Ver el código de «Toro (geometría)»

[[Archivo:Tesseract_torus.png|miniaturadeimagen|Un toro anular con una selección de círculos en su superficie]]
[[Archivo:Ring_Torus_to_Degenerate_Torus_(Short).gif|miniaturadeimagen|A medida que disminuye la distancia al eje de revolución, el toroide anular se convierte en un toroide de cuerno, luego en un toroide de huso y, finalmente, degenera en una esfera de doble cubierta.]]
{{multiple image
 | direction = horizontal
 | width     = 100
 | footer    = Mitades inferiores y secciones longitudinales de las tres clases de toro.
 | image1    = Standard_torus-ring.png
 | alt1      = ring
 | caption1  = R > r:<br /> Toro de anillo
 | image2    = Standard_torus-horn.png
 | alt2      = horn
 | caption2  = R = r:<br /> Toro de cuerno
 | image3    = Standard_torus-spindle.png
 | alt3      = spindle
 | caption3  = R < r:<br /> Toro de huso
}}
[[Archivo:Torus unfolding.gif|thumb|Desarrollo de un toro.]]
[[Archivo:Torus_cycles.svg|derecha|miniaturadeimagen|Un toroide anular con relación de aspecto 3, la relación entre los diámetros del círculo mayor (magenta) y el menor (rojo).]]
En [[geometría]], un '''toro''' es un tipo concreto de '''[[toroide]]''' cuya [[superficie de revolución]] es generada por una [[circunferencia]] que gira alrededor de una [[recta]] exterior [[Coplanaridad|coplanaria]] (en su plano y que no la corta)<ref>{{DRAE|toro}}</ref> o, llanamente, la superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del [[latín]] ''torus'', que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín ''sterno'' y griego στορέννυμι, romanizado ''storénnymi'') y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base, con forma de hogaza de pan.<ref>{{MathWorld|Torus|Torus}}</ref> Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: una [[rosquilla]], una cámara de neumático, etc.

== Geometría ==
[[Archivo:Sección del toro.svg|thumb|Representación del toro en el [[sistema diédrico]].]]
Geométricamente, se define el ''toro'' como el subespacio de <math>\R^3</math> definido por las [[ecuación paramétrica|ecuaciones paramétricas]]
:<math>
\begin{cases}
x = \cos \theta \cdot(R + r \cos \varphi)\\
y = \sen \theta \cdot(R + r \cos \varphi)\\
z = r \sen \varphi
\end{cases}
</math>

donde <math>R</math> es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, <math>r</math> es el radio del conducto, ambas constantes con <math>r<R</math> y donde <math>\theta, \varphi \in [0,2\pi)</math> son ángulos que determinan el círculo completo. Puede demostrarse mediante el uso de [[Carta (matemática)|cartas]] que el toro es una [[Geometría diferencial de superficies|superficie regular]].
 
La ecuación en [[coordenadas cartesianas]] de un toro cuyo eje es el eje ''z'' es
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2</math>

La superficie ''A'' y el volumen ''V'' del toro pueden hallarse empleando el [[Teorema del centroide de Pappus|teorema de Papus de Alejandría]]. Los resultados son:
:<math>A = 4\pi^2 Rr \,</math>
                                 
:<math>V = 2\pi^2Rr^2 \,</math>, donde <math>R</math> es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y <math>r</math> es el radio de dicha sección.
:<math>A = \pi^2 Dd \,</math>

:<math>V = \frac{1}{4}\pi^2Dd^2 \,</math> usando los respectivos diámetros :<math>D =2R, d=2r </math>

== Topología ==

[[Archivo:torus cycles.png|thumb|Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos [[circunferencia]]s, <math>\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1</math>.]]
[[Topología|Topológicamente]], el toro, que denotamos por <math>\mathbb{T}^2</math>, es el [[espacio topológico]] definido como el [[producto cartesiano]] de dos [[circunferencia]]s con la [[topología|topología producto]], esto es <math>\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1</math>. Se puede comprobar que este espacio resulta ser una [[Superficie (topología)|superficie]], y que además esta resulta ser [[Superficie (topología)#Superficies cerradas|cerrada]]. En topología hablamos de «el» toro y «un» toro de forma intercambiable, al igual que suele hacerse con espacios topológicos cotidianos; pues consideramos que siempre que estemos hablando de un espacio [[Homeomorfismo|homeomorfo]] a <math>\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1</math>, estaremos hablando del toro. Es por tanto importante notar que, salvo homeomorfismo, existen varias formas distintas y equivalentes de definir el toro. Se cumple por supuesto que el toro definido geométricamente (definido por ecuaciones paramétricas), entendido como [[subespacio topológico]] de <math>\R^3</math>, es homeomorfo a <math>\mathbb{T}^2</math>.

