Ver el código de «Triángulo heroniano»

[[Archivo:Triángulos de Herón.svg|mini|300px|Ejemplo con dos triángulos de Herón: [base 6 y lados 5 (azul)] y [base 8 y lados 5 (verde)]. Ambos tienen 12 unidades de área y están basados en el triángulo pitagórico de lados (3,4,5)]]

En [[geometría]], un '''[[triángulo]] heroniano''' (también denominado '''triángulo de Herón''') se caracteriza porque las longitudes de sus lados y su [[área]] son todas [[número entero|números enteros]].<ref>{{citation |first1=John R. |last1=Carlson |title=Determination of Heronian Triangles |journal=Fibonacci Quarterly |volume=8 |pages=499–506 |year=1970 |url=http://www.fq.math.ca/Scanned/8-5/carlson-a.pdf |format=PDF}}</ref><ref>{{citation |first1=Raymond A. |last1=Beauregard |first2=E. R. |last2=Suryanarayan |title=The Brahmagupta Triangles |journal=College Math Journal |volume=29 |issue=1 |pages=13–17 |date=January 1998 |doi= 10.2307/2687630|url=http://www.maa.org/mathdl/CMJ/methodoflastresort.pdf |format=PDF}}
</ref> Deben su nombre al matemático helenístico del {{siglo|I||s}} [[Herón de Alejandría]]. El término a veces se aplica más ampliamente a triángulos cuyos lados y área son todos [[número racional|números racionales]].<ref>{{MathWorld |title=Heronian Triangle |id=HeronianTriangle}}</ref>
{{contenido|izquierda}}{{clear|right}}

==Propiedades==
Cualquier [[triángulo rectángulo]] cuyas longitudes de lado sean una [[terna pitagórica]] es un triángulo heroniano, ya que las longitudes laterales de dicho triángulo son [[número entero|números enteros]], y su área también lo es, y coincide con la mitad del producto de los dos lados más cortos del triángulo, al menos uno de los cuales debe ser par.

[[Imagen:Triangle-heronian.svg|thumb|right|Un triángulo con lados de longitudes ''c'', ''e'' y ''b''&nbsp;+&nbsp;''d'', y altura ''a''.]]
Un ejemplo de un triángulo heroniano que no está en ángulo recto es el [[triángulo isósceles]] con longitudes de lado 5, 5 y 6, cuya área es 12. Este triángulo se obtiene uniendo dos copias del triángulo rectángulo con lados 3, 4 y 5 por los lados de longitud 4. Este enfoque funciona en general, como se ilustra en la imagen adyacente. Se parte de una terna pitagórica (''a'', ''b'', ''c''), siendo ''c'' el más grande, y luego otra (''a'', ''d'', ''e''), con ''e'' siendo el lado más grande. Se construyen los triángulos con estas longitudes de lado, y se unen por los lados de longitud ''a'', para obtener un triángulo con longitudes laterales enteras ''c'', ''e'', y ''b''&nbsp;+&nbsp;''d'', y con área

: <math>A=\frac{1}{2}(b+d)a</math> (un medio del producto de la base por la altura).

Si ''a'' es par, el área ''A'' es un número entero. Menos obviamente, si ''a'' es impar, entonces ''A'' sigue siendo un número entero, ya que ''b'' y ''d'' deben ser pares, lo que hace que ''b'' + ''d'' también lo sea.

