [[Polígono infinito oblicuo|zig-zags]] (apeirogons alternando entre dos ángulos).
# La restricción de que los teselados se encuentren de borde a borde se puede relajar, permitiendo teselados adicionales como los [[teselado pitagórico|teselados pitagóricos]].

Los triángulos del grupo de simetría con disposiciones retrógradas incluyen:
: (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)
Los triángulos del grupo de simetría con infinito incluyen:
: (4 4/3 &infin;) (3/2 3 &infin;) (6 6/5 &infin;) (3 3/2 &infin;)

[[Branko Grünbaum]] y [[Geoffrey Colin Shephard|G. C. Shephard]], en el libro de 1987 ''"Tilings and patterns" (Teselados y patrones)'', en la sección 12.3, enumera una lista de 25 teselados uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y agrega 14 más que llaman "teselados huecos" que incluían los dos primeros. expansiones anteriores, caras de polígonos estrellados y figuras de vértice también estrelladas.<ref>Tiles and Patterns, Table 12.3.1 p.640</ref>

[[Harold Scott MacDonald Coxeter]], [[M. S. Longuet-Higgins]] y [[J. C. P. Miller]], en el artículo de 1954 ''Poliedros uniformes'', en la 'Tabla 8: Teselaciones uniformes', utilizan las tres primeras expansiones y enumeran un total de 38 teselados uniformes. Si se cuenta también un teselado formado por 2 apeirógonos, el total puede considerarse 39 teselados uniformes.

En 1981, Grünbaum, Miller y Shephard en su artículo ''"Uniform Tilings with Hollow Tiles" (Teselados Uniformes con teselas huecas)'' enumeraron 25 teselados usando las dos primeras expansiones y 28 más cuando se agrega la tercera (lo que hace 53, usando la definición de Coxeter et al.). Cuando agregan la cuarta condición, enumeran 23 teselados uniformes adicionales y 10 familias (8 dependiendo de parámetros continuos y 2 de parámetros discretos).<ref name=Grunbaum1981>{{cite book|first1=Branko|last1=Grünbaum|first2=J. C. P.|last2=Miller|first3=G. C.|last3=Shephard|date=1981|editor1-first=Chandler|editor1-last=Davis|editor2-first=Branko|editor2-last=Grünbaum|editor3-first=F. A.|editor3-last=Sherk|title=The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift|publisher=Springer|pages=17–64|chapter=Uniform Tilings with Hollow Tiles|isbn=978-1-4612-5650-2}}</ref>

Además de las 11 soluciones convexas, a continuación se muestran los 28 teselados de estrellas uniformes enumerados por Coxeter ''et al.'', agrupados por gráficos de bordes compartidos, seguidos de 15 más enumerados por Grünbaum ''et al.'', que cumplen con la definición de Coxeter, pero que no fueron incluidos por este último.

Este conjunto no se ha demostrado que sea completo. Por ''2,25'' se entiende el teselado 25 en la tabla 2 de Grünbaum et al. de 1981.

Los siguientes tres teselados son excepcionales porque solo hay un número finito de un tipo de cara: dos apeirógonos en cada uno. A veces no se incluye el teselado apeirogonal de orden 2, ya que sus dos caras se encuentran en más de un borde.

{|class=wikitable
|+ Simetría de [[Friso (matemáticas)|friso]]
!McNeill<ref name=mcneill/>||Diagrama||Configuración<br/>de vértices||Wythoff||Simetría||Notas
|-
|I1||[[File:Apeirogonal tiling.svg|100px]]||&infin;.&infin;||||p1m1||(Dos semiplanos como teselas, [[teselado apeirogonal de orden-2]])
|-
|I2||[[File:Infinite prism alternating.svg|100px]]||4.4.&infin;||'''&infin; 2 &#124; 2'''||p1m1||[[Prisma apeirogonal]]
|-
|I3||[[File:Infinite antiprism.svg|100px]]||3.3.3.&infin;||'''&#124; 2 2 &infin;'''||p11g||[[Antiprisma apeirogonal]]
|}

Para mayor claridad, los apeirógonos no se colorean de aquí en adelante, y simplemente se resalta un conjunto de polígonos alrededor de un vértice. McNeill solo enumera los teselados proporcionados por Coxeter et al. (1954). Los once teselados uniformes convexos se han repetido como referencia.

