Ver el código de «Teseracto»

{{otros usos|Cosmic Cube|el cubo que aparece en el [[Universo cinematográfico de Marvel]] también conocido como Teseracto| la forma geométrica}}

{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Teseracto
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|bgcolor=#ffffff align=center colspan=2|[[Archivo:Hypercubecentral.svg|230px]]<br />[[Diagrama de Schlegel]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Tipo||[[Politopo regular]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Familia||[[Politopo de medida|Hipercubo]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Celdas||8 [[Hexaedro|{4,3}]] [[Archivo:Hexahedron.svg|20px]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Caras||24 [[Cuadrado|{4}]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Aristas||32
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|bgcolor=#e7dcc3|Vértices||16
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|bgcolor=#e7dcc3|[[Símbolo de Schläfli]]|| {4,3,3}<br />{4,3}x{}<br />{4}x{4}<br />{4}x{}x{}<br />{}x{}x{}x{}
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|bgcolor=#e7dcc3|Diagrama de Coxeter-Dynkin||[[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_4.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]][[Archivo:CDW_3.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]][[Archivo:CDW_3.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]]<br />[[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_4.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]][[Archivo:CDW_3.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]]<br /> [[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_4.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_4.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]]<br />[[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_4.svg]][[Archivo:CDW_dot.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]]<br />[[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]][[Archivo:CDW_2.svg]][[Archivo:CDW_ring.svg]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Grupo de simetría||B<sub>4</sub>, [3,3,4]
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|bgcolor=#e7dcc3|Dual||16-celdas
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|bgcolor=#e7dcc3|[[Figura de vértice]]||([[Tetraedro|3.3.3]])<br />[[File:8-cell verf.svg|80px|center]]
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|bgcolor=#e7dcc3|Propiedades||[[Politopo convexo|Convexo]], [[Figura isogonal|isogonal]], [[Figura isotoxal|isotoxal]], [[Figura isoedral|isoedral]]
|}

En [[geometría]], el '''teseracto''' es el análogo en [[Cuarta dimensión|cuatro dimensiones]] del [[cubo]]; o expresado en otras palabras, el teseracto guarda con el cubo una relación igual a la que el cubo guarda con respecto al [[cuadrado]]. Así como la superficie del cubo consta de seis [[Cara (geometría)|caras]] cuadradas, la [[hipersuperficie|hiper-superficie]] del teseracto consta de ocho [[Cara (geometría)|celdas]] cúbicas. Es uno de los seis [[politopos regulares convexos de 4 dimensiones]].

También recibe el nombre de '''''ocho celda''''', '''8-celda''',  '''C<sub>8</sub>''', '''octácoro''' (regular), '''octaedroide''',<ref>Matila Ghyka, ''The geometry of Art and Life'' (1977), p.68</ref> '''prisma cúbico''', o '''tetracubo'''.<ref>Este término también puede significar un [[policubo]] compuesto por cuatro cubos</ref> Es el '''hipercubo de cuatro dimensiones''', o el 8'''-cubo''', formando parte de la familia de [[hipercubo]]s n-dimensionales o '''politopos de medida'''.<ref>{{Cite book | last = Elte | first = E. L. | authorlink = Emanuel Lodewijk Elte | title = The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces | publisher = University of Groningen | location = Groningen | year = 1912 | isbn = 1-4181-7968-X}}</ref>
Coxeter{{Sfn|Coxeter|1973|pp=122-123|loc=§7.2. illustration Fig 7.2<small>C</small>}} lo etiquetó como el politopo <math>\gamma_4</math>.

Es una figura formada por ocho [[Cubo (geometría)|cubos]] tridimensionales ubicados en un espacio donde existe un cuarto eje dimensional (considerando el primero la longitud, el segundo la altura y el tercero la profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un [[cubo]] de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 18 [[vértice (geometría)|vértices]], 34 [[arista (geometría)|aristas]], 26 caras [[cuadrado|cuadradas]], 8 celdas [[cubo|cúbicas]] y de 1 teseracto, valores que se pueden deducir de los <u>sumandos</u> del desarrollo del [[binomio de Newton]]<ref>En algunos textos se habla simplemente de la fórmula del polinomio <math>(x+2)^n</math>, cuyo desarrollo es precisamente el binomio de Newton</ref> <math>(a+b)^n</math>, donde el valor de '''n''' equivale al número de dimensiones (4 en el caso del teseracto), y siendo <math>a=2</math> y <math>b=1</math>.
{{contenido|izquierda}}
{{clear|right}}