Algunos triángulos de Heron no se pueden obtener al unir dos triángulos en ángulo recto con lados enteros como se describió anteriormente. Por ejemplo, un triángulo heroniano de 5, 29, 30 con área 72 no se puede construir a partir de dos triángulos pitagóricos enteros, ya que ninguna de sus [[altura (triángulo)|alturas]] tienen valores enteros. Tampoco se puede construir un triángulo pitagórico primitivo a partir de dos triángulos pitagóricos enteros más pequeños.<ref name=Yiu>{{citation |first=Paul |last=Yiu |title=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles |url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf |year=2008 |publisher=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America }}</ref>{{rp|p.17}} Tales triángulos heronianos se conocen como "indescomponibles".<ref name=Yiu/> Sin embargo, si se permiten ternas pitagóricas con valores racionales, no necesariamente enteros, siempre existen triángulos rectángulos con lados racionales que se pueden desacomponer,<ref>{{citation |authorlink=Wacław Sierpiński |first=Wacław |last=Sierpiński |title=Pythagorean Triangles |url=https://books.google.com/books?id=6vOfpjmCd7sC |year=2003 |publisher=Dover Publications, Inc. |isbn=978-0-486-43278-6 |origyear=1962}}</ref> porque cada altura de un triángulo heroniano es racional (ya que equivale al doble del área entera dividida por la base entera). Entonces, el triángulo heroniano con lados 5, 29, 30 puede construirse a partir de triángulos pitagóricos racionales con lados 7/5, 24/5, 5 y 143/5, 24/5, 29. Obsérvese que un triple pitagórico con valores racionales es simplemente una versión escalada de una terna con valores enteros.

Otras propiedades de los triángulos heronianos son las siguientes:

* El perímetro de un triángulo heroniano siempre es un número par,<ref name=Friche>{{Cite journal |title=On Heron Simplices and Integer Embedding |last=Friche |first=Jan |publisher=Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication |date=2 de enero de 2002 |url=https://arxiv.org/pdf/math/0112239.pdf}}</ref> Así, cada triángulo heroniano tiene un número impar de lados de longitud par,<ref name=Buchholz1>{{cite journal |last=Buchholz  |first=R. H. |last2=MacDougall |first2=J. A. |title=Cyclic Polygons with Rational Sides and Area |cita = 10.1.1.169.6336 |year=2001 |page=3 |publisher=CiteSeerX Penn State University }}</ref>{{rp|p.3}} y cada triángulo primitivo heroniano tiene exactamente un lado par.
* El semiperímetro ''s'' de un triángulo heroniano con lados ''a'', ''b'' y ''c'' nunca puede ser primo. Esto se puede ver por el hecho de que ''s (s-a) (s-b) (s-c)'' tiene que ser un [[cuadrado perfecto]] y si ''s'' es un valor primo, entonces uno de los otros términos debe tener ''s'' como factor, pero esto es imposible ya que estos términos son todos menores que ''s''.
* El área de un triángulo heroniano siempre es divisible por 6.<ref name=Friche/>
* Todas las alturas de un triángulo heroniano son racionales.<ref name=Somos>Somos, M., "Rational triangles", http://somos.crg4.com/rattri.html {{Wayback|url=http://somos.crg4.com/rattri.html |date=20180604164115 }}</ref> Esto puede verse por el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de un lado multiplicada por su altura desde ese lado, y un triángulo heroniano tiene lados y área enteros. Algunos triángulos heronianos tienen tres alturas no enteras, por ejemplo, el agudo (15, 34, 35) con el área 252 y el obtuso (5, 29, 30) con el área 72. Cualquier triángulo heroniano con una o más alturas no enteras puede ser escalado por un factor que iguala el [[mínimo común múltiplo]] de los denominadores de las alturas para obtener un triángulo heroniano con tres alturas enteras [[Semejanza (geometría)|similar]].
* Los triángulos heronianos que no tienen una altura entera ([[Triángulo heroniano#Propiedades|indescomponibles]] y no-pitagóricos) tienen lados que son todos divisibles por primos de la forma 4''k'' + 1.<ref>{{cite journal |first=Paul |last=Yiu |title=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles |url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf |year=2008 |publisher=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America }}</ref>{{rp|p.40}}. Sin embargo, los triángulos heronianos descomponibles deben tener dos lados que son la [[hipotenusa]] de dos triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronianos que no son pitagóricos tienen al menos dos lados que son divisibles por [[Número primo|números primos]] de la forma 4''k '' + 1. Todo lo que queda son triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronianos tienen al menos un lado que es divisible por números primos de la forma 4''k'' + 1. Finalmente, si un triángulo heroniano tiene un solo lado divisible por números primos de la forma 4''k'' + 1, tiene que ser pitagórico con ese lado como hipotenusa, y la hipotenusa debe ser [[Terna pitagórica|divisible por 5]].
* Todos las [[Bisección|mediatrices interiores]] de un triángulo heroniano son racionales: para cualquier triángulo vienen dadas por <math>p_a=\tfrac{2aT}{a^2+b^2-c^2},</math> <math>p_b=\tfrac{2bT}{a^2+b^2-c^2},</math> y <math>p_c=\tfrac{2cT}{a^2-b^2+c^2},</math> donde los lados son ''a'' &ge; ''b'' &ge; ''c'' y el área es ''T''.<ref>Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", ''Forum Geometricorum'' 13, 53−59: Theorem 2.</ref> En un triángulo de Herón, todos los valores de ''a'', ''b'', ''c'' y ''T'' son enteros.
* No hay triángulos heronianos equiláteros.<ref name=Somos/>
* No hay triángulos heronianos con una longitud lateral de 1 o 2.<ref name=Carlson>{{Cite journal |title=Determination of Heronian triangles |last=Carlson |first=John R. |publisher=San Diego State College |year=1970 |url=http://www.fq.math.ca/Scanned/8-5/carlson-a.pdf}}</ref>
