Ver el código de «Topología cociente»

[[Archivo:Disk_to_Sphere_using_Quotient_Space.gif|thumb|Ilustración de un espacio cociente, [[3-esfera#n-esferas|''S''<sup>2</sup>]], obtenida por ''pegado'' del contorno (en azul) del [[Disco (topología)|disco]] ''D''<sup>2</sup> a un solo punto.]]

En [[matemáticas]], la '''topología cociente''' consiste intuitivamente en crear una [[topología]] ''pegando'' ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una [[relación de equivalencia]] bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de '''espacio cociente'''. Ejemplos conocidos son el [[Toro (matemáticas)|toro matemático]] o la [[banda de Möbius]].

== Definición ==

Sean <math>(X, \mathcal{T}_X)\ </math> un [[espacio topológico]] y <math>\sim\,</math> una [[relación de equivalencia]] sobre <math>X\ </math>. El [[conjunto cociente]] <math>Y = X/{\sim}\,</math> es el conjunto de [[clases de equivalencia]] de los elementos de <math>X\ </math>:

:<math>Y = \{[x]: x \in X\}.</math>

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada '''topología cociente''' sobre <math>Y</math> son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en <math>X</math>: 
:<math>\mathcal{T}_\sim = \{ U \subseteq Y : \bigcup_{[x]\in U} [x]\in \mathcal{T}_X\}.</math>

'''Definición equivalente:''' sea la aplicación proyección <math>p:X \rightarrow X/{\sim}</math> dada por <math>p(x) = [x]</math>, se definen los abiertos de <math>\mathcal{T}_\sim</math> como los conjuntos <math>U \subseteq X/{\sim}
</math> tales que <math>p^{-1}(U)\subseteq X</math> es abierto. Es decir, un conjunto de clases de equivalencia es abierto si los elementos que las forman son un conjunto abierto de la topología original. 

{{Demostración|<math> (1) </math> <math> \empty\in\mathcal{T}_\sim </math> ya que <math> p^{-1}(\empty)=\empty </math>, que es un abierto de <math>\mathcal{T}_X </math> por definición de topología.

<math> (2) </math> <math> X/{\sim}\in\mathcal{T}_\sim </math> ya que <math>p^{-1}(X/{\sim})=X </math>, que es un abierto de <math> \mathcal{T}_X </math> por definición de topología.

<math> (3) </math> Dados <math>\{U_i\}_{i\in I} </math> abiertos de <math> X/{\sim} </math>, tenemos que <math> p^{-1}(U_i) \in \mathcal{T}_X \quad\forall i\in I </math> por definición de topología cociente. Por ser <math> \mathcal{T}_X </math> topología, <math> \bigcup_{i\in I}{p^{-1} (U_i)}\in\mathcal{T}_X </math>, pero <math>\bigcup_{i\in I}{p^{-1} (U_i)} = p^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}{U_i}\right) \Rightarrow \bigcup_{i\in I}{U_i}\in\mathcal{T}_\sim </math>.

<math> (4) </math> Dados <math>\{U_i\}_{i = 1}^n </math> abiertos de <math> X/{\sim} </math>, tenemos que <math> p^{-1}(U_i) \in \mathcal{T}_X \quad\forall i=1,\dots , n </math> por definición de topología cociente. Por ser <math> \mathcal{T}_X </math> topología, <math> \bigcap_{i=1}^n {p^{-1} (U_i)}\in\mathcal{T}_X </math>, pero <math>\bigcap_{i=1}^n{p^{-1} (U_i)} = p^{-1}\left(\bigcap_{i=1}^n{U_i}\right) \Rightarrow \bigcap_{i=1}^n{U_i}\in\mathcal{T}_\sim </math>.|título=<math> \mathcal{T}_\sim </math> es, en efecto, una topología. (Según la definición equivalente)}}

== Propiedades ==

*La aplicación [[proyección al cociente]] <math>p:X \rightarrow X/{\sim} </math> que envía a cada elemento a su clase de equivalencia correspondiente es continua<ref name="mtf">{{cita publicación |apellidos=Llopis |nombre=José L. |título=Espacio topológico cociente |url=https://www.matesfacil.com/topologia/cociente/espacio-topologico-cociente-ejemplos-toro-cinta-banda-M%c3%b6bius-proposicion-demostracion-homeomorfismo.html |issn=2659-8442 |fechaacceso= 18 de septiembre de 2019 |idioma=castellano |publicación = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref>y la topología cociente es la [[Comparación de topologías|más fina]] que se puede definir en <math>X/{\sim}</math> que cumple esto. Es decir, la topología cociente es la [[topología final]] respecto a la proyección al cociente.{{Demostración|Claramente, la topología cociente hace la proyección al cociente continua. En efecto, para ver que es continua, tomamos <math> U\subseteq X/{\sim}</math> abierto y vemos que su antiimagen por <math> p </math> es abierta de <math> X </math>. Pero por ser <math> U </math> abierto de la topología cociente, por definición, <math> p^{-1}(U)\subseteq X </math> es un abierto, que es lo que queríamos.