== Etimología ==
Según el ''[[Oxford English Dictionary]]'', la palabra ''teseracto'' fue acuñada y utilizada por primera vez en 1888 por [[Charles Howard Hinton]] en su libro ''[[A New Era of Thought]]''. El término procede del [[griego antiguo]] {{lang|grc|τέσσερεις ἀκτίνες}} (''téssereis aktines'', "cuatro rayos"), refiriéndose a las cuatro aristas que parten de cada vértice hacia los vértices contiguos.<ref>{{cite web|url=http://www.oed.com/;jsessionid=046D859BEE893EBE8940E85E9D2D7F80?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F199669%3FredirectedFrom%3Dteseracto|title=Home : Oxford English Dictionary|website=Oed.com|accessdate=21 de enero de 2018}}</ref> En esta publicación, así como en algunos de los trabajos posteriores de Hinton, la palabra también está escrita ocasionalmente como "tessaract".

== Noción intuitiva ==
Un teseracto se puede definir como un cubo ''desfasado'' en el tiempo, es decir, como la suma de todas sus posiciones a lo largo del tiempo (entendido como una cuarta dimensión). Por supuesto, es imposible ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que, con suerte, solo sería posible ver un cubo común únicamente en el caso de que el hipercubo toque el espacio 3D en forma paralela a una de sus hipercaras. En cualquier otro caso, se vería un poliedro irregular, al igual que cuando un cubo es intersecado por un plano se pueden generar distintas figuras planas.

No es posible ver un hipercubo porque el ser humano está sujeto a tres dimensiones, por lo que solo puede verse la proyección de lo que sería un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Sin embargo, en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las aristas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.<ref>{{cita publicación|apellido=Sagan|nombre=Carl|título=Cosmos: un viaje personal, Capítulo 10. El filo de la eternidad|año=1980}}</ref>

== Propiedades ==
[[Archivo:Nested_set_V4;_elements_in_Hasse_diagram.svg|250px|thumb|Cuatro de las ocho celdas cúbicas tridimensionales anidadas en un teseracto, representadas en su [[diagrama de Hasse]]]]
[[Archivo:Teseraktoa.webm|mini|250px|Representación del [[diagrama de Schlegel]] de un teseracto como superficie jabonosa en un cubo de alambre]]

=== Definición ===
Se llama '''cubo unitario de cuatro dimensiones''' al conjunto de puntos<ref>Gelfand/Glagolieva/ Kirillov: ''El método de coordenadas'' Editorial Mir, Moscú (1981), pg. 82</ref> (x, y, z, t) que cumplen las relaciones
::::0 ≤ x ≤ 1
::::0 ≤ y ≤ 1
::::0 ≤ z ≤ 1
::::0 ≤ t ≤ 1.

=== Coordenadas ===
Con carácter general, un [[hipercubo]] unidad con ''n'' dimensiones es la [[envoltura convexa]] de los puntos dados por todas las permutaciones binarias de las [[coordenadas cartesianas]] <math>(\pm 1/2, \pm 1/2, \cdots, \pm 1/2)</math>. Tiene una longitud de lado de arista de 1 y un volumen ''n''-dimensional de 1.{{Cr}}

=== Vértices ===
Los vértices del cubo unitario son los puntos (x, y, z, t) en los cuales x, y, z, t están reemplazados o bien por un cero o bien por la unidad. Dichos vértices son 16, dado que representan el número de [[Variación (combinatoria)|variaciones]] con repetición de dos elementos tomados cuatro a cuatro.<ref>Op. cit. pg. 86</ref>

=== Aristas ===
Se llaman '''aristas''' del cubo unitario de cuatro dimensiones a los conjuntos de puntos<ref>Op. cit. pg. 87</ref> que tienen todas sus coordenadas, a excepción de una, constantes (iguales a 0 o 1) y la cuarta toma todos los valores desde 0 hasta 1. Por lo tanto, cualquier arista es un conjunto de la forma:
{{ecuación|
<math>E_i = \{x\in \R^4| \exists \lambda: x = x_0 + \lambda \mathbf{e}_i, 0 \le \lambda \le 1 \}</math>
||left}}
donde:
:<math>\mathbf{e}_i</math>, es un elemento de la [[base canónica]] de <math>\R^4</math>
:<math>x_0 \in \R^4</math>, designa uno de los vértices del cubo, adecuadamente escogido.
Ejemplos de aristas:
::::[1] x=0,  y=0,  z=0,  0 ≤ t ≤ 1
::::[2] 0 ≤ x ≤ 1,  y=0,  z=0,  t=0
::::[3] x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0, t = 1

Cada cubo unitario tetradimensional cuenta con 32 aristas.

