Ver el código de «Topología algebraica»

La '''topología algebraica''' es una rama de las [[matemáticas]] en la que se usan las herramientas del [[álgebra abstracta]] para estudiar los [[Espacio topológico|espacios topológicos]]. El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicas que clasifican los espacios topológicos salvo [[homeomorfismo]], aunque normalmente muchos se clasifican salvo equivalencia homotópica.[[File:Torus.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Torus.png|thumb|250x250px|Un toro, uno de los objetos más frecuentemente estudiados en topología algebraica]]

Aunque la topología algebraica usa principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible usar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite una prueba conveniente de que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.
==Principales ramas de la topología algebraica==
A continuación, se presentan algunas de las principales áreas estudiadas en topología algebraica:

===Grupos de homotopía===
{{Main| Grupo de homotopía}}
En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar [[espacios topológicos]]. El primer y más simple grupo de homotopía es el [[grupo fundamental]], que registra información sobre bucles en un espacio. Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico.

===Homología===
{{Main|Homología (matemáticas)|l1=Homología}}
En topología algebraica y [[álgebra abstracta]], '''homología'''' (en parte de [[lengua griega|griego]] ὁμός ''homos'' "idéntico") es un cierto procedimiento general para asociar una [[Sucesión (matemática)| secuencia]] de [[grupo abeliano]]s o [[módulo (matemáticas)|módulos]] con un objeto matemático dado, como un [[espacio topológico]] o un [[grupo (matemáticas)|grupo]].<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=163}}</ref>

===Cohomología===
{{Main|Cohomología}}
En [[Homología (matemática)| teoría de la homología]] y topología algebraica, '''cohomología''' es un término general para una [[Sucesión (matemática)| secuencia]] de [[grupo abeliano]]s definida a partir de un [[complejo de cadenas|complejo de co-cadenas]]. Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de las '''co-cadenas''', [[Complejo de cadenas|cociclos]] y [[Complejo de cadenas| co-límites]]. La cohomología puede verse como un método de asignar [[invariantes algebraicos]] a un espacio topológico que tiene una [[estructura algebraica]] más refinada que la [[homología (matemáticas)|homología]]. La cohomología surge de la dualización algebraica de la construcción de la homología. En un lenguaje menos abstracto, las co-cadenas en sentido fundamental deberían asignar 'cantidades' a las ''[[cadenas (topología algebraica)|cadenas]]'' de la teoría de la homología.

===Manifolds===
{{Main|Variedad (matemáticas)}}
Un '''manifold''' es un [[espacio topológico]] que cerca de cada punto se parece al [[espacio euclídeo]]. Algunos ejemplos son el [[Plano (geometría)|plano]], la [[esfera]] y el [[toroide]], que pueden realizarse en tres dimensiones, pero también la [[botella de Klein]] y el [[Plano proyectivo real| plano real proyectivo]] que no pueden realizarse en tres dimensiones, pero sí en cuatro. Típicamente, los resultados en topología algebraica se centran en aspectos globales, no diferenciables de las variedades; por ejemplo [[dualidad de Poincaré]].

===Teoría de nudos===
{{Main|Teoría de nudos}}
'''Teoría de nudos''' es el estudio de [[nudo (matemáticas)|nudo matemático]]s. Aunque se inspira en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en cordones de zapatos y cuerdas, un nudo matemático difiere en que los extremos están unidos de manera que no se puede deshacer. En lenguaje matemático preciso, un nudo es una [[incrustación]] de un [[círculo]] en el [[espacio euclídeo]] tridimensional, <math>\mathbb{R}^3</math>. Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de <math>\mathbb{R}^3</math> sobre sí mismo (conocida como una [[Isotopía del ambiente| isotopía ambiental]]); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda o pasar la cuerda a través de sí misma.

===Complejos===
{{Main|Complejo simplicial|CW-complejo}}
[[File:Simplicial complex example.svg|thumb|200px|Un 3-complejo simplicial.]]
Un '''complejo simplicial''' es un [[espacio topológico]] de cierto tipo, construido "pegando" [[Punto (geometría)|punto]]s, [[Segmento| segmento de recta]]s, [[triángulo]]s, y sus [[Simplex|''n''-dimensional counterparts]] (véase ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de [[conjunto simplicial]] que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial. La contrapartida puramente combinatoria de un complejo simplicial es un [[complejo simplicial abstracto]].

Un '''complejo de CW''' es un tipo de espacio topológico introducido por J. H. C. Whitehead para satisfacer las necesidades de la [[Teoría de la homotopía]]. Esta clase de espacios es más amplia y tiene algunas propiedades [[teoría de categorías|categóricas]] mejores que los [[Complejo simplicial| complejos simpliciales]], pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite la computación (a menudo con un complejo mucho más pequeño).