{|class="wikitable sortable"
!colspan=7|Simetría del [[grupo del papel pintado]]
|-
!McNeill<ref name=mcneill>[http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Jim McNeill]</ref>||Grünbaum et al 1981<ref name=Grunbaum1981/>||Diagrama<br/>de aristas||Celda<br />remarcada||Configuración<br/>de vértices||Wythoff||Simetría
|- align=center
!Convexo||1.9
|rowspan=2|[[File:4.oo.4-3.oo tiling frame.png|100px]]||[[File:Tiling 4,4,4,4.png|150px]]||4.4.4.4||4 &#124; 2 4||p4m
|- align=center
!I4||2.14
||[[File:Tiling 4,i,-4,i.png|150px]]||4.&infin;.4/3.&infin;<br/>4.&infin;.-4.&infin;||4/3 4 &#124; &infin;||p4m
|- align=center
!Convexo||1.24
||||[[File:Tiling 6,6,6.png|150px]]||6.6.6||3 &#124; 2 6||p6m
|- align=center
!Convexo||1.25
|rowspan=2|[[File:3.oo.3.oo.3oo tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 3,3,3,3,3,3.png|150px]]||3.3.3.3.3.3||6 &#124; 2 3||p6m
|- align=center
!I5||2.26
||[[File:Tiling 3,i,3,i,3,i.png|150px]]||(3.&infin;.3.&infin;.3.&infin;)/2||3/2 &#124; 3 &infin;||p3m1
|- align=center
!Convexo||1.23
|rowspan=3|[[File:6.oo.6-5.oo tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 3,6,3,6.png|150px]]||3.6.3.6||2 &#124; 3 6||p6m
|- align=center
!I6||2.25
||[[File:Tiling 6,i,-6,i.png|150px]]||6.&infin;.6/5.&infin;<br/>6.&infin;.-6.&infin;||6/5 6 &#124; &infin;||p6m
|- align=center
!I7||2.24
||[[File:Tiling 3,i,-3,i.png|150px]]||&infin;.3.&infin;.3/2<br/>3.&infin;.-3.&infin;||3/2 3 &#124; &infin;||p6m
|-align=center
!Convexo||1.14
|rowspan=3|[[File:12.3-2.12.6 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 3,4,6,4.png|150px]]||3.4.6.4||3 6 &#124; 2||p6m
|- align=center
!rowspan=2|1||1.15
||[[File:Tiling -3,12,6,12.png|150px]]
|3/2.12.6.12<br/>-3.12.6.12||3/2 6 &#124; 6||p6m
|- align=center
!1.16
|[[File:Tiling 4,12,-4,-12.png|150px]]||4.12.4/3.12/11<br/>4.12.-4.-12||2 6 (3/2 6/2) &#124;||p6m
|- align=center
!Convexo||1.5
|||[[File:Tiling 4,8,8.png|150px]]||4.8.8||2 4 &#124; 4||p4m
|- align=center
!rowspan=3|2||2.7
|rowspan=3|[[File:8-3.4.8-3.oo tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 4,83,i,83.png|150px]]
|4.8/3.&infin;.8/3||4 &infin; &#124; 4/3||p4m
|- align=center
!1.7
|[[File:Tiling 8,83,-8,-83.png|150px]]||8/3.8.8/5.8/7<br/>8.8/3.-8.-8/3||4/3 4 (4/2 &infin;/2) &#124;||p4m
|- align=center
!2.6
|[[File:Tiling -4,8,i,8.png|150px]]||8.4/3.8.&infin;<br/>-4.8.&infin;.8||4/3 &infin; &#124; 4||p4m
|- align=center
!Convexo||1.20
|||[[File:Tiling 3,12,12.png|150px]]||3.12.12||2 3 &#124; 6||p6m
|- align=center
!rowspan=3|3||2.17
|rowspan=3|[[File:12-5.6.12-5.oo tiling frame.svg|100px]]||[[File:Tiling 6,125,i,125.png|150px]]||6.12/5.&infin;.12/5||6 &infin; &#124; 6/5||p6m
|- align=center
!1.21
|[[File:Tiling 12,125,-12,-125.png|150px]]||12/5.12.12/7.12/11<br/>12.12/5.-12.-12/5||6/5 6 (6/2 &infin;/2) &#124;||p6m
|- align=center
!2.16
|[[File:Tiling -6,12,i,12.png|150px]]||12.6/5.12.&infin;<br/>-6.12.&infin;.12||6/5 &infin; &#124; 6||p6m
|- align=center
!rowspan=3|4||1.18
|rowspan=3|[[File:12-5.3.12-5.6-5 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 3,125,-6,125.png|150px]]||12/5.3.12/5.6/5<br />3.12/5.-6.12/5||3 6 &#124; 6/5||p6m
|- align=center
!1.19
|[[File:Tiling 4,125,-4,-125.png|150px]]||12/5.4.12/7.4/3<br/>4.12/5.-4.-12/5||2 6/5 (3/2 6/2) &#124;||p6m
|- align=center
!1.17
|[[File:Tiling 3,-4,6,-4.png|150px]]||4.3/2.4.6/5<br/>3.-4.6.-4||3/2 6 &#124; 2||p6m
|- align=center
!5||2.5
|[[File:8.8-3.oo tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 8,83,i.png|150px]]||8.8/3.&infin;||4/3 4 &infin; &#124;||p4m
|- align=center
!6||2.15
||[[File:12.12-5.oo tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 12,125,i.png|150px]]||12.12/5.&infin;||6/5 6 &infin; &#124;||p6m
|- align=center
!7||1.6
|[[File:8.4-3.8-5 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 4,-8,83.png|150px]]||8.4/3.8/5<br/>4.-8.8/3||2 4/3 4 &#124;||p4m
|- align=center
!Convexo||1.11
|||[[File:Tiling 4,6,12.png|150px]]||4.6.12||2 3 6 &#124;||p6m