=== Caras bidimensionales y tridimensionales ===
Las caras bidimensionales pueden escribirse como combinaciones lineales de los puntos de dos aristas:
{{ecuación|
<math>C^{(2)}_{ij} := \langle \lambda E_i + \mu E_j \rangle =
\{p\in \R^4 | \exists \lambda,\mu: p = \lambda x_i + \mu x_j,
0\le \lambda, \mu \le 1, x_i \in E_i, x_j \in e_j  \}</math>
||left}}
Análogamente las caras tridimensionales son conjuntos de la forma:
{{ecuación|
<math>C^{(3)}_{ijk} := \langle \lambda E_i + \mu E_j +\nu E_k \rangle </math>
||left}}

=== Diagonal principal ===
En un ''n''-cubo la diagonal principal viene dada por:
{{ecuación|
<math>D_n = L \sqrt{n}</math>
||left}}
siendo ''L'' la longitud de la arista, como se puede demostrar por inducción a partir del teorema de Pitágoras:
{{ecuación|
<math>D_n^2 = D_{n-1}^2 + L^2, \qquad D_1 = L</math>
||left}}
Para un hipercubo ordinario en cuatro dimensiones (''n'' = 4) la diagonal principal mide el doble del lado de la arista ''D<sub>n</sub>'' = 2''L''.

=== Hipervolumen y volumen ===
El hipervolumen tetradimensional encerrado en un hipercubo es ''L''<sup>4</sup>, mientras que el volumen de su frontera es 2<sup>3</sup>''L''<sup>3</sup>. Para un ''n''-cubo de arista ''L'', se tienen los siguientes valores del ''n''-volumen y del {{nowrap|''(n-1)''-volumen:}}
{{ecuación|
<math>V_n = L^n, \qquad V_{n-1} = (2n)L^{n-1}</math>
||left}}

=== Cálculo del número de elementos ===
[[File:Hypercube-construction-4d.svg|mini|600px|Construcción de un teseracto]]
[[File:Построение тессеракта.PNG|mini|600px|Otra visión de la construcción del teseracto]]

Es relativamente sencillo deducir por inducción el número de vértices, aristas, caras y volúmenes de un teseracto, viendo lo que va sucediendo cuando se genera a partir de un vértice un segmento, a partir un segmento un cuadrado, a partir de un cuadrado un cubo, y a partir de un cubo finalmente un teseracto:
* <u>Paso 0:</u>
:* Situación de partida:
:* 1 Vértice
* <u>Paso 1:</u>
:* Al desplazar el vértice, se genera otro vértice y una arista:
:* 2 Vértices // 1 Arista
* <u>Paso 2:</u>
:* Al desplazar la arista perpendicularmente, se duplica el número de vértices, se generan cuatro aristas (la original, su desplazada, y una por cada vértice de partida) y un cuadrado:
:* 4 Vértices // 4 Aristas // 1 Cara
* <u>Paso 3:</u>
:* Al desplazar la cara perpendicularmente, se duplica otra vez el número de vértices, se generan doce aristas (las cuatro originales, sus desplazadas, y una por cada vértice de partida), seis caras cuadradas (la original, su desplazada, y una por cada arista de partida), y un cubo:
:* 8 Vértices // 12 Aristas // 6 Caras // 1 Volumen
* <u>Paso 4:</u>
:* Al desplazar el cubo perpendicularmente en la cuarta dimensión, se duplica de nuevo el número de vértices, se generan 32 aristas (las doce originales, sus desplazadas, y una por cada vértice de partida), 24 caras cuadradas (las seis originales, sus desplazadas, y una por cada arista de partida), 8 cubos (el original, su desplazado y uno por cada cara de partida) y 1 teseracto:
:* 16 Vértices // 32 Aristas // 24 Caras // 8 Volúmenes // 1 Hipervolumen

Sin embargo, existe una '''fórmula general''' que permite calcular el número de cada uno de los elementos (vértices, aristas, caras...) que componen un cubo ''n''-dimensional, basada en el [[binomio de Newton]] <math>(a+b)^n</math>, mediante el cálculo de los <u>sumandos</u> de su desarrollo. En esta expresión, se debe imponer que <math>a=2</math> y <math>b=1</math>, y el valor de '''n''' equivale al número de dimensiones (4 en el caso del teseracto):

* <math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k} b^k={n \choose 0}a^n + {n\choose 1} a^{n-1} b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n\choose n-1}ab^{n-1} + {n\choose n} b^n</math>

siendo:

:<math> {n \choose k}= \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}</math>

Entonces, como ya se ha indicado, particularizando la fórmula con <math>a=2</math> y <math>b=1</math>; y para el caso del teseracto con <math>n=4</math>, se tiene que:

* <math>(2+1)^4={4 \choose 0}2^4 + {4\choose 1} 2^3\cdot 1+{4\choose 2}2^2 \cdot 1^2 + {4\choose 3}2 \cdot 1^3 + {4\choose 4} 1^4 = 1 \cdot 16 + 4 \cdot 8 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 1 = 16 + 32 + 24 + 8 + 1</math>

Los valores de estos cinco sumandos <math>(16, 32, 24, 8, 1)</math>, se corresponden con los números de <math>(\text{vértices, aristas, caras, volúmenes, hipervolúmenes})</math> del teseracto.