* Existe un número infinito de triángulos heronianos primitivos con una longitud lateral igual a ''a'' siempre que ''a'' > 2.<ref name=Carlson/>
* No hay triángulos heronianos cuyas longitudes laterales formen una [[progresión geométrica]].<ref name=Buchholz>{{Cite journal |title=Heron Quadrilaterals with sides in Arithmetic or Geometric progression |last=Buchholz |first=R. H. |last2=MacDougall |first2=J. A. |journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society |pages=263–269 |volume=59 |year=1999 |url=http://journals.cambridge.org/article_S0004972700032883}}</ref>
* Si dos lados (pero no tres) de un triángulo heroniano tienen un factor común, ese factor debe ser la suma de dos cuadrados.<ref>{{Cite journal |title=On Triangles with Rational Sides and Having Rational Areas |last=Blichfeldt |first=H. F. |journal=Annals of Mathematics |volume=11 |issue=1/6 |year=1896–1897 |pages=57–60 |jstor=1967214 |doi=10.2307/1967214 }}</ref>
* Cada ángulo de un triángulo heroniano tiene un seno racional. Esto se deduce de la fórmula del área, ''Área'' = (1/2) ''ab'' sin ''C'', en la que el área y los lados ''a'' y ''b'' son enteros (y de manera equivalente, para los otros ángulos). Como todos los triángulos enteros tienen los cosenos de todos los ángulos racionales, esto implica que cada [[ángulo]] de un triángulo de Herón tiene una tangente racional.
* No hay triángulos heronianos cuyos tres [[Ángulo interior|ángulos internos]] formen una progresión aritmética. Esto se debe a que al menos un ángulo debe ser de 60°, ángulo cuyo seno no es racional.<ref name=Zelator>[https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0803/0803.3778.pdf Zelator, K., "Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x<sup>2</sup>+3y<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>", ''Cornell Univ. archive'', 2008]</ref>
* Cualquier cuadrado inscrito en un triángulo heroniano tiene lados racionales: para un triángulo general, el [[Triángulo|cuadrado inscrito]] en el lado de longitud ''a'' tiene una longitud <math>\tfrac{2Ta}{a^2+2T}</math>, donde ''T'' es el área del triángulo;<ref>Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", ''[[Mathematics Magazine]]'' 71(4), 1998, 278–284.</ref> en un triángulo heroniano, tanto ''T'' como ''a'' son enteros.
* Cada triángulo heroniano tiene un [[circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo|inradio]] racional (radio de su círculo inscrito): para un triángulo general, el inradio es la relación entre el área y la mitad del perímetro, y ambos son racionales en un triángulo heroniano.
* Cada triángulo heroniano tiene un [[Circunferencia circunscrita|circunradio]] racional (el radio de su círculo circunscrito): para un triángulo general, el circumradio equivale a un cuarto del producto de los lados dividido por el área; en un triángulo heroniano, los lados y el área son enteros.
* En un triángulo heroniano la distancia desde el [[centroide]] a cada lado es racional, porque para todos los triángulos esta distancia es la relación del doble del área dividida tres veces la longitud del perímetro.<ref>Clark Kimberling, "Trilinear distance inequalities for the symmedian point, the centroid, and other triangle centers", ''Forum Geometricorum'', 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html</ref> Esto se puede generalizar al afirmar que todos los centros están asociados con triángulos heronianos cuyas [[Coordenadas baricéntricas (n-simplex)|coordenadas baricéntricas]] son razones racionales, tienen una distancia racional a cada lado. Estos centros incluyen el [[circunferencia circunscrita|circuncentro]], el [[ortocentro]], el [[centro de nueve puntos]], el [[punto simediano]], el [[Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo|incentro]] y el [[punto de Nagel]].<ref name=ck>Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers {{cite web|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |title=Archived copy |accessdate=17 de junio de 2012 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |archivedate=19 de abril de 2012 |df= }}</ref>