Además, puede obtiene gracias al [[Superficie (topología)#Teorema de clasificación de superficies cerradas|teorema de clasificación de superficies cerradas]], que el toro <math>\mathbb{T}^2</math> es la ''superficie cerrada [[Orientabilidad|orientable]] de género 1'', por lo que es un superficie de notable importancia en la topología.

El toro puede también describirse como un [[espacio cociente|cociente]] del [[plano euclidiano|plano euclídeo]] bajo la identificación

<math>(x, y) \sim (x+1,\ y) \sim (x,\  y+1)</math>

También equivalentemente, el toro puede ser definido como el cociente del [[cuadrado]] unidad (esto es la región convexa del plano <math>\R^2</math> con vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1)) generado mediante una identificación específica de los bordes opuestos. Esta identificación es, descrita como su [[polígono fundamental]], <math>ABA^{-1}B^{-1}</math>.

El [[grupo fundamental]] del toro es, por las propiedades del grupo fundamental, precisamente el [[producto directo]] del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma, es decir, se tiene:
:<math>\pi_1(\mathbb{T}^2) \cong \pi_1(\mathbb{S}^1) \times \pi_1(\mathbb{S}^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>.

Intuitivamente, el que este grupo sea [[Grupo abeliano|abeliano]] significa que un ''[[Grupo fundamental#Lazo|lazo]]'' que rodea primero el «agujero» y luego el «cuerpo» del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que recorra primero el «cuerpo» y luego el «agujero». Es decir, los caminos estrictamente ''meridionales'' y estrictamente ''longitudinales'' participan en operaciones conmutativas.

El primer [[Grupo de homologia|grupo de homología]] del toro es [[isomorfismo|isomorfo]] a su grupo fundamental; puesto que dicho grupo fundamental es [[grupo abeliano|abeliano]].

Análogamente al toro, se define el ''toro sólido'' como el espacio topológico [[3-variedad|tridimensional]] obtenido mediante el producto cartesiano de un [[Disco (topología)|disco]] y una [[circunferencia]]: <math>D ^2\times \mathbb{S}^1</math>.

==Toro plano==
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|En tres dimensiones, se puede doblar un rectángulo hasta formar un toro, pero al hacerlo normalmente se estira la superficie, como se ve por la distorsión del patrón de cuadros]]
[[File:Duocylinder ridge animated.gif|thumb|Visto en [[proyección estereográfica]], un ''toro plano'' en 4D se puede proyectar en 3 dimensiones y girar sobre un eje fijo]]
[[File:Toroidal monohedron.png|thumb|El mosaico más simple de un toro plano es [[Mapa regular (teoría de grafos)|{4,4}<sub>1,0</sub>]], construido sobre la superficie de un [[duocilindro]] con 1 vértice, 2 aristas ortogonales y una cara cuadrada. Se ve aquí proyectado estereográficamente en el espacio tridimensional como un toroide]]

Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como [[Espacio cociente (topología)|cociente]], <math>\mathbb{R}^{2}</math>/'''L''', donde '''L''' es un subgrupo discreto de <math>\mathbb{R}^{2}</math> isomorfo a <math>\mathbb{Z}^{2}</math>. Esto le da al cociente la estructura de una [[variedad de Riemann]]. Quizás el ejemplo más simple de esto sea cuando {{nowrap|1='''L'''=  <math>\mathbb{Z}^{2}</math>}}: <math>\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}</math>, que también puede describirse como un sistema de [[coordenadas cartesianas]] bajo las identificaciones {{nowrap|(''x'', ''y'') ~ (''x'' + 1, ''y'') ~ (''x'', ''y'' + 1)}}. Este toro plano en particular (y cualquier versión del mismo con escala uniforme) se conoce como ''toro plano cuadrado''.

Esta métrica del toro cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2-toro en espacios euclídeos de 4 o más dimensiones. Su superficie tiene [[curvatura de Gauss]] cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel hasta formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar hasta formar un toro sin estirar el papel (a menos que se abandonen algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, véase más abajo).