|- align=center
!8||1.13
|[[File:6.4-3.12-7 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 4,-6,125.png|150px]]||6.4/3.12/7<br/>4.-6.12/5||2 3 6/5 &#124;||p6m
|- align=center
!9||1.12
|[[File:12.6-5.12-7 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 6,-12,125.png|150px]]||12.6/5.12/7<br/>6.-12.12/5||3 6/5 6 &#124;||p6m
|- align=center
!10||1.8
|[[File:4.8-5.8-5 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling -4,83,83.png|150px]]||4.8/5.8/5<br/>-4.8/3.8/3||2 4 &#124; 4/3||p4m
|- align=center
!11||1.22
|[[File:12-5.12-5.3-2 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling -3,125,125.png|150px]]||12/5.12/5.3/2<br/>-3.12/5.12/5||2 3 &#124; 6/5||p6m
|- align=center
!Convexo||1.1
|||[[File:Tiling 3,3,3,4,4.png|150px]]||3.3.3.4.4||[[construcción de Wythoff]]||cmm
|- align=center
!12||1.2
|[[File:3-2.3-2.3-2.4.4 tiling-frame.png|100px]]||[[File:Tiling 3,3,3,-4,-4.png|150px]]||4.4.3/2.3/2.3/2<br/>3.3.3.-4.-4||No wythoffiano||cmm
|- align=center
!Convexo||1.3
|||[[File:Tiling 3,3,4,3,4.png|150px]]||3.3.4.3.4||&#124; 2 4 4||p4g
|- align=center
!13||1.4
|||[[File:Tiling 3,3,-4,3,-4.png|150px]]||4.3/2.4.3/2.3/2<br/>3.3.-4.3.-4||&#124; 2 4/3 4/3||p4g
|- align=center
!14||2.4
|||[[File:Tiling 3,4,3,-4,3,i.png|150px]]||3.4.3.4/3.3.&infin;<br/>3.4.3.-4.3.&infin;||&#124; 4/3 4 &infin;||p4
|- align=center
!Convexo||1.10
|||[[File:Tiling 3,3,3,3,6.png|150px]]||3.3.3.3.6||&#124; 2 3 6||p6
|- align=center
!rowspan=2|||2.1
|rowspan=2|||[[File:Tiling 3,4,4,3,i,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.&infin;.3/2.4/3.4/3<br />3.4.4.3.&infin;.3.&infin;||No wythoffiano||cmm
|- align=center
!2.2
||[[File:Tiling 3,-4,-4,3,i,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.&infin;.3/2.4.4<br />3.-4.-4.3.&infin;.3.&infin;||No wythoffiano||cmm
|- align=center
!||2.3
|||[[File:Tiling 3,4,4,3,-4,-4,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.4.4.3/2.4/3.4/3<br />3.4.4.3.-4.-4.3.&infin;||No wythoffiano||p3
|- align=center
!rowspan=2|||2.8
|rowspan=2|||[[File:Tiling 4,8,83,-4,i.png|150px]]||4.&infin;.4/3.8/3.8<br />4.8.8/3.-4.&infin;||No wythoffiano||p4m
|- align=center
!2.9
||[[File:Tiling -4,8,83,4,i.png|150px]]||4.&infin;.4.8.8/3<br />-4.8.8/3.4.&infin;||No wythoffiano||p4m
|- align=center
!rowspan=4|||2.10
|rowspan=4|||[[File:Tiling 4,8,-4,8,-4,i.png|150px]]||4.&infin;.4/3.8.4/3.8<br />4.8.-4.8.-4.&infin;||No wythoffiano||p4m
|- align=center
!2.11
||[[File:Tiling 4,8,-4,8,-4,i.png|150px]]||4.&infin;.4/3.8.4/3.8<br />4.8.-4.8.-4.&infin;||No wythoffiano||p4g
|- align=center
!2.12
||[[File:Tiling 4,83,4,83,-4,i.png|150px]]||4.&infin;.4/3.8/3.4.8/3<br />4.8/3.4.8/3.-4.&infin;||No wythoffiano||p4m
|- align=center
!2.13
||[[File:Tiling 4,83,4,83,-4,i.png|150px]]||4.&infin;.4/3.8/3.4.8/3<br />4.8/3.4.8/3.-4.&infin;||No wythoffiano||p4g
|- align=center
!rowspan=6|||2.18
|rowspan=6|||[[File:Tiling 3,4,4,3,4,4,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.4/3.4/3.3/2.4/3.4/3<br />3.4.4.3.4.4.3.&infin;||No wythoffiano||p6m
|- align=center
!2.19
||[[File:Tiling 3,-4,-4,3,-4,-4,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.4.4.3/2.4.4<br />3.-4.-4.3.-4.-4.3.&infin;||No wythoffiano||p6m
|- align=center
!2.20
||[[File:Tiling 3,12,-6,12,3,i,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.&infin;.3/2.12/11.6.12/11<br />3.12.-6.12.3.&infin;.3.&infin;||No wythoffiano||p6m
|- align=center
!2.21
||[[File:Tiling 3,-12,6,-12,3,i,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.&infin;.3/2.12.6/5.12<br />3.-12.6.-12.3.&infin;.3.&infin;||No wythoffiano||p6m
|- align=center
!2.22
||[[File:Tiling 3,125,6,125,3,i,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.&infin;.3/2.12/7.6/5.12/7<br />3.12/5.6.12/5.3.&infin;.3.&infin;||No wythoffiano||p6m
|- align=center
!2.23
||[[File:Tiling 3,-125,-6,-125,3,i,3,i.png|150px]]||3/2.&infin;.3/2.&infin;.3/2.12/5.6.12/5<br />3.-12/5.-6.-12/5.3.&infin;.3.&infin;||No wythoffiano||p6m
|}