Que es la más fina que lo cumple también es inmediato por definición. Si <math>\mathcal{T} </math> es una topología de <math> X/{\sim} </math> más fina que <math> \mathcal{T}_\sim </math>, por definición, necesariamente tiene un abierto <math> U\subseteq X/{\sim} </math> con <math> p^{-1}(U) </math> no abierto de <math> X </math>, y esto contradice la definición de continuidad.}}
*Sean <math>p\colon X\to X/{\sim}</math> la proyección al cociente y <math>f \colon X/{\sim}\to Y</math> una aplicación. Entonces, la aplicación <math>f</math> es continua si, y sólo si, la [[composición de funciones|composición]] <math>f \circ p \colon X \overset{p}{\to} X/{\sim}\overset{f}{\to} Y</math> es continua.<ref name="mtf"></ref>{{Demostración|<math>(\Rightarrow) </math> Como <math>f </math> es continua por hipótesis y ya se ha demostrado que <math> p </math> es continua, <math> f \circ p </math> es continua por ser composición de aplicaciones continuas.

<math>(\Leftarrow) </math> Sea <math> U\subseteq Y </math> abierto y veamos que su antiimagen por <math> f </math>, <math> f^{-1}(U) </math>, es un abierto de <math> X/{\sim} </math>. Esto es equivalente, por definición de topología cociente, a ver que <math> p^{-1}(f^{-1}(U)) = (f\circ p)^{-1}(U) </math> es un abierto de <math> X </math>, pero esto es cierto por ser <math> f \circ p </math> continua, por hipótesis. <math> \quad\square </math>}}
* La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, T) y cualquier función g:(Y, <math>T_f</math>) <math> \rightarrow  </math> (Z, T) se tiene que g es [[continua]] si y sólo si <math>g \circ f</math> es [[continua]]

== Ejemplos ==
En los siguientes ejemplos los [[Homeomorfismo|homeomorfismos]] se construyen primero deformando el espacio cociente sin tener en cuenta la relación de equivalencia (cortándola) y después pegando los trozos que estaban relacionados. Es decir, estamos admitiendo que podemos construir un homeomorfismo entre dos espacios cociente a partir de uno entre los espacios originales siempre y cuando los elementos relacionados antes y después del homeomorfismo sean los mismos. Este resultado, que justifica que las construcciones siguientes son correctas, se conoce como lema de cortar y pegar, y se demuestra a continuación
{{Demostración|<math> (1) </math> Está bien definida: sean <math> x\sim_X x' </math> y veamos que la imagen por <math> f_\sim </math> de su clase de equivalencia <math>[x]_X </math> no depende de cuál tomemos como representante.

En efecto, <math> x \sim_X x' \overset{\text{Hipótesis} }{\Rightarrow} f(x)\sim_Y f(x')\Rightarrow [f(x)]_Y=[f(x')]_Y </math>, que es lo que queríamos.

<math> (2) </math> <math> f </math> es exhaustiva: Sea <math>[y]_Y\in Y/{\sim_Y} </math>, con representante <math> y </math>. Como <math> f </math> es homeomorfismo y, en particular, exhaustiva, <math> \exists x \in X </math> tal que <math> f(x) = y </math>. Pero entonces <math>[y]_Y=[f(x)]_Y=f_{\sim}([x]_X) </math> y tenemos una antiimagen <math>[x]_X </math> de <math> [y]_Y </math>.

<math> (3) </math> <math> f </math> es inyectiva: Supongamos que <math> f_\sim([x]_X)=f_\sim([x']_X) </math> y veamos que <math>[x]_X = [x']_X </math>. En efecto, <math>f_\sim([x]_X)=f_\sim([x']_X) \Rightarrow [f(x)]_Y=[f(x')]_Y\Rightarrow f(x)\sim_Y f(x') \overset{\text{Hipótesis} }{\Rightarrow} x\sim_X x' \Rightarrow [x]_X = [x']_X </math>.

<math> (4) </math> <math> f </math> es continua. Sean <math> \pi_X , \pi_Y </math> las proyecciones a <math> X/{\sim_X}, Y/{\sim_Y} </math>, respectivamente. Tenemos que <math> \pi_Y\circ f = f_\sim \circ \pi_X </math>:

En efecto, dado <math> x\in X </math>, <math> \pi_Y(f(x))=[f(x)]_Y \overset{\text{def} }{=} f_\sim([x]_X) = f_\sim(\pi_X(x)) </math>. Pero <math> f </math> es continua por ser homeomorfismo y <math> \pi_Y </math> por ser una proyección al cociente. Por tanto, también lo es la composición <math> \pi_Y\circ f = f_\sim \circ \pi_X </math>, pero por la segunda propiedad del apartado de propiedades esto quiere decir que <math> f_\sim </math> es continua.