==Fórmula exacta para triángulos heronianos==
El matemático indio [[Brahmagupta]] (598-668 A.D.) dedujo la solución paramétrica, de modo que cada triángulo heroniano tiene lados proporcionales a:<ref>Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine Analysis", pp.11-13; in R. D. Carmichael, 1959, ''The Theory of Numbers and Diophantine Analysis'', Dover Publications, Inc.</ref><ref name="Kurz">{{cite journal
 | last = Kurz | first = Sascha
 | arxiv = 1401.6150
 | issue = 2
 | journal = Serdica Journal of Computing
 | mr = 2473583
 | pages = 181–196
 | title = On the generation of Heronian triangles
 | url = https://eudml.org/doc/11461
 | volume = 2
 | year = 2008
 | ref = harv}}.</ref>
: <math>a=n(m^{2}+k^{2}) </math>
: <math>b=m(n^{2}+k^{2}) </math>
: <math>c=(m+n)(mn-k^{2}) </math>
: <math>\text{Semiperímetro}=s=(a+b+c)/2=mn(m+n) </math>
: <math>\text{Área}=mnk(m+n)(mn-k^{2}) </math>
: <math>\text{Inradio}=k(mn-k^{2}) </math>
: <math>s-a=n(mn-k^{2}) </math>
: <math>s-b=m(mn-k^{2}) </math>
: <math>s-c=(m+n)k^{2} </math>
para los enteros ''m'', ''n'' y ''k'', donde:
: <math>\gcd{(m,n,k)}=1 </math>
: <math>mn > k^2 \ge m^2n/(2m+n) </math>
: <math> m \ge n \ge 1 </math>.
El factor de proporcionalidad generalmente es a&nbsp;{{frac|p|q}}&nbsp;donde&nbsp;''q'' = mcd (''a, b, c'')&nbsp;reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y&nbsp;''p''&nbsp;escala este triángulo primitivo al tamaño requerido. Por ejemplo, tomando ''m'' = 36, ''n'' = 4 y ''k'' = 3 produce un triángulo con ''a'' = 5220, ''b'' = 900 y ''c'' = 5400, que es similar al triángulo heroniano 5, 29, 30; y el factor de proporcionalidad utilizado tiene ''p'' = 1 y ''q'' = 180.