Hay dos teselados uniformes para la figura de vértice 4.8.-4.8.-4.&infin; (Grünbaum et al. 2.10 y 2.11) y también dos teselados uniformes para la figura de vértice 4.8/3.4.8/3.-4.&infin; (Grünbaum et al. 2.12 y 2.13), con diferentes simetrías. También hay un tercer teselado para cada figura de vértice que es solo [[poliedro pseudo-uniforme|pseudo-uniforme]] (los vértices vienen en dos órbitas de simetría). Usan diferentes conjuntos de caras cuadradas. Por lo tanto, para los teselados euclídeos de estrellas, la figura del vértice no determina necesariamente el teselado.<ref name=Grunbaum1981/>

En las imágenes siguientes, los cuadrados incluidos con bordes horizontales y verticales están marcados con un punto central. En las imágenes se resalta un cuadrado base.<ref name=Grunbaum1981/>
<gallery>
Grünbaum ambiguous tilings 1.png|2.10 y 2.12 (p4m)
Grünbaum ambiguous tilings 2.png|2.11 y 2.13 (p4g)
Grünbaum ambiguous tilings 3.png|Pseudo-uniforme
</gallery>

Los teselados con zigzags se enumeran a continuación. La notación {&infin;<sup>&alpha;</sup>} denota un zigzag con ángulo 0 &lt; &alfa; &lt; &Pi;. El apeirógono puede considerarse como el caso especial &alpha; = &pi;. Las simetrías se dan para el caso genérico: a veces hay valores especiales de &alpha; que aumentan la simetría. Los teselados 3.1 y 3.12 pueden incluso volverse regulares (el 3.32 ya lo es, debido a que no tiene parámetros libres). A veces hay valores especiales de &alpha; que provocan la degeneración del teselado.<ref name=Grunbaum1981/>