== El método de los invariantes algebraicos ==

La meta es clasificar los espacios topológicos. Un nombre antiguo para esta materia era el de '''topología combinatoria''', que ponía el énfasis en cómo un espacio dado ''X'' podía construirse a partir de espacios más pequeños. El método básico que se aplica ahora en topología algebraica es el de investigar los espacios por medio de los invariantes algebraicos: por ejemplo aplicándolos, relacionándolos con los [[Teoría de grupos|grupos]], que tienen bastante estructura utilizable, y de manera que se respete la relación de [[homeomorfismo]] de espacios.

Las dos formas principales como se hace esto son a través de los [[Grupo fundamental|grupos fundamentales]], o más en general la [[Teoría de homotopía]], y por medio de los grupos de [[Homología (matemática)|homología]] y de [[cohomología]]. Los grupos fundamentales nos suministran información básica sobre la estructura de un espacio topológico; pero son a menudo [[Grupo abeliano|no-abelianos]] y pueden ser difíciles de usar. El grupo fundamental de un [[complejo simplicial]] (finito) tiene una [[presentación de grupo|presentación]] finita.

Los grupos de homología y cohomología, por otra parte, son abelianos, y en muchos casos importantes son finitamente generados. Los [[grupo abeliano finitamente generado|grupos abelianos finitamente generados]] pueden clasificarse completamente y son particularmente fáciles de usar.
== Resultados en homología ==

Varios resultados útiles se siguen inmediatamente de trabajar con [[grupo abeliano finitamente generado|grupos abelianos finitamente generados]]. El rango libre del grupo de ''n''-homología de un complejo simplicial es igual al ''n''-[[número de Betti]], así que se pueden usar los grupos de homología de un complejo simplicial para calcular su [[característica de Euler-Poincaré]]. Si un grupo de ''n''-homología de un complejo simplicial tiene torsión, entonces el complejo es [[orientable|no-orientable]]. Así que la homología "codifica" gran parte de la información topológica de un espacio topológico dado.

Más allá de la homología simplicial, podemos usar la estructura diferencial de las [[Variedad]]es por medio de la [[Cohomología de De Rham]], o la de Cech o con la cohomología de [[Teoría de haces|haces]] para investigar la resolubilidad de las [[Ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] definidas en la variedad en cuestión. [[De Rham]] demostró que todos estos tipos de aproximación están interrelacionados y que los números de Betti que se derivan de la homología simplicial eran los mismos números de Betti que aquellos que se derivan de la cohomología de De Rham.

== Aplicaciones ==

Entre la aplicaciones clásicas de la topología algebraica se encuentran:
* El [[teorema del punto fijo de Brouwer]]: toda aplicación continua f de un disco cerrado en sí mismo admite al menos un punto fijo.
* La ''n''-esfera admite un [[campo vectorial]] unitario continuo, que no se anula nunca, si y solo si ''n'' es impar (para ''n''&nbsp;=&nbsp;2, este resultado también se conoce como [[teorema de la bola peluda]]). 
* El [[teorema de Borsuk-Ulam]].
<!--

* The [[Borsuk–Ulam theorem]]: any continuous map from the ''n''-sphere to Euclidean ''n''-space identifies at least one pair of antipodal points.
* Any subgroup of a [[free group]] is free. This result is quite interesting, because the statement is purely algebraic yet the simplest proof is topological. Namely, any free group ''G'' may be realized as the fundamental group of a [[graph (mathematics)|graph]] ''X''. The main theorem on [[covering space]]s tells us that every subgroup ''H'' of ''G'' is the fundamental group of some covering space ''Y'' of ''X''; but every such ''Y'' is again a graph. Therefore its fundamental group ''H'' is free. On the other hand this type of application is also handled more simply by the use of covering morphisms of [[groupoids]], and that technique has yielded subgroup theorems not yet proved by methods of algebraic topology. (See the book by Higgins listed under groupoids.)
* [[Topological combinatorics]]
-->

== Posicionamiento en Teoría de Categorías ==

En general, todas las construcciones de la topología algebraica son [[Teoría de categorías|funtoriales]]: las nociones de [[categoría]], [[funtor]] y [[transformación natural]] se originaron aquí. Los grupos fundamentales, de homología y cohomología no son sólo ''invariantes'' del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos son [[homeomorfismo|homeomorfos]] si tienen asociados los mismos grupos; una aplicación continua de espacios induce un homomorfismo entre los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden ser usados para probar la no-existencia (o, más profundamente, la existencia) de aplicaciones.