Una curiosa propiedad que se deduce de esta fórmula es que la suma del número de todos los elementos de un ''n''-cubo, es <math>3^n</math>, el resultado de operar el primer miembro de la fórmula del binomio de Newton una vez particularizado (<math>(2+1)^n</math>).

== Geometría ==
El teseracto se puede construir de varias maneras. Como [[politopo regular]] con tres [[cubo]]s acoplados juntos alrededor de cada arista, tiene [[símbolo de Schläfli]] {4,3,3} con [[grupo hiperoctaedral|simetría hiperoctaedral]] de orden 384. Construido como un [[prisma (geometría)|prisma]] de cuatro dimensiones a partir de dos cubos paralelos, le corresponde un [[símbolo de Schläfli]] compuesto {4,3}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}, con un orden de simetría 96. Como un [[duoprisma]] 4-4, un [[producto cartesiano]] de dos [[cuadrado]]s, puede ser identificado por el símbolo de Schläfli compuesto {4}×{4}, con un orden de simetría 64. Como [[hiperrectángulo]], se puede representar con el símbolo de Schläfli compuesto {&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}, o también {&nbsp;}<sup>4</sup>, con el orden de simetría 16.

Como cada vértice de un teseracto es adyacente a cuatro aristas, la [[figura de vértice]] del teseracto es un [[tetraedro]] regular. El [[poliedro conjugado]] del teseracto se llama [[hexadecacoron]] regular, o 16-celda, con el símbolo de Schläfli {3,3,4}, con el que se puede combinar para formar el [[compuesto de teseracto y 16-celda]].

El teseracto estándar en [[Cuarta dimensión|cuatro dimensiones]] se da como la [[envolvente convexa]] del conjunto de puntos (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Es decir, consta de los vértices:
: <math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}</math>

Un teseracto está limitado por ocho [[hiperplano]]s (''x''<sub>i</sub> = ±1). Cada par de hiperplanos no paralelos se cruzan para formar 24 caras cuadradas en un teseracto. Tres cubos y tres cuadrados se cruzan en cada borde. Se delimitan cuatro cubos, seis cuadrados y cuatro bordes reunidos en cada vértice. En definitiva, consta de 8 cubos, 24 cuadrados, 32 aristas y 16 vértices.

=== Proyecciones en dos dimensiones ===
La construcción de [[hipercubo]]s se puede imaginar de la siguiente manera:
* '''Unidimensional:''' Se pueden conectar dos puntos A y B mediante una recta, generándose el segmento AB.
* '''Bidimensional:''' Se pueden conectar dos segmentos paralelos AB y CD para convertirse en un cuadrado, con las esquinas marcadas como ABCD.
* '''Tridimensional:''' Se pueden conectar dos cuadrados paralelos ABCD y EFGH para convertirse en un cubo, con las esquinas marcadas como ABCDEFGH.
* '''Tetradimensional:''' Se pueden conectar dos cubos paralelos ABCDEFGH e IJKLMNOP para convertirse en un teseracto, con las esquinas marcadas como ABCDEFGHIJKLMNOP.

[[File:8-cell.gif|thumb|Una proyección en 3D de una 8-celda que realiza una [[Rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional| rotación simple]] alrededor de un plano que divide la figura de adelante hacia atrás, de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo]]
{|class="wikitable"
|[[File:Dimension levels.svg|thumb|385x385px|Un diagrama mostrando como crear un teseracto a partir de un punto]]
|[[File:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|thumb|x168px|Una animación de la transformación de [[dimensión|dimensiones]] descrita]]
|}

Es posible proyectar teseractos en espacios tridimensionales y bidimensionales, de manera similar a proyectar un cubo en un espacio bidimensional.