Un embebido euclídeo simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es el siguiente:

:<math>(x,y,z,w)= (R\cos u, R\sin u, P\cos v, P\sin v)</math>

donde ''R'' y ''P'' son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es [[Difeomorfismo|difeomórfico]] para un toro normal, pero no [[Isometría|isométrico]]. No se puede incrustar [[Función analítica|analíticamente]] (mediante una función [[Función infinitamente diferenciable|suave]] de clase {{nowrap|''C<sup>k</sup>'', 2 ≤ ''k'' ≤ ∞}}) en el espacio tridimensional euclidiano. Una aplicación en el espacio tridimensional requiere que la figura se estire, en cuyo caso se parece a un toroide normal. Por ejemplo, en la siguiente aplicación:

:<math>(x,y,z)= ((R+P\sin v)\cos u, (R+P\sin v)\sin u, P\cos v).</math>

Si ''R'' y ''P'' en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario {{nowrap|1=(''R'', ''P'')= (cos(''η''), sin(''η''))}}, entonces ''u'', ''v'' y 0 < ''η'' < π/2 parametrizan la 3-esfera unidad como un sistema de [[3-esfera|coordenadas de Hopf]]. En particular, para ciertas opciones muy específicas de un toro plano cuadrado en la [[3-esfera]] ''S''<sup>3</sup>, donde {{nowrap|1=''η''= π/4}} como arriba, el toro dividirá la 3-esfera en dos subconjuntos de toros sólidos [[Congruencia (geometría)|congruentes]] con la superficie del toro plano antes mencionada como su [[Frontera (topología)|frontera]] común. Un ejemplo es el toro '''T''' definido por

:<math>T= \left\{(x,y,z,w) \in \mathbb{S}^3 \mid x^2+y^2= \frac 1 2, \ z^2+w^2= \frac 1 2 \right\}.</math>

Otros toros en ''S''<sup>3</sup> que tienen esta propiedad de partición incluyen los toros cuadrados de la forma ''Q''⋅''T''', donde ''Q'' es una rotación del espacio de 4 dimensiones <math>\mathbb{R}^{4}</math>, o en otras palabras, ''Q'' es miembro del grupo de Lie SO(4).

Se sabe que no existe ninguna incrustación ''C''<sup>2</sup> (dos veces diferenciable continuamente) de un toro plano en el 3-espacio (la idea de la demostración es tomar una esfera grande que contenga un toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez). Tal punto de contacto debe ser una tangencia. Pero eso implicaría que parte del toro, dado que tiene curvatura cero en todas partes, debe quedar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción. Por otro lado, según el [[Teorema de inmersión de Nash|teorema de Nash-Kuiper]], que fue probado en la década de 1950, existe un embebido isométrico ''C''<sup>1</sup>. Esto es únicamente una prueba de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para dicha incorporación.

En abril de 2012, se encontró un embebido explícito ''C''<sup>1</sup> (continuamente diferenciable) de un toro plano en el espacio euclídeo tridimensional <math>\mathbb{R}^{3}</math>.<ref>{{cite journal|last=Filippelli|first=Gianluigi|date=2012-04-27|title=Doc Madhattan: A flat torus in three dimensional space|url=http://docmadhattan.fieldofscience.com/2012/04/flat-torus-in-three-dimensional-space.html|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=109|issue=19|pages=7218–7223|doi=10.1073/pnas.1118478109|pmc=3358891|pmid=22523238|archive-url=https://web.archive.org/web/20120625222341/http://docmadhattan.fieldofscience.com/2012/04/flat-torus-in-three-dimensional-space.html|archive-date=2012-06-25|access-date=2012-07-21}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sci-news.com/othersciences/mathematics/article00279.html|title=Mathematicians Produce First-Ever Image of Flat Torus in 3D {{pipe}} Mathematics|last=Enrico de Lazaro|date=2012-04-18|website=Sci-News.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20120601021059/http://www.sci-news.com/othersciences/mathematics/article00279.html|archive-date=2012-06-01|access-date=2012-07-21}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www2.cnrs.fr/en/2027.htm|title=Mathematics: first-ever image of a flat torus in 3D – CNRS Web site – CNRS|archive-url=https://web.archive.org/web/20120705120058/http://www2.cnrs.fr/en/2027.htm|archive-date=2012-07-05|access-date=2012-07-21}}</ref><ref>{{cite web|url=http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hevea/Presse/index-en.html|title=Flat tori finally visualized!|publisher=Math.univ-lyon1.fr|date=2012-04-18|access-date=2012-07-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20120618084643/http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hevea/Presse/index-en.html|archive-date=2012-06-18}}</ref> Es un toro plano en el sentido de que, como espacios métricos, es isométrico a un toro cuadrado plano. Tiene una estructura similar a un [[fractal]], ya que se construye corrugando repetidamente un toro común. Al igual que los fractales, no tiene una curvatura gaussiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, tiene definidas las [[Normal (geometría)|normales a la supoerficie]], lo que produce el llamado "fractal suave". La clave para obtener la suavidad de este toro corrugado es hacer que las amplitudes de las corrugaciones sucesivas disminuyan más rápido que sus "longitudes de onda".<ref>{{cite web|url=http://www.science4all.org/article/flat-torus/|title=The Tortuous Geometry of the Flat Torus|last=Hoang|first=Lê Nguyên|date=2016|website=Science4All|access-date=2022-11-01}}</ref> Estas corrugaciones infinitamente recursivas se utilizan solo para incrustaciones en tres dimensiones, y no son una característica intrínseca del toro plano. Esta es la primera vez que dicha incrustación se define mediante ecuaciones explícitas o se representa mediante gráficos por computadora.