=== Conjunto en teoría de categorías ===
En general, todas las construcciones de la topología algebraica son [[teoría de categorías| functoriales]]; las nociones de [[categoría (matemática)|categoría]], [[functor]] y [[transformación natural]] se originaron aquí. Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no sólo son ''invariantes'' del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos que son [[Homeomorfismo| homeomorfos]] tienen los mismos grupos asociados, sino que sus morfismos asociados también se corresponden: un mapeo continuo de espacios induce un [[Homomorfismo de grupos| homomorfismo de grupo]] en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden utilizarse para demostrar la no existencia (o, mucho más profundamente, la existencia) de mapeos.

Uno de los primeros matemáticos en trabajar con distintos tipos de coho| mología fue [[Georges de Rham]]. Se puede utilizar la estructura diferencial de [[variedad diferenciable]] vía [[Cohomología de De Rham]], o [[Cohomología de Čech]] o [[cohomología del haz]] para investigar la resolubilidad de [[Ecuación diferencial| ecuaciones diferenciales]] definidas en el manifold en cuestión. De Rham demostró que todos estos enfoques estaban interrelacionados y que, para una variedad cerrada y orientada, los números de Betti obtenidos mediante la homología simplicial eran los mismos números de Betti que los obtenidos mediante la cohomología de De Rham. Esto se amplió en la década de 1950, cuando [[Samuel Eilenberg]] y [[Norman Steenrod]] generalizaron este enfoque. Definieron la homología y la cohomología como [[funtor]]es equipados con [[Transformación natural| transformaciones naturales]] sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una [[equivalencia débil (teoría de la homotopía)|equivalencia débil]] de espacios pasa a un isomorfismo de grupos homológicos), verificaron que todas las teorías (co)homológicas existentes satisfacían estos axiomas, y luego demostraron que tal axiomatización caracterizaba unívocamente la teoría.

== Los problemas de la topología algebraica ==

El problema geométrico, abierto por cerca de un siglo, y más famoso de la topología algebraica es la [[Conjetura de Poincaré]], resuelto por el ruso [[Grigori Perelmán]] en 2002. El campo de la [[Teoría de homotopía]] contiene muchos misterios, en particular la manera correcta de describir los grupos de [[homotopía]] de las esferas.
==Aplicaciones de la topología algebraica==
Las aplicaciones clásicas de la topología algebraica incluyen:
* El [[Teorema del punto fijo de Brouwer]]: todo mapa [[función continua|continua]] de la unidad [[Disco (matemáticas)|''n''-disco]] a sí mismo tiene un punto fijo.
* El rango libre del ''n'' grupo homológico de un [[complejo simplicial]] es el ''n'' [[número de Betti]], que permite calcular la [[característica de Euler-Poincaré]].
* Una variedad es [[Orientabilidad| orientable]] cuando el grupo de homología integral de la dimensión superior son los números enteros, y no es orientable cuando es 0.
* La [[n-esfera|''n''-esfera]] admite un [[campo vectorial sobre esferas|campo vectorial]] unitario continuo que no desaparece en ninguna parte si y sólo si ''n'' es impar. (Para ''n''&nbsp;=&nbsp;2, esto se llama a veces el "[[teorema de la bola peluda]]").
* El [[teorema de Borsuk-Ulam]]: cualquier mapa continuo de la ''n'' -esfera al ''n'' -espacio euclidiano identifica al menos un par de puntos antipodales.
* Todo subgrupo de un [[grupo libre]] es libre. Este resultado es bastante interesante, porque el enunciado es puramente algebraico, pero la prueba más sencilla que se conoce es topológica. A saber, cualquier grupo libre ''G'' puede ser realizado como el grupo fundamental de un [[grafo]] ''X''. El teorema principal sobre [[espacios de cobertura]] nos dice que cada subgrupo ''H'' de ''G'' es el grupo fundamental de algún espacio de cobertura ''Y'' de ''X''; pero cada ''Y'' es de nuevo un grafo. Por tanto, su grupo fundamental ''H'' es libre. Por otra parte, este tipo de aplicación también se maneja de manera más sencilla mediante el uso de morfismos de cobertura de [[Grupoide| groupoides]], y esa técnica ha dado lugar a teoremas de subgrupos que aún no se han demostrado por métodos de topología algebraica; véase {{harvtxt|Higgins|1971}}.
* [[Combinatoria topológica]].

== Herramientas importantes ==

Las herramientas importantes (como teoremas fundamentales) para el cálculo de invariantes de esta teoría son:
{{lista de columnas|2|
* [[Teorema de Seifert-van Kampen]]
* [[Sucesión de Mayer-Vietoris]]
*[[Teorema del punto fijo de Brouwer]]
*[[Teorema de aproximación celular]]
*[[Teorema de Dold-Thom]]
*[[Teorema de Eilenberg-Ganea]]
*[[Teorema de Eilenberg-Zilber]]
*[[Teorema de la suspensión de Freudenthal]]
*[[Teorema de Hurewicz]]
*[[Teorema de Künneth]]
*[[Teorema del punto fijo de Lefschetz]]
*[[Teorema de Leray-Hirsch]]
*[[Dualidad de Poincaré|Teorema de dualidad de Poincaré]]
*[[Teorema de Seifert-van Kampen]]
*[[Teorema del coeficiente universal]]
*[[Teorema de Whitehead]]
}}