{|class="wikitable sortable"
!colspan=4|Teselados con zigzags
|-
!Grünbaum et al 1981<ref name=Grunbaum1981/>||Diagrama||Configuración<br/>de vértices||Simetría
|- align=center
!3.1
|[[File:Tiling ia,ib,ic.png|150px]]||∞<sup>α</sup>.∞<sup>β</sup>.∞<sup>γ</sup><br />α+β+γ=2π||p2
|- align=center
!3.2
|[[File:Tiling ia,ib,-ia+b.png|150px]]||∞<sup>α</sup>.∞<sup>β</sup>.-∞<sup>α+β</sup><br />0<α+β≤π||p2
|- align=center
!3.3
|[[File:Tiling 3,3,ip-a,-3,i2p3+a.png|150px]]||3.3.∞<sup>π-α</sup>.-3.∞<sup>α+2π/3</sup><br />0≤α≤π/6||pgg
|- align=center
!3.4
|[[File:Tiling 3,3,-ip-a,-3,i2p3-a.png|150px]]||3.3.-∞<sup>π-α</sup>.-3.∞<sup>−α+2π/3</sup><br />0≤α<π/3||pgg
|- align=center
!3.5
|[[File:Tiling 4,4,if,4,4,-if.png|150px]]||4.4.∞<sup>φ</sup>.4.4.-∞<sup>φ</sup><br />φ=2 arctan(n/k), nk even, (n,k)=1<br />dibujado para φ=2 arctan 2||pmg
|- align=center
!3.6
|[[File:Tiling 4,4,ips,-4,-4,ips.png|150px]]||4.4.∞<sup>φ</sup>.-4.-4.∞<sup>φ</sup><br />φ=2 arctan(n/k), nk even, (n,k)=1<br />dibujado para φ=2 arctan 1/2||pmg
|- align=center
!3.7
|[[File:Tiling 3,4,4,3,-i2p3,-3,-i2pi3.png|150px]]||3.4.4.3.-∞<sup>2π/3</sup>.-3.-∞<sup>2π/3</sup>||cmm
|- align=center
!3.8
|[[File:Tiling 3,-4,-4,3,-i2p3,-3,-i2p3.png|150px]]||3.-4.-4.3.-∞<sup>2π/3</sup>.-3.-∞<sup>2π/3</sup>||cmm
|- align=center
!3.9
|[[File:Tiling 4,4,ip3,i,-ip3.png|150px]]||4.4.∞<sup>π/3</sup>.∞.-∞<sup>π/3</sup>||p2
|- align=center
!3.10
|[[File:Tiling 4,4,i2p3,i,-i2p3.png|150px]]||4.4.∞<sup>2π/3</sup>.∞.-∞<sup>2π/3</sup>||p2
|- align=center
!3.11
|[[File:Tiling i,ia,i,-ia.png|150px]]||∞.∞<sup>α</sup>.∞.∞<sup>−α</sup><br />0<α<π||cmm
|- align=center
!3.12
|[[File:Tiling ia,ip-a,ia,ip-a.png|150px]]||∞<sup>α</sup>.∞<sup>π-α</sup>.∞<sup>α</sup>.∞<sup>π-α</sup><br />0<α≤π/2||cmm
|- align=center
!3.13
|[[File:Tiling 3,ia,-3,-ia.png|150px]]||3.∞<sup>α</sup>.-3.-∞<sup>α</sup><br />π/3<α<π||p31m
|- align=center
!3.14
|[[File:Tiling 4,4,i2p3,4,4,-i2p3.png|150px]]||4.4.∞<sup>2π/3</sup>.4.4.-∞<sup>2π/3</sup>||p31m
|- align=center
!3.15
|[[File:Tiling 4,4,ip3,-4,-4,-ip3.png|150px]]||4.4.∞<sup>π/3</sup>.-4.-4.-∞<sup>π/3</sup>||p31m
|- align=center
!3.16
|[[File:Tiling 4,ia,-4,-ia.png|150px]]||4.∞<sup>α</sup>.-4.-∞<sup>α</sup><br />0<α<π, α≠π/2||p4g
|- align=center
!3.17
|[[File:Tiling 4,-8,ip2,i,-ip2,-8.png|150px]]||4.-8.∞<sup>π/2</sup>.∞.-∞<sup>π/2</sup>.-8||cmm
|- align=center
!3.18
|[[File:Tiling 4,-8,ip2,i,-ip2,-8.png|150px]]||4.-8.∞<sup>π/2</sup>.∞.-∞<sup>π/2</sup>.-8||p4<!--not a mistake, again two tilings with the same vertex configuration-->
|- align=center
!3.19
|[[File:Tiling 4,83,ip2,i,-ip2,83.png|150px]]||4.8/3.∞<sup>π/2</sup>.∞.-∞<sup>π/2</sup>.8/3||cmm
|- align=center
!3.20
|[[File:Tiling 4,83,ip2,i,-ip2,83.png|150px]]||4.8/3.∞<sup>π/2</sup>.∞.-∞<sup>π/2</sup>.8/3||p4<!--another pair-->
|- align=center
!3.21
|[[File:Tiling 6,-12,ip3,i,-ip3,-12.png|150px]]||6.-12.∞<sup>π/3</sup>.∞.-∞<sup>π/3</sup>.-12||p6
|- align=center
!3.22
|[[File:Tiling 6,-12,i2p3,i,-i2p3,-12.png|150px]]||6.-12.∞<sup>2π/3</sup>.∞.-∞<sup>2π/3</sup>.-12||p6
|- align=center
!3.23
|[[File:Tiling 6,125,ip3,i,-ip3,125.png|150px]]||6.12/5.∞<sup>π/3</sup>.∞.-∞<sup>π/3</sup>.12/5||p6
|- align=center
!3.24
|[[File:Tiling 6,125,i2p3,i,-i2p3,125.png|150px]]||6.12/5.∞<sup>2π/3</sup>.∞.-∞<sup>2π/3</sup>.12/5||p6
|- align=center
!3.25
|[[File:Tiling 3,3,3,i2p3,-3,i2p3.png|150px]]||3.3.3.∞<sup>2π/3</sup>.-3.∞<sup>2π/3</sup>||p31m
|- align=center
!3.26
|[[File:Tiling 3,i,3,-i2p3,-3,-i2p3.png|150px]]||3.∞.3.-∞<sup>2π/3</sup>.-3.-∞<sup>2π/3</sup>||cm
|- align=center
!3.27
|[[File:Tiling 3,i,-i2p3,i,-i2p3,i.png|150px]]||3.∞.-∞<sup>2π/3</sup>.∞.-∞<sup>2π/3</sup>.∞||p31m
|- align=center
!3.28
|[[File:Tiling 3,i2p3,i2p3,-3,-i2p3,-i2p3.png|150px]]||3.∞<sup>2π/3</sup>.∞<sup>2π/3</sup>.-3.-∞<sup>2π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>||p31m
|- align=center
!3.29
|[[File:Tiling i,ip3,ip3,i,-ip3,-ip3.png|150px]]||∞.∞<sup>π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>.∞.-∞<sup>π/3</sup>.-∞<sup>π/3</sup>||cmm
|- align=center
!3.30
|[[File:Tiling i,ip3,-i2p3,i,i2p3,-ip3.png|150px]]||∞.∞<sup>π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>.∞.∞<sup>2π/3</sup>.-∞<sup>π/3</sup>||p2
|- align=center
!3.31
|[[File:Tiling i,i2p3,i2p3,i,-i2p3,-i2p3.png|150px]]||∞.∞<sup>2π/3</sup>.∞<sup>2π/3</sup>.∞.-∞<sup>2π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>||cmm
|- align=center
!3.32
|[[File:Tiling ip3,ip3,ip3,ip3,ip3,ip3.png|150px]]||∞<sup>π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>||p6m
|- align=center
!3.33
|[[File:Tiling ip3,-i2p3,-i2p3,ip3,-i2p3,-i2p3.png|150px]]||∞<sup>π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>.∞<sup>π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>.-∞<sup>2π/3</sup>||cmm
|}