===Clasificación conforme de toro plano===

En el estudio de [[Superficie de Riemann|superficies de Riemann]], se dice que dos superficies geométricas compactas y lisas son "conformemente equivalentes" cuando existe un homeomorfismo suave entre ellas que preserva el ángulo y la orientación. El teorema de uniformización garantiza que cada superficie de Riemann es conformemente equivalente a una que tiene curvatura gaussiana constante. En el caso de un toro, la curvatura constante debe ser cero. Luego se define el "espacio de módulos" del toro para que contenga un punto para cada clase de equivalencia conforme, con la topología adecuada. Resulta que este espacio de módulos ''M'' puede identificarse con una esfera perforada que es lisa excepto por dos puntos que tienen un ángulo menor que 2π (radianes) a su alrededor: uno tiene π y el otro tiene 2π/3.

''M'' puede convertirse en un espacio compacto ''M*'' añadiendo un punto adicional que represente el caso límite cuando un toro rectangular se aproxima a una relación de aspecto de 0 en el límite. El resultado es que este espacio de módulos compactado es una esfera con «tres picos», cada uno de los cuales tiene un ángulo inferior a 2π alrededor de ellos (dichos «picos» se denominan ''cúspides''). Este punto adicional tendrá un ángulo cero a su alrededor. Debido a la simetría, ''M*'' se puede construir pegando dos triángulos geodésicos congruentes en el plano hiperbólico en sus límites (idénticos), donde cada triángulo tiene ángulos de π/2, π/3 y 0. Como resultado, el área de cada triángulo se puede calcular como π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, por lo que se deduce que el espacio de módulos compactados ''M*'' tiene un área igual a π/3.

Las otras dos cúspides se localizan en los puntos correspondientes en ''M*'' a a) el toro cuadrado (π) y b) el toro hexagonal (2π/3). Estas son las únicas clases de equivalencia conforme de toros planos que tienen automorfismos conformes distintos de los generados por traslaciones y negación.

== El toro ''n'' dimensional ==

Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un '''toro ''n'' dimensional''' o más comúnmente '''''n''-toro''', denotado por <math>\mathbb{T}^n</math>, se define como el producto de ''n'' circunferencias:
:<math>\mathbb{T}^n = \mathbb{S}^1 \times \stackrel{(n)}{\cdots} \times \mathbb{S}^1 </math>.

* El 1-toro es precisamente la circunferencia, <math>\mathbb{S}^1</math>. 
* El toro usual, <math>\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1</math>, correspondería al 2-toro.
* El 3-toro puede considerarse como <math>\mathbb{T}^2\times \mathbb{S}^1</math>, esto es como el [[producto cartesiano]] del toro usual por la circunferencia.
* Generalizando, el ''n-''toro puede describirse como el cociente de <math>\R^n</math> con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.

El ''n''-toro es <math>\R^n</math> módulo la [[acción de grupo|acción]] del ''grupo enrejado'' <math>\Z^n</math> (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el ''n''-toro se obtiene a partir del ''n''-[[cubo]] pegando las caras opuestas.

Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un ''toro máximo''; es decir, un [[subgrupo]] cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.