Las proyecciones en el plano 2D se vuelven más instructivas al reorganizar las posiciones de los vértices proyectados. De esta manera, se pueden obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales dentro del teseracto, pero que ilustran la estructura de conexión de los vértices, como en los siguientes ejemplos:

Un teseracto se obtiene en principio combinando dos cubos. El esquema es similar a la construcción de un cubo a partir de dos cuadrados: se yuxtaponen dos copias del cubo de dimensiones inferiores y se conectan los vértices correspondientes. Todas las aristas de un teseracto son de la misma longitud. Esta vista es interesante cuando se usan teseractos como base para que una [[topología de red]] vincule múltiples procesadores en [[computación paralela]]: la distancia entre dos nodos es como máximo de 4 y hay muchas rutas diferentes con un peso equilibrado.{{clear}}

=== Proyecciones paralelas en 3 dimensiones ===
[[File:Hypercubeorder binary.svg|thumb|El [[rombododecaedro]] forma la envolvente convexa de la primera proyección paralela de los vértices del teseracto. El número de vértices en las capas de esta proyección es 1&nbsp;4&nbsp;6&nbsp;4&nbsp;1—la cuarta fila del [[triángulo de Pascal]]]]
{| class=wikitable
|[[File:Orthogonal projection envelopes tesseract.png|thumb|left|Envolvente de la proyección paralela del teseracto (cada celda se dibuja con sus caras de diferentes colores, las celdas invertidas no se dibujan)]]

La [[Proyección tridimensional|proyección]] paralela de la ''primera-celda'' de un teseracto en el espacio tridimensional tiene una envoltura [[Cubo|cúbica]]. Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan en el cubo, y las seis celdas restantes se proyectan en las seis caras cuadradas del cubo.

La proyección paralela de la ''primera-cara'' del teseracto en el espacio tridimensional tiene una envoltura [[ortoedro|ortoedral]]. Dos pares de celdas se proyectan hacia las mitades superior e inferior de esta envolvente, y las cuatro celdas restantes se proyectan hacia las caras laterales.

La proyección paralela de la ''primera-arista'' del teseracto en el espacio tridimensional tiene una envoltura en forma de [[prisma hexagonal]]. Seis celdas se proyectan sobre prismas rómbicos, que se disponen en el prisma hexagonal de forma análoga a cómo las caras del cubo 3D se proyectan sobre seis rombos en una envoltura hexagonal bajo proyección del primer vértice. Las dos celdas restantes se proyectan sobre las bases del prisma.

La proyección paralela del "primer-vértice" del teseracto en el espacio tridimensional tiene una envolvente [[Rombododecaedro|rombododecaédrica]]. Dos vértices del teseracto se proyectan sobre el origen. Hay exactamente dos formas de [[disección (geometría)|disección]] de un dodecaedro rómbico en cuatro [[romboedro]]s congruentes, lo que da un total de ocho posibles romboedros, cada uno un [[cubo]] del teseracto proyectado. Esta proyección también es la que tiene un volumen máximo. Un conjunto de vectores de proyección son ''u''=(1,1,-1,-1), ''v''=(-1,1,-1,1), ''w''=(1,-1,-1,1).
|}

=== Configuración matricial ===
Un teseracto se puede representar mediante una configuración matricial. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal indican cuántos de cada uno de estos elementos forman el teseracto. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en o coinciden con el elemento de la fila.{{Sfn|Coxeter|1973|loc=§1.8 Configurations|p=12}}

<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>

== Representaciones tridimensionales ==
El teseracto se puede desplegar en ocho cubos en el espacio 3D, así como el cubo se puede desplegar en seis cuadrados en el espacio 2D. El despliegue de un [[politopo]] se denomina su [[Desarrollo de un poliedro|red]]. Existen 261 redes distintas de un teseracto.<ref>{{cite web|url=http://unfolding.apperceptual.com/|title=Unfolding an 8-cell|website=Unfolding.apperceptual.com|accessdate=21 de enero de 2018}}</ref> El despliegue del teseracto se puede contar representando las redes en un ''árbol pareado'' (un [[Árbol (teoría de grafos)|árbol]] junto con [[apareamiento (teoría de grafos)|emparejamiento perfecto]] en su [[Grafo complemento|complemento]]).

{| class=wikitable width=720
|- align=left valign=top
|[[File:Net of tesseract.gif|right|x200px]]<br />Desarrollo 3-D de un teseracto 
|[[File:3D stereographic projection tesseract.PNG|x200px]]<br /> Proyección [[Estereoscopía|estereoscópica]] 3D de un teseracto (vista paralela)
|[[File:Hypercube Disarmed.PNG|x200px]]<br />Vista estereográfica del desarrollo 3D de un hipercubo. Se debe observar con los ojos cruzados (no requiere gafas especiales)
|}