Los pares de teselados 3.17 y 3.18, así como el 3.19 y el 3.20, tienen configuraciones de vértices idénticas pero simetrías diferentes.<ref name=Grunbaum1981/>

Los teselados 3.7 a 3.10 tienen la misma disposición de aristas que 2.1 y 2.2; 3.17 a 3.20 tienen la misma disposición de aristas que 2.10 a 2.13; 3.21 a 3.24 tienen la misma disposición de aristas que 2.18 a 2.23; y del 3.25 al 3.33 tienen la misma disposición de aristas que el 1.25 (el teselado triangular normal).<ref name=Grunbaum1981/><!--3.3 only matches snub square tiling in a special case-->

==Teselados autoduales==
<!--[[ Self-dual tiling]] & [[ Self-dual tilings]] redirect directly here.-->
[[Image:Self-dual square tiling.png|right|El  [[teselado cuadrado]] {4,4} (en negro) con su dual (en rojo)]]

Los teselados también pueden ser '''autoduales'''. El teselado cuadrado, con [[símbolo de Schläfli]] {4,4}, es autodual. Aquí se muestran dos teselados cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.{{clear|right}}

==Teselados uniformes usando polígonos en estrella==
[[File:Hexagon hexagram tiling2.png|thumb|Este ejemplo, 4.8{{supsub|*|&pi;/8}}.4{{supsub|**|&pi;/4}}.8{{supsub|*|&pi;/4}} no se considera de arista a arista, debido al gran cuadrado, aunque puede interpretarse como un polígono en estrella con pares de aristas colineales]]