El [[grupo fundamental]] del ''n''-toro es siempre un [[grupo abeliano libre]] de rango ''n''. El ''k''-ésimo [[Grupo de homologia|grupo de homología]] de un ''toro a la n'' es un grupo abeliano libre de rango <math>n\choose{k}</math>. De esto se deduce que la [[característica de Euler]] del ''n''-toro es 0 para cualquier ''n''. El ''anillo homológico'' <math>\text{H}^*( \mathbb{T}^n, \ \Z)</math> puede identificarse con el [[álgebra exterior]] sobre <math>\Z</math>-[[módulo (matemática)|módulo]] <math>\Z^n</math> cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia ''n''.

== Aplicaciones ==

=== Matemática ===

[[Archivo:Torus-with-seven-colours.png|thumb|Toro representado mediante la identificación de los bordes de un rectángulo. El toro obtenido tiene 7 colores en subrectánglos.]]
Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura.

Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el [[teorema de los cuatro colores]] se convierte en teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores.

=== Física ===

En [[magnetismo]], se enrolla una [[Inductor|bobina]] con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un [[campo magnético]] dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un [[Imán (física)|imán]]; se coloca un [[material ferromagnético]] en el entrehierro y se imprime una [[corriente eléctrica]] por la [[Inductor|bobina]]. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y este queda magnetizado, formando un [[Imán (física)|imán]].

Uno de los sistemas más promisorios para obtener electricidad a partir de la [[fusión nuclear]]  controlada se basa en el confinamiento magnético del [[plasma (estado de la materia)|plasma]] a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el [[tokamak]] o el [[Thorus]], también muchos [[acelerador de partículas|aceleradores de partículas]] recurren a una forma cuasi toroidal.

=== Óptica ===

En el campo de la óptica, se usa la [[lente tórica]] para corregir el [[astigmatismo]] tienen una superficie tórica, que presenta dos curvaturas en orientaciones perpendiculares entre sí.

=== Videojuegos ===

En el mundo de los [[Videojuego de estrategia|videojuegos de estrategia]] es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el [[norte]] reaparecen en el [[sur]], como si le hubiesen ''dado la vuelta al mundo''. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el [[oriente]], reaparecen en el [[occidente]] y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de [[mundo toroide]] por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudoimpresión de un mundo esférico aunque el terreno de juego este pensado como un plano rectangular.

== Galería ==

<gallery>
Archivo:Blue cut-torus.gif|Intersección de un toro y un [[Plano (geometría)|plano]].
Archivo:Villarceau circles.gif|Animación de un toro cortado por un plano, y creación de '''[[Círculos de Villarceau]]'''. Ver [[Vesica piscis]].
Archivo:Torus 3d.png|Ilustración de un toro con sus principales variables.
Archivo:Torus closed geodesic n1c.png|Una geodésica cerrada del toro.
</gallery>

== Véase también ==

{{Portal|Geometría}}
{{Portal|Matemáticas}}
* [[Toroide]]
* [[Toro de Clifford]]
* [[Corona circular]]
* [[Óvalo de Cassini]]
* [[Spira de Perseo]]
* [[Curva elíptica]]
* [[Período de enrejado]]
* [[Fibrado de Seifert]]

== Referencias ==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==

* {{cita libro | autor = Kozak, Ana María; Pompeya Pastorelli, Sonia; Verdanega, Pedro Emilio | título = Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal | edición = 2007 | editorial = McGraw-Hill | página = 744 | isbn = 9789701065969 }}
* Allen Hatcher. [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic topology]. [[Cambridge University Press]], 2002. ISBN 0-521-79540-0. (en inglés)
* V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3540152814, ISBN 9783540152811. (en inglés)

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Torus|Toro}}
{{Wikcionario|toro}}
* {{MathWorld|Torus|Torus}}
* [http://www.cut-the-knot.org/shortcut.shtml#torus Creation of a torus] ''( de Alexander Bogomolny [http://www.cut-the-knot.org/ Cut the Knot])'' — una animación en formato AVI.
* [http://www.mathsisfun.com/geometry/torus.html More Torus Images] (de [http://www.mathsisfun.com/ ''Math is Fun''])
* [http://www.geometrygames.org/TorusGames/index.html.es Torus Games] — juegos de descarga gratuita para Windows y Mac&nbsp;OS sobre la topología del toro.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Superficies]]
[[Categoría:Anillos]]
[[Categoría:Curvas algebraicas]]
[[Categoría:Superficie de Riemann]]
[[Categoría:Grupos de Lie]]