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En [[álgebra]], un '''trinomio''' es una expresión algebraicas de únicamente tres [[monomio]]s, sumados o restados.<ref name="rpdp_1">[http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/system/grd-k12-index.htm ''Diccionario visual de matemáticas''] {{Wayback|url=http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/system/grd-k12-index.htm |date=20180314082448 }}.</ref>

; Ejemplos de trinomios 
# <math>3x + 5y - 8z</math> con <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> variables.
# <math>3t - 9s^2 + 3y^3</math> con <math>t</math>, <math>s</math>, <math>y</math> variables.
# <math>Px^a + Qx^b + Rx^c</math> con <math>x</math> variable, las constantes <math>a, b, c</math> son enteros positivos y <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math> constantes arbitrarias.
# <math> x^2 - xy + y^2 </math>, trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo.
#<math> x^2  + y^2 + z^2</math>, de tres variables.

==Casos diversos==
=== Trinomio cuadrado perfecto === 
[[Archivo:Binomio al cuadrado.svg|thumb|Visualización de la fórmula para un cuadrado'' y para su '''''trinomio cuadrado perfecto''''']]
Un '''Trinomio cuadrado perfecto''', por brevedad '''TCP''', es un [[polinomio]] de tres términos que resulta de elevar al [[cuadrado (álgebra)|cuadrado]] un [[binomio]].

===Trinomio irreducible===
* Un trinomio es irreducible en ℚ  si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como <math>x^2+4x+1 </math>
*Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales así como <math>x^2+x+1 </math><ref>Matemáticas universitarias de Britton y otro</ref>

=== Trinomio de segundo grado en una variable ===
Al igualar a cero se obtiene una [[ecuación de segundo grado]], la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.{{cita requerida}}
Como una función representa en la [[geometría analítica]], la ecuación de una [[Parábola (matemática)|parábola]], y ésta tiene aplicaciones en la [[física]], al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto.
El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por [[Arquímedes]] en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por [[Pierre de Fermat|Fermat]], [[Isaac Newton|Newton]] y [[Gottfried Leibniz|Leibniz]], en la época moderna.

===Ejemplos===
Sea:
:<math>12xy+9x^2+4y^2 \,\!</math> 
Ordenando según las normas del álgebra, de mayor  a menor [[grado de un polinomio|grado]] de <math>x \,\!</math>, resulta que:
:<math>9x^2+12xy+4y^2 \,\!</math> 
Y podemos darnos cuenta de:
:<math>9x^2=(3^2)(x^2)=(3x)^2 \,\!</math>
:<math>4y^2=(2y)^2 \,\!</math>
:<math>12xy=2(3x)(2y) \,\!</math>
Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:
:<math>12xy+9x^2+4y^2 = \left(\sqrt{9x^2}+\sqrt{4y^2} \right)^2 = (3x+2y)^2 \,\!</math>
'''Sea:'''
:<math>\frac{1}{4}y^4z^2+w^2+wy^2z \,\!</math>
Ordenando respecto a la variable de mayor potencia (<math>y</math>) tenemos:
:<math>\frac{1}{4}y^4z^2+wy^2z+w^2 \,\!</math>
evaluando el trinomio, vemos que:
:<math>\frac{1}{4}y^4z^2=\left(\frac{1}{2}y^2z\right)^2 \,\!</math>
y
:<math>w^2=(w)^2 \,\!</math>
por último, vemos que
:<math>2\left(\frac{1}{2}y^2z\right)(w)=wy^2z \,\!</math>
Entonces, la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

==Trinomio de grado par de una variable==
estos trinomios son de la forma:
 
<math> mx^{2p} + nx^{p} + l  </math> donde m, n, l son constantes y p es un entero positivo.

===Ejemplos===
#<math> 5x^{4} - 3x^{2} - 1/4  </math>, origina una ecuación llamada '''bicuadrada'''
#<math> -15t^{12} - 3/4t^{6} - 13/25  </math> un trinomio de duodécimo grado<ref>Aparecen como el primer miembro de la forma canónica de las ecuaciones trinomias de grado par.</ref>

==Trinomios usuales==
#<math>ax^2 + bx + c </math> que igualado a 0 , se conoce como la ecuación general de segundo grado en una variable
#<math>x^2 + px + q </math> si se hace igual a 0 origina la forma reducida de una ecuación de segundo grado
#<math>y^3 + py + q </math> igualando a 0, origina la ecuación cúbica reducida de una variable, a la que se puede aplicar la fórmula de Cardano.<ref>Nomenclatura que aparece en libros de Álgebra superior</ref>
#<math>x^2 + x + 1 </math> sus ''ceros'' son las raíces cúbicas no reales de 1.<ref>Elementos de Trigonometría de Bruño</ref>
# <math>x^4 + x^2 + 1 </math>= <math>(x^2 + x + 1)\times (x^2 - x + 1)</math>.  Sus ceros son la raíces cúbicas no reales de 1 y -1, respectivamente.

==Aplicaciones==
* Los trinomios factorizables en binomios lineales se usan en operaciones con fracciones algebraicas y al calcular el MCM y MCD de expresiones algebraicas enteras<ref>Véase ''Álgebra'' de 
 Aurelio  Baldor, varias ediciones</ref>
* En la descomposición en fracciones parciales, aparecen binomios lineales y trinomios cuadráticos; 
:Por ejemplo <math> \frac{2x+1}{x^3 - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx +C}{x^2 + x+1}</math><ref>N. Piskunov: ''Cálculo diferencial e integral tomoi I'' Editorial Mir Moscú (1983)</ref>

== Véase también ==
* [[Productos notables]]
* [[Factorización]]
* [[Completar el cuadrado]]

== Referencias ==
{{listaref}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Polinomios]]
[[Categoría:Álgebra elemental]]