Considerar una [[Estrella (figura geométrica)|forma estrellada]] como un polígono no convexo con el doble de lados permite el uso de polígonos en estrella, y contabilizarlos como polígonos regulares permite usarlos en un ''teselado uniforme''. Estos polígonos están etiquetados como {N<sub>&alpha;</sub>} para un 2N-góno no convexo [[Figura isotoxal|isotoxal]] con ángulo diédrico externo α. Sus vértices externos están etiquetados como N{{supsub|*|&alpha;}} y sus vértices internos como N{{supsub|**|&alpha;}}. Esta ampliación de la definición requiere que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices. El teselado se define por su [[configuración de vértices]] como una secuencia cíclica de polígonos convexos y no convexos alrededor de cada vértice. Hay 4 teselados uniformes con ángulos ajustables α y 18 teselados uniformes que solo funcionan con ángulos específicos, dando un total de 22 teselados uniformes que utilizan polígonos estrellados.<ref>''Tilings and Patterns'' Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, pp.82-85.</ref>

Todos estos teselados están relacionados topológicamente con los teselados uniformes ordinarios formados por polígonos regulares convexos, con los vértices de valencia 2 ignorados y las caras cuadradas consideradas como dígonos, reducidas a una sola arista.

{|class=wikitable
|+ 4 teselados uniformes con polígonos estrellados, ángulo &alpha;
|- align=center valign=bottom
|[[File:Uniform-star-tiling-36s6s-e.svg|160px]]<br />3.6{{supsub|*|&alpha;}}.6{{supsub|**|&alpha;}}<br />Topología [[Teselado hexagonal truncado|3.12.12]]
|[[File:Uniform-star-tiling-44s4s-a.svg|160px]]<br />4.4{{supsub|*|&alpha;}}.4{{supsub|**|&alpha;}}<br />Topología [[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[File:Uniform-star-tiling-63s3s-a.svg|160px]]<br />6.3{{supsub|*|&alpha;}}.3{{supsub|**|&alpha;}}<br />Topología [[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[File:Uniform-star-tiling-33s33s-a.svg|160px]]<br />3.3{{supsub|*|&alpha;}}.3.3{{supsub|**|&alpha;}}<br />Topología [[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|}

{|class=wikitable
|+ 18 teselados uniformes con polígonos estrellados
|- align=center valign=bottom
|[[File:Uniform-star-tiling-g.svg|160px]]<br />4.6.4{{supsub|*|&pi;/6}}.6<br />Topología [[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[File:Uniform-star-tiling-l.svg|160px]]<br />(8.4{{supsub|*|&pi;/4}})<sup>2</sup><br />Topología [[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[File:Uniform-star-tiling-o.svg|160px]]<br />12.12.4{{supsub|*|&pi;/3}}<br />Topología [[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[File:Uniform-star-tiling-c.svg|160px]]<br />3.3.8{{supsub|*|&pi;/12}}.4{{supsub|**|&pi;/3}}.8{{supsub|*|&pi;/12}}<br />Topología [[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[File:Uniform-star-tiling-b.svg|160px]]<br />3.3.8{{supsub|*|&pi;/12}}.3.4.3.8{{supsub|*|&pi;/12}}<br />Topología [[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|[[File:Uniform-star-tiling-e.svg|160px]]<br />3.4.8.3.8{{supsub|*|&pi;/12}}<br />Topología [[Teselado cuadrado truncado|4.8.8]]
|- align=center valign=bottom
|[[File:Uniform-star-tiling-q.svg|160px]]<br />5.5.4{{supsub|*|4&pi;/10}}.5.4{{supsub|*|&pi;/10}}<br />Topología [[Teselado cuadrado romo|3.3.4.3.4]]
|[[File:Uniform-star-tiling-i.svg|160px]]<br />4.6{{supsub|*|&pi;/6}}.6{{supsub|**|&pi;/2}}.6{{supsub|*|&pi;/6}}<br />Topología [[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[File:Uniform-star-tiling-h.svg|160px]]<br />(4.6{{supsub|*|&pi;/6}})<sup>3</sup><br />Topología [[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[File:Uniform-star-tiling-m.svg|160px]]<br />9.9.6{{supsub|*|4&pi;/9}}<br />Topología [[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[File:Uniform-star-tiling-j.svg|160px]]<br />(6.6{{supsub|*|&pi;/3}})<sup>2</sup><br />Topología [[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|[[File:Uniform-star-tiling-n.svg|160px]]<br />(12.3{{supsub|*|&pi;/6}})<sup>2</sup><br />Topología [[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|- align=center valign=bottom
|[[File:Uniform-star-tiling-d.svg|160px]]<br />3.4.6.3.12{{supsub|*|&pi;/6}}<br />Topología [[Teselado trihexagonal truncado|4.6.12]]
|[[File:Uniform-star-tiling-a.svg|160px]]<br />3.3.3.12{{supsub|*|&pi;/6}}.3.3.12{{supsub|*|&pi;/6}}<br />Topología [[Teselado hexagonal truncado|3.12.12]]
|[[File:Uniform-star-tiling-p.svg|160px]]<br />18.18.3{{supsub|*|2&pi;/9}}<br />Topología [[Teselado hexagonal truncado|3.12.12]]
|[[File:Uniform-star-tiling-f.svg|160px]]<br />3.6.6{{supsub|*|&pi;/3}}.6<br />Topología [[Teselado rombitrihexagonal|3.4.6.4]]
|[[File:Uniform-star-tiling-k.svg|160px]]<br />8.3{{supsub|*|&pi;/12}}.8.6{{supsub|*|5&pi;/12}}<br />Topología [[Teselado rombitrihexagonal|3.4.6.4]]
|[[File:Uniform-star-tiling-9393s.svg|160px]]<br />9.3.9.3{{supsub|*|&pi;/9}}<br />Topología [[Teselado trihexagonal|3.6.3.6]]
|- align=center valign=bottom
|}