=== Proyecciones alternativas ===
{| class=wikitable width=640
|- align=center valign=top
|[[File:8-cell-orig.gif|x200px]]<br />Proyección 3D de un teseracto realizando una [[Rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional|rotación doble]] alrededor de dos planos ortogonales
|[[File:Animation of three four dimensional cube.webm|x200px]]Proyección 3D de tres teseractos con y sin caras
|[[File:tesseract-perspective-vertex-first-PSPclarify.png|x200px]]<br />Perspectiva con '''eliminación de volúmenes ocultos'''. La esquina roja es la más próxima en [[Cuarta dimensión|4D]] y cuenta con 4 celdas cúbicas a su alrededor.
|}

{| class=wikitable width=728px
|- align=center valign=top
|[[File:tesseract tetrahedron shadow matrices.svg|x350px|right]]
El [[tetraedro]] forma la [[envolvente convexa]] de la [[proyección central]] de los vértices de un teseracto centrados. Se muestran 4 de las 8 celdas cúbicas. El vértice número 16 se proyecta en el [[Punto del infinito|infinito]] y las 4 aristas que convergen en él no se representan.
|[[File:Stereographic polytope 8cell.png|x200px]]<br />[[Proyección estereográfica]]<br />
(las aristas están proyectadas sobre una [[3-esfera]])
|}

=== Proyecciones ortogonales en 2D ===
{| class=wikitable
|+ [[Proyección ortogonal|Proyecciones ortogonales]]
|- align=center
![[Plano de Coxeter]]
!B<sub>4</sub>
!B<sub>3</sub> / D<sub>4</sub> / A<sub>2</sub>
!B<sub>2</sub> / D<sub>3</sub>
|- align=center
!Grafo
|[[File:4-cube t0.svg|150px]]
|[[File:4-cube t0 B3.svg|150px]]
|[[File:4-cube t0 B2.svg|150px]]
|- align=center
![[Grupo diedral]]
|[8]
|[6]
|[4]
|- align=center
!Plano de Coxeter
!Otro
!F<sub>4</sub>
!A<sub>3</sub>
|- align=center
!Grafo
|[[File:4-cube column graph.svg|150px]]
|[[File:4-cube t0 F4.svg|150px]]
|[[File:4-cube t0 A3.svg|150px]]
|- align=center
!Grupo diedral
|[2]
|[12/3]
|[4]
|}

== Simetría equilátera radial ==
El ''radio largo'' del teseracto (distancia desde su centro a cualquiera de sus vértices) es igual a su longitud de arista; por lo tanto, su diagonal a través del centro (de un vértice al vértice opuesto) es de 2 longitudes de arista. Solo unos pocos [[politopo]]s tienen esta propiedad, incluidos el teseracto de cuatro dimensiones y el [[Icositetracoron|24-celda]], el [[cuboctaedro]] tridimensional y el [[hexágono]] bidimensional. En particular, el teseracto es el único hipercubo con esta propiedad.<ref>Estrictamente, el hipercubo de 0 dimensiones (un punto) y 1 dimensión (un segmento recto) también son radialmente equiláteros.</ref> El diámetro de vértice a vértice más largo de un hipercubo ''n'' dimensional de longitud de arista unidad es {{raíz|''n''}}, por lo que para el cuadrado es <math>\sqrt{2}</math>, para el cubo es <math>\sqrt{3}</math>, y solo para el teseracto es <math>\sqrt{4}</math>, exactamente 2 longitudes de arista.

== Teselación ==
El teseracto, como todos los [[hipercubo]]s, tesela el [[espacio euclídeo]]. Al [[panal teseractoico]] auto dual que consta de 4 teseractos alrededor de cada cara, le corresponde el [[Ludwig Schläfli|símbolo de Schläfli]] '''{4,3,3,4}'''. Por lo tanto, el teseracto tiene un [[ángulo diedro]] de 90°.{{Sfn|Coxeter|1973|p=293}}

La simetría equilátera radial del teseracto hace que su teselado sea la [[panal teseractoico|única retícula cúbica centrada en un cuerpo regular]] de esferas de igual tamaño, en cualquier cantidad de dimensiones.

El teseracto en sí mismo puede descomponerse en politopos más pequeños. Por ejemplo, puede ser [[Conjunto de puntos de triangulación|triangulado]] en varios [[símplex]] 4-dimensionales que comparten sus vértices con el teseracto. Se sabe que hay 92.487.256 de tales triangulaciones<ref>{{citation
 | last1 = Pournin | first1 = Lionel
 | mr = 3038527
 | title = The flip-Graph of the 4-dimensional cube is connected
 | journal = [[ Discrete & Computational Geometry]]
 | pages = 511–530
 | volume = 49
 | year = 2013
 | doi = 10.1007/s00454-013-9488-y| arxiv = 1201.6543}}
</ref> y que el menor número de simplex de 4 dimensiones en cualquiera de ellas es de 16.<ref>{{citation
 | last1 = Cottle | first1 = Richard W.
 | mr = 676709
 | title = Minimal triangulation of the 4-cube
 | journal = [[Matemáticas discretas]]
 | pages = 25–29
 | volume = 40
 | year = 1982
 | doi = 10.1016/0012-365X(82)90185-6}}
</ref>