== Véase también ==

* [[Homeomorfismo]]
* [[Topología geométrica]]
* [[Teoría geométrica de grupos]]
==Referencias==
{{listaref}}
== Bibliografía ==
{{Commons category|Algebraic topology}}
{{Wikiquote}}
*{{citation |first=Dylan G. L. |last=Allegretti |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html |title=Simplicial Sets and van Kampen's Theorem |year=2008}} ''(Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).''
*{{citation |last=Bredon |first=Glen E. |author-link=Glen Bredon|title=Topology and Geometry |year=1993 |publisher=Springer |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=139 |url=https://books.google.com/books?id=G74V6UzL_PUC |isbn=0-387-97926-3}}.
*{{citation |first=R. |last=Brown |author-link=Ronald Brown (mathematician) |url=http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.html |title=Higher dimensional group theory |year=2007 |fechaacceso=21 de abril de 2023 |fechaarchivo=14 de mayo de 2016 |urlarchivo=http://arquivo.pt/wayback/20160514115207/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.html |deadurl=yes}} ''(Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids)''.
*{{citation |first1=R. |last1=Brown |first2=A. |last2=Razak |title=A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces |journal=Arch. Math. |volume=42 |pages=85–88 |year=1984 |doi=10.1007/BF01198133 |s2cid=122228464}}. "Gives a general theorem on the [[fundamental groupoid]] with a set of base points of a space which is the union of open sets."
*{{citation |first1=R. |last1=Brown |first2=K. |last2=Hardie |first3=H. |last3=Kamps |first4=T. |last4=Porter |title=The homotopy double groupoid of a Hausdorff space |journal=Theory Appl. Categories |volume=10 |issue=2 |pages=71–93 |year=2002 |url=http://www.emis.de/journals/TAC/volumes/10/2/10-02abs.html}}.
*{{citation |first1=R. |last1=Brown |first2=P.J. |last2=Higgins |title=On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces |journal=Proc. London Math. Soc. |volume=S3-36 |issue= 2|pages=193–212 |year=1978 |doi=10.1112/plms/s3-36.2.193}}. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem." 
*{{citation |first1=Ronald |last1=Brown |first2=Philip J. |last2=Higgins |first3=Rafael |last3=Sivera |title=Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids |url=http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |year=2011 |publisher=European Mathematical Society |isbn=978-3-03719-083-8 |series=European Mathematical Society Tracts in Mathematics |volume=15|archive-url=https://web.archive.org/web/20090604050453/http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |archive-date=2009-06-04 |arxiv=math/0407275 }} This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in [[singular homology]], or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on [[crossed module]]s.
* {{ citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading}}
*{{citation |author-link1=Marvin Greenberg |last1=Greenberg |first1=Marvin J. |first2=John R. |last2=Harper |title=Algebraic Topology: A First Course, Revised edition |year=1981 |publisher=Westview/Perseus |series=Mathematics Lecture Note Series |isbn=9780805335576 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/algebraictopolog00gree_0}}. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper. 
*{{citation| last=Hatcher |first= Allen |author-link=Allen Hatcher| title=Algebraic Topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |year= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |isbn=0-521-79540-0}}. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
*{{citation |first=Philip J. |last=Higgins |title=Notes on categories and groupoids |url=https://books.google.com/books?id=IqdIAAAAMAAJ |year=1971 |publisher=Van Nostrand Reinhold |isbn=9780442034061}}
*{{citation| last=Maunder |first=C. R. F. |title=Algebraic Topology |year=1970 |publisher= Van Nostrand Reinhold |place=London |isbn=0-486-69131-4}}.
*{{citation |author-link=Tammo tom Dieck |first=Tammo |last=tom Dieck |title=Algebraic Topology |url=https://books.google.com/books?id=ruSqmB7LWOcC |year=2008 |publisher=European Mathematical Society |isbn=978-3-03719-048-7 |series=EMS Textbooks in Mathematics}}
* {{citation|first=Egbert|last= van Kampen|author-link=Egbert van Kampen| title=On the connection between the fundamental groups of some related spaces| journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume= 55 |year=1933 |issue= 1|pages=261–7 |jstor=51000091}}

== Enlaces externos ==
* El libro de Allen Hatcher: ''Algebraic Topology'', se puede descargar libremente en los formatos de PDF y [[PostScript]]: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
* [http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Topalg.pdf Libro completo en PDF de Carlos Ivorra] {{Wayback|url=http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Topalg.pdf |date=20160803235547}}

{{Control de autoridades}}
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