El obstáculo para un uso en ordenador de la solución paramétrica de Brahmagupta es el denominador ''q'' del factor de proporcionalidad, puesto que ''q'' solo se puede determinar calculando el [[máximo común divisor]] de los tres lados (&nbsp;mcd (''a, b, c'')&nbsp;) e introduce un elemento de impredecibilidad en el proceso de generación.<ref name="Kurz" /> La manera más fácil de generar listas de triángulos heronianos es generar todos los triángulos enteros hasta una longitud máxima de lado y comprobar si su área es un entero.

Los algoritmos más rápidos han sido ideados por {{harvtxt|Kurz|2008}}.

Véanse también las fórmulas para [[Triángulo entero#Triángulos heronianos con un ángulo dos veces otro|triángulos heronianos con un ángulo dos veces otro]], [[Triángulo entero#Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética|triángulos heronianos con lados en progresión aritmética]] y [[Triángulo entero#Triángulos isósceles heronianos|triángulos isósceles heronianos]].

==Ejemplos==
La lista de triángulos heronianos enteros primitivos, ordenados por área y, si esta coincide,
por [[perímetro]], comienza como en la siguiente tabla.
"Primitivo" significa que el [[máximo común divisor]] de las longitudes de los tres lados es igual a 1.

{| style="text-align: center;" width=100%
|- valign=top
||
{|class="wikitable"
! Área
! Perímetro
! Longitud<br />lado b+d
! Longitud<br />lado e
! Longitud<br />lado c
|-
| 6
| 12
| 5
| 4
| 3
|-
| 12
| 16
| 6
| 5
| 5
|-
| 12
| 18
| 8
| 5
| 5
|-
| 24
| 32
| 15
| 13
| 4
|-
| 30
| 30
| 13
| 12
| 5
|-
| 36
| 36
| 17
| 10
| 9
|-
| 36
| 54
| 26
| 25
| 3
|-
| 42
| 42
| 20
| 15
| 7
|-
| 60
| 36
| 13
| 13
| 10
|-
| 60
| 40
| 17
| 15
| 8
|-
| 60
| 50
| 24
| 13
| 13
|-
| 60
| 60
| 29
| 25
| 6
|-
| 66
| 44
| 20
| 13
| 11
|-
| 72
| 64
| 30
| 29
| 5
|-
| 84
| 42
| 15
| 14
| 13
|-
| 84
| 48
| 21
| 17
| 10
|-
| 84
| 56
| 25
| 24
| 7
|-
| 84
| 72
| 35
| 29
| 8
|-
| 90
| 54
| 25
| 17
| 12
|-
| 90
| 108
| 53
| 51
| 4
|-
| 114
| 76
| 37
| 20
| 19
|-
| 120
| 50
| 17
| 17
| 16
|-
| 120
| 64
| 30
| 17
| 17
|-
| 120
| 80
| 39
| 25
| 16
|}
||
{|class="wikitable"
! Área
! Perímetro
! Longitud<br />lado b+d
! Longitud<br />lado e
! Longitud<br />lado c
|-
| 126
| 54
| 21
| 20
| 13
|-
| 126
| 84
| 41
| 28
| 15
|-
| 126
| 108
| 52
| 51
| 5
|-
| 132
| 66
| 30
| 25
| 11
|-
| 156
| 78
| 37
| 26
| 15
|-
| 156
| 104
| 51
| 40
| 13
|-
| 168
| 64
| 25
| 25
| 14
|-
| 168
| 84
| 39
| 35
| 10
|-
| 168
| 98
| 48
| 25
| 25
|-
| 180
| 80
| 37
| 30
| 13
|-
| 180
| 90
| 41
| 40
| 9
|-
| 198
| 132
| 65
| 55
| 12
|-
| 204
| 68
| 26
| 25
| 17
|-
| 210
| 70
| 29
| 21
| 20
|-
| 210
| 70
| 28
| 25
| 17
|-
| 210
| 84
| 39
| 28
| 17
|-
| 210
| 84
| 37
| 35
| 12
|-
| 210
| 140
| 68
| 65
| 7
|-
| 210
| 300
| 149
| 148
| 3
|-
| 216
| 162
| 80
| 73
| 9
|-
| 234
| 108
| 52
| 41
| 15
|-
| 240
| 90
| 40
| 37
| 13
|-
| 252
| 84
| 35
| 34
| 15
|-
| 252
| 98
| 45
| 40
| 13
|}
||
{|class="wikitable"
! Área
! Perímetro
! Longitud<br />lado b+d
! Longitud<br />lado e
! Longitud<br />lado c
|-
| 252
| 144
| 70
| 65
| 9
|-
| 264
| 96
| 44
| 37
| 15
|-
| 264
| 132
| 65
| 34
| 33
|-
| 270
| 108
| 52
| 29
| 27
|-
| 288
| 162
| 80
| 65
| 17
|-
| 300
| 150
| 74
| 51
| 25
|-
| 300
| 250
| 123
| 122
| 5
|-
| 306
| 108
| 51
| 37
| 20
|-
| 330
| 100
| 44
| 39
| 17
|-
| 330
| 110
| 52
| 33
| 25
|-
| 330
| 132
| 61
| 60
| 11
|-
| 330
| 220
| 109
| 100
| 11
|-
| 336
| 98
| 41
| 40
| 17
|-
| 336
| 112
| 53
| 35
| 24
|-
| 336
| 128
| 61
| 52
| 15
|-
| 336
| 392
| 195
| 193
| 4
|-
| 360
| 90
| 36
| 29
| 25
|-
| 360
| 100
| 41
| 41
| 18
|-
| 360
| 162
| 80
| 41
| 41
|-
| 390
| 156
| 75
| 68
| 13
|-
| 396
| 176
| 87
| 55
| 34
|-
| 396
| 198
| 97
| 90
| 11
|-
| 396
| 242
| 120
| 109
| 13
|}
|}