<math> (5) </math> <math> f^{-1} </math> es continua. La demostración es la misma que <math> (4) </math> pero heredando continuidad de <math> f^{-1} </math> (continua por ser <math> f </math> homeomorfismo). <math>\quad\square </math>|título=Lema de cortar y pegar: Sea <math> f\colon X\to Y</math> un homeomorfismo y <math> \sim_X , \sim_Y </math> relaciones de equivalencia en <math> X </math> e <math> Y </math>, respectivamente, que satisfacen que <math> x\sim_X x' \Leftrightarrow f(x)\sim_Y f(x')\quad \forall x,x'\in X </math>.

Entonces, la aplicación <math> f_\sim \colon X/{\sim_X}\to Y/{\sim_Y} </math> dada por <math> [x]_X \mapsto f_\sim([x]_X)=[f(x)]_Y </math> está bien definida y es un homeomorfismo.}}
*El [[toro (geometría)|toro]] como conjunto cociente:<ref name="mtf"></ref> Sobre <math>I^2 = [0,1]\times [0,1]</math> se define la relación de equivalencia <math>(x,0)\sim (x,1)</math> y <math>(0,y)\sim (1,y)\quad \forall x,y\in[0,1]</math>. El espacio cociente <math>I^2 /{\sim}</math> es homeomorfo a un toro.
:[[Image:Construccion Toro.png|center|Toro]]
*La [[banda de Möbius]] como conjunto cociente:<ref name="mtf"></ref> Sobre <math>I^2</math> se define la relación de equivalencia <math>(0,y)\sim (1,1-y)\quad\forall y\in[0,1]</math>. El espacio cociente <math>I^2 /{\sim}</math> es homeomorfo a una banda de Möbius.
:[[Image:Möbius2.png|center|Banda de Möbius]]
*La [[botella de Klein]] como conjunto cociente:<ref>{{cita publicación |apellidos=A. Stolz |nombre=Stephan |título=Algebraic Topology |url=https://www3.nd.edu/~stolz/2016S_Math60440/Alg_Top_2016.pdf |fechaacceso= 18 de septiembre de 2019 |idioma=inglés}}</ref> Sobre <math>I^2</math> se define la relación de equivalencia  <math>(x,0)\sim (x,1)</math> y <math>(0,y)\sim (1,1-y)\quad \forall x,y\in[0,1]</math>. El espacio cociente <math>I^2 /{\sim}</math> es homeomorfo a una botella de Klein (es difícil de visualizar puesto que no es homeomorfo a un subespacio de <math>\mathbb{R}^3</math>).
:
<gallery |="" align="center" widths="100" perrow="7">
Archivo:Klein Bottle Folding 1.svg|vínculo=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Klein_Bottle_Folding_1.svg
Archivo:Klein Bottle Folding 2.svg|vínculo=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Klein_Bottle_Folding_2.svg
Archivo:Klein Bottle Folding 3.svg|vínculo=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Klein_Bottle_Folding_3.svg
Archivo:Klein Bottle Folding 4.svg|vínculo=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Klein_Bottle_Folding_4.svg
Archivo:Klein Bottle Folding 5.svg|vínculo=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Klein_Bottle_Folding_5.svg
Archivo:Klein Bottle Folding 6.svg|vínculo=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Klein_Bottle_Folding_6.svg
Archivo:Klein bottle.svg
</gallery>
*La [[esfera]] como conjunto cociente:<ref>{{cita publicación |nombre=Chen Hui George Teo |título=Classification of surfaces |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Teo.pdf |fechaacceso= 18 de septiembre de 2019 |idioma=inglés}}</ref> Sobre <math>\{(x,y):|x|+|y| \leq 1\}</math> (cuadrado de vértices <math>(1,0), (0,1), (-1,0),(0,-1)</math>) se define la relación de equivalencia <math>(x,y)\sim (-x,y)</math> para <math>(x,y)</math> de la [[frontera (topología)|frontera]]. El espacio cociente correspondiente es homeomorfo a una esfera.

== Referencias == 
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general" primera edición Universidad de Sonora.
* {{MathWorld|título=Espacio cociente|QuotientSpace}}
* {{PlanetMath|id=2930|título=Quotient space}}
* {{Springer|título=Espacio cociente|id=Quotient_space&oldid=11882}}

== Enlaces externos ==
* {{cita web |url=http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/topologia08-09/tema7.pdf |título=Capítulo 7. espacios cocientes |fechaacceso=30 de abril de 2011 |apellido=López Camino |nombre=Rafael |formato=PDF |ubicación=Universidad de Granada |idioma=castellano |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20110814073233/http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/topologia08-09/tema7.pdf |fechaarchivo=14 de agosto de 2011 }}

{{wikilibros|Espacios Métricos/Productos y Cocientes}} incluyendo un capítulo sobre espacios cocientes.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Topología]]
[[Categoría:Teoría de funciones continuas]]