===Teselados uniformes usando polígonos alternados===

Los polígonos estrellados de la forma {p<sub>&alpha;</sub>} también pueden representar 2''p''-gónos convexos que alternan dos ángulos, siendo el más simple un rombo {2<sub>&alpha;</sub>}. Al permitirlos como polígonos regulares, se crean teselados más uniformes, como el ejemplo que figura a continuación:
{|class=wikitable
|+ Ejemplos
|- align=center valign=bottom
|[[File:Hexatile-rhombic-snub-hex.svg|160px]]<br />3.2*.6.2**<br />Topología [[Teselado rombitrihexagonal|3.4.6.4]]
|[[File:Octatile-rhombic0.svg|160px]]<br />4.4.4.4<br />Topología [[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[File:Octatile-rhombic1.svg|320px]]<br />(2{{supsub|*|&pi;/6}}.2{{supsub|**|&pi;/3}})<sup>2</sup><br />Topología [[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[File:Octatile-rhombic2.svg|160px]]<br />2{{supsub|*|&pi;/6}}.2{{supsub|*|&pi;/6}}.2{{supsub|**|&pi;/3}}.2{{supsub|**|&pi;/3}}<br />Topología [[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|[[File:Octatile-rhombic3.svg|160px]]<br />4.2{{supsub|*|&pi;/6}}.4.2{{supsub|**|&pi;/3}}<br />Topología [[Teselado cuadrado|4.4.4.4]]
|}

==Véase también==
*[[Símbolo de Wythoff]]
*[[Anexo:Teselados uniformes]]
*[[Teselados uniformes en el plano hiperbólico]]
*[[Politopo uniforme]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
*[[Harold Scott MacDonald Coxeter]], [[ M. S. Longuet-Higgins]], [[ J. C. P. Miller]], ''Poliedros uniformes'', '''Phil. Trans.'' 1954, 246 A, 401-50; (Tabla 8) {{JSTOR|91532}}
* [[Norman Johnson]] ''Politopos uniformes'', Manuscrito (1991)
** [[Norman Johnson|N.W. Johnson]]: ''La teoría de los politopos uniformes y los panales'', Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
* {{cite book|author1-link=Branko Grünbaum|last1=Grünbaum|first1=Branko|author2-link=G.C. Shephard|last2=Shephard|first2=G. C.|title=Tilings and Patterns|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1987|isbn=0-7167-1193-1|url=https://archive.org/details/isbn_0716711931}} (sección 12.3 de teselados de estrellas)

==Enlaces externos==
* {{Commonscat|Uniform tilings}}
* {{MathWorld|urlname=UniformTessellation|title=Uniform tessellation}}
* {{KlitzingPolytopes|flat.htm|4D|Euclidean tilings}}
* [http://www2u.biglobe.ne.jp/~hsaka/mandara/ue2 Teselados uniformes en el plano de Euclides]
* [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Teselaciones del plano]
* [http://www.tess-elation.co.uk/ El mundo de los teselados de David Bailey] {{Wayback|url=http://www.tess-elation.co.uk/ |date=20160402225543 }}
* [https://web.archive.org/web/20060909053826/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm k-uniform tilings]
* [http://probabilitysports.com/tilings.html teselados n-uniformes]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teselados uniformes|Teselados uniformes]]