Las listas de triángulos heronianos primitivos cuyos lados no exceden los 6.000.000 se pueden encontrar en {{cite web|url=http://www.wm.uni-bayreuth.de/index.php?id=554&amp;L=3|title=Lists of primitive Heronian triangles|publisher=Sascha Kurz, University of Bayreuth, Germany|access-date=29 de marzo de 2016|fechaarchivo=9 de mayo de 2016|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160509025502/http://www.wm-archive.uni-bayreuth.de/index.php?id=554&L=3|deadurl=yes}}

==Triángulos ecuables==
Una forma se llama [[forma ecuable|ecuable]] si su área es igual a su perímetro. Hay exactamente cinco triángulos heronianos ecuables: los que tienen longitudes laterales (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) y (9, 10, 17).<ref>{{citation|title=[[History of the Theory of Numbers]], Volume Il: Diophantine Analysis|first=Leonard Eugene|last=Dickson|authorlink=L. E. Dickson|publisher=Dover Publications|year=2005|isbn=9780486442334|page=199}}</ref><ref>{{citation
 | last = Markowitz | first = L.
 | issue = 3
 | journal = The Mathematics Teacher
 | pages = 222–3
 | title = Area = Perimeter
 | volume = 74
 | year = 1981
}}</ref>

==Triángulos heronianos casi equiláteros==

Como el área de un [[triángulo equilátero]] con lados racionales es un [[número irracional]], ningún triángulo equilátero es heroniano. Sin embargo, existe una secuencia única de triángulos heronianos que son "casi equiláteros" porque los tres lados tienen la forma ''n''&nbsp;-&nbsp;1, ''n'', ''n''&nbsp;+&nbsp;1. Un método para generar todas las soluciones a este problema basado en [[fracción continua|fracciones continuas]] fue descrito en 1864 por [[Edward Sang]],<ref>{{citation|title=On the theory of commensurables|first=Edward|last=Sang|authorlink=Edward Sang|journal=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=23|pages=721–760}}. Véase en particular [https://books.google.com/books?id=uXAxAQAAMAAJ&pg=PA734 p.&nbsp;734].</ref> y en 1880 [[Reinhold Hoppe]] dio una [[forma cerrada (matemática)|forma explícita]] para las soluciones.<ref>{{citation|title=A triangle with integral sides and area|first=H. W.|last=Gould|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|pages=27–39|date=February 1973|volume=11|issue=1|url=http://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/11-1/gould.pdf}}.</ref> Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla {{OEIS|A003500}}:
{| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 500px;"
! colspan="3" | Longitud lados || rowspan="2" | Área || rowspan="2" | Inradio 
|-
! ''n'' − 1 || ''n'' || ''n'' + 1
|- align="right"
| 3 || 4 || 5 || 6 || 1
|- align="right"
| 13 || 14 || 15 || 84 || 4
|- align="right"
| 51 || 52 || 53 || 1170 || 15
|- align="right"
| 193 || 194 || 195 || 16296 || 56
|- align="right"
| 723 || 724 || 725 || 226974 || 209
|- align="right"
| 2701 || 2702 || 2703 || 3161340 || 780
|- align="right"
| 10083 || 10084 || 10085 || 44031786 || 2911
|- align="right"
| 37633 || 37634 || 37635 || 613283664 || 10864
|}

Los valores posteriores de ''n'' se pueden encontrar multiplicando el valor anterior por 4, luego restando el valor anterior a ese (52&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;14&nbsp;-&nbsp;4, 194&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;52&nbsp;-&nbsp;14, etc.), por lo tanto:
: <math>n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2} \, ,</math>
donde ''t'' denota cualquier fila en la tabla. Esta es un [[sucesión de Lucas]]. Alternativamente, la fórmula <math>(2 + \sqrt{3})^t + (2 - \sqrt{3})^t</math> genera todo ''n''. Equivalentemente, sean ''A'' el área, e ''y'' el inradio, entonces:
: <math>\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2</math>
donde {''n'', ''y''} son soluciones para ''n''<sup>2</sup>&nbsp;-&nbsp;12''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;4. Una pequeña transformación ''n'' = ''2x'' produce una [[ecuación de Pell]] convencional ''x''<sup>2</sup>&nbsp;-&nbsp;3''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1, cuyas soluciones pueden deducirse de la expansión de una [[Fracción continua|fracción continua regular]] para {{raíz|3}}.<ref>{{citation |first1=William H. |last1=Richardson |title=Super-Heronian Triangles |date=2007 |url=http://www.math.wichita.edu/~richardson/heronian/heronian.html}}</ref>

La variable ''n'' tiene la forma <math>n=\sqrt{2 + 2 k}</math>, donde ''k'' es 7, 97, 1351, 18817, &hellip;. Los números en esta secuencia tienen la propiedad de que ''k'' enteros consecutivos tienen [[desviación típica]] entera.<ref>Online Encyclopedia of Integer Sequences, {{OEIS2C|A011943}}.</ref>

== Véase también ==
* [[Tetraedro heroniano]]
* [[Cuadrilátero cíclico]]
* [[Pentágono de Robbins]]
* [[Triángulo entero#Triángulos heronianos|Triángulos enteros]]

==Enlaces externos==
* {{mathworld|HeronianTriangle}}
* Enciclopedia en línea de secuencias enteras [http://oeis.org/search?q=Heronian Heronian]
* {{citation |author=Wm. Fitch Cheney, Jr. |title=Heronian Triangles |journal=Amer. Math. Monthly |volume=36 |issue=1 |pages=22–28 |date=January 1929 |jstor=2300173 }}
* {{citation |author=S. sh. Kozhegel'dinov |title=On fundamental Heronian triangles |journal=Math. Notes |volume=55 |issue=2 |pages=151–6 |year=1994 |doi=10.1007/BF02113294 |url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02113294}}

==Referencias==
{{Listaref}}

{{Control de autoridades}}
{{DEFAULTSORT:Triángulo heroniano}}
[[Categoría:Triángulos]]
[[Categoría:Tipos de triángulos]]
[[Categoría:Problemas aritméticos de geometría plana]]