== Polígono complejo relacionado ==
{| class=wikitable style="float:right;" width=320
!Ortogonal||Perspectiva
|-
|[[File:4-generalized-2-cube.svg|160px]]
|[[File:Complex polygon 4-4-2-stereographic3.svg|160px]]
|-
|colspan=2|<sub>4</sub>{4}<sub>2</sub>, con 16 vértices y 8 4-aristas, con las 8 4-aristas mostradas aquí como 4 cuadrados rojos y 4 azules.
|}
El [[politopo complejo regular]] <sub>4</sub>{4}<sub>2</sub>, {{DCD|4node_1|4|node}}, en <math>\mathbb{C}^2</math> tiene una representación real como teseracto o 4-4 [[duoprisma]] en un espacio de 4 dimensiones. <sub>4</sub>{4}<sub>2</sub> tiene 16 vértices y 8 4-aristas. Su simetría es <sub>4</sub>[4]<sub>2</sub>, de orden 32. También tiene una construcción de simetría más baja, {{DCD|4node_1|2|4node_1}} o <sub>4</sub>{}×<sub>4</sub>{}, con simetría <sub>4</sub>[2]<sub>4</sub>, orden 16. Esta es la simetría que se verifica si las 4-aristas rojas y las azules se consideran distintas.<ref>Coxeter, H. S. M., ''Regular Complex Polytopes'', second edition, Cambridge University Press, (1991).</ref>

== Politopos y panales relacionados ==
Como un [[duoprisma]] uniforme, el teseracto existe en un [[4-politopo uniforme|secuencia de duoprismas uniformes]]: {''p''}×{4}.

El teseracto regular, junto con el [[hexadecacoron]], existe en un conjunto de 15 [[Teseracto truncado|4-politopos uniformes con la misma simetría]]. El teseracto {4,3,3} existe en una [[panal teselado hexagonal|secuencia de 4-politopos regulares y panales]], {''p'',3,3} con [[figura de vértice|figuras de vértices]] [[Tetraedro|tetraedrales]] {3,3}. El teseracto también está en una [[panal cúbico de orden 5|secuencia de 4-politopos regulares y panales]], {4,3,''p''} con [[Cara (geometría)|celdas]] [[Cubo|cúbicas]].
{{clear|right}}

== En la cultura popular ==
[[Archivo:8-cell net.png|thumb|La [[cruz de Dalí]], [[desarrollo de un poliedro|desarrollo]] de un teseracto]]

Desde su descubrimiento, los hipercubos de cuatro dimensiones han sido un tema popular en el arte, la arquitectura y la ciencia ficción. Algunos ejemplos notables son:
<!-- Do not add examples without sources. Also do not add examples that use the word "teseracto" but are not about hypercubes.
        In particular, do not add "A Wrinkle in Time" or "Interstellar", as their uses of "teseracto" are not about hypercubes. -->
* "[[And He Built a Crooked House]]", la historia de ciencia ficción de [[Robert A. Heinlein|Robert Heinlein]] de 1940 que presenta un edificio en forma de hipercubo de cuatro dimensiones.<ref>{{citation
|title=Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction
|first=David
|last=Fowler
|journal=World Literature Today
|volume=84
|issue=3
|year=2010
|pages=48–52
|jstor=27871086}}</ref> Esta obra y "The No-Sided Professor" de [[Martin Gardner]], obra publicada en 1946, se encuentran entre los primeros relatos de ciencia ficción en presentar a los lectores elementos geométricos como la [[banda de Möbius]], la [[botella de Klein]] o el hipercubo (teseracto).
* La ''[[Crucifixión (Dalí)|Crucifixión]]'', una pintura al óleo de 1954 de Salvador Dalí que presenta un hipercubo tetradimensional desplegado en una [[cruz latina]].<ref>{{citation|title=Dali's dimensions|first=Martin|last=Kemp|journal=[[Nature]]|volume=391|issue=27|date=1 de enero de 1998|pages=27|doi=10.1038/34063}}</ref> tridimensional
* El [[Arco de La Défense]], un monumento y edificio cerca de París, Francia, completado en 1989. Según el ingeniero del monumento, [[Erik Reitzel]], el ''Grande Arche'' fue diseñado para parecerse a la proyección de un hipercubo.<ref>{{citation|last=Ursyn|first=Anna|title=Knowledge Visualization and Visual Literacy in Science Education|publisher=Information Science Reference|year=2016|isbn=9781522504818|pages=91|contribution-url=https://books.google.fi/books?id=-JBJDAAAQBAJ&pg=PA91#v=onepage&q&f=false|contribution=Knowledge Visualization and Visual Literacy in Science Education}}</ref>
* [[Fez (videojuego)|Fez]], un videojuego donde un personaje que puede ver más allá de las dos dimensiones que otros personajes pueden ver, debe usar esta habilidad para resolver acertijos de plataformas. Presenta a "Dot", un teseracto que ayuda a navegar por el mundo e indica cómo usar ciertas habilidades, encajando con el tema de ver más allá de la percepción humana del espacio tridimensional conocido.<ref>{{cite web|url=http://www.giantbomb.com/dot/3005-23100/|title=Dot (Character) - Giant Bomb|website=Giant Bomb|accessdate=21 de enero de 2018}}</ref>
* [[Cube 2: Hypercube]] es una película canadiense de terror y suspense de 2002 dirigida por Andrzej Sekuła. En ella, los protagonistas están atrapados dentro de un teseract, lleno de trampas mortales, y el objetivo es escapar de él.<ref>https://web.archive.org/web/20040610081356/http://www.scifi.com/cube2/ Cube 2: Hypercube official site</ref><ref>http://www.scifimoviepage.com/cube2.html Cube 2 en Sc-Fy Movie Page</ref>
La palabra "teseracto" se adoptó más tarde para muchos otros usos en la cultura popular, incluso como un dispositivo de trama en obras de ciencia ficción, a menudo con poca o ninguna conexión con el hipercubo tetradimensional tratado en este artículo.
<!-- Do not add examples without sources. Also do not add examples that use the word "teseracto" but are not about hypercubes. Last bullet directs readers to the page that will help them find other, non-hypercube per this article, links. -->

== Véase también ==
* [[Matemáticas y arte]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* {{Cite book | ref=harv | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd| pp=[https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n140 122]–123}}
* F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', Wiley-Interscience Publication {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [[Mathematische Zeitschrift]] 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008) ''The Symmetries of Things'', {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* [[Thorold Gosset|T. Gosset]] (1900) ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', [[Messenger of Mathematics]], Macmillan.
* [[T. Proctor Hall]] (1893) [https://www.jstor.org/stable/2369565 "The projection of fourfold figures on a three-flat"], [[American Journal of Mathematics]] 15:179–89.
* [[Norman Johnson (mathematician)|Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
* [[Victor Schlegel]] (1886) ''Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper'', Waren.

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|title=Tesseract|urlname=tesseract}}
* {{KlitzingPolytopes|polychora.htm|4D uniform polytopes (polychora)|x4o3o3o - tes}}
* [http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html The tesseract] {{Wayback|url=http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html |date=20220120044617 }}. Imágenes con eliminación de superficies ocultas. Este sitio proporciona una buena descripción de los métodos para visualizar sólidos 4D.
* [http://www.polytope.de/c8.html Der 8-Zeller (8-celdas)] Politopos regulares de Marco Möller en ℝ<sup>4</sup> (alemán)
* [https://web.archive.org/web/20070928165237/http://www.polychora.de/wiki/index.php?title=TES WikiChoron: teseracto]
* [https://web.archive.org/web/20060512045219/http://www.uoregon.edu/~koch/hypersolids/hypersolids.html HyperSolids] es un programa de código abierto para [[Macintosh]] (Mac OS X y superior) que genera los cinco sólidos regulares del espacio tridimensional y los seis hiperesólidos regulares del espacio tetradimensional.
* [https://web.archive.org/web/20130326090312/http://www.cs.sjsu.edu/~rucker/hypercube.htm Hypercube 98] Un programa [[Microsoft Windows|Windows]] que muestra hipercubos animados, por [[Rudy Rucker]]
* [http://mrl.nyu.edu/~perlin/demox/Hyper.html Página de inicio de Ken Perlin]. Una forma de visualizar hipercubos, por [[Ken Perlin]]
* [http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/ Some Notes on the Fourth Dimension] incluye tutoriales animados sobre varios aspectos diferentes del teseracto, por [http://www.math.union.edu/~dpvc/ Davide P. Cervone]
* [http://www.fano.co.uk/hypermodel/teseracto.html Animación de teseracto con eliminación de volumen oculto]

{{Politopos}}

{{Control de autoridades}}
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[[Categoría:Topología algebraica]]
[[Categoría:Geometría tetradimensional]]
[[Categoría:Politopos]]
[[Categoría:4-politopos]]