Ver el código de «Valor p-ádico»

[[Image:2adic12480.svg|thumb|300px|Distribución de los números naturales por su valoración 2-ádica, rotulados con las correspondientes [[Potencia de dos|potencias de dos]] en numeración decimal. El cero tiene una valoración infinita. Representados mediante una incrustación topológica no isométrica de pares de enteros en el plano complejo]]

En [[teoría de números]], el '''valor {{nowrap|{{mvar|p}}-ádico}}''' (también conocido como '''valoración {{nowrap|{{mvar|p}}-ádica}}''' u '''orden {{mvar|p}}-ádico''') de un [[número entero]] {{mvar|n}} es el [[potenciación|exponente]] de la potencia más alta del [[número primo]] {{mvar|p}} dado que [[divisibilidad|divide]] a {{mvar|n}}.

Se denota como <math>\nu_p(n)</math>. De manera equivalente, <math>\nu_p(n)</math> es el exponente con el que aparece <math>p</math> en la descomposición en factores primos de <math>n</math>.

El valor {{mvar|p}}-ádico es una [[Valoración (matemáticas)|valoración]] y da lugar a un análogo del [[valor absoluto]] habitual. Mientras que el [[espacio métrico completo]] de los números racionales respecto al valor absoluto habitual da como resultado los [[números reales]] <math>\mathbb{R}</math>, al completar los números racionales respecto al valor absoluto <math>p</math>-ádico se obtienen como resultado los [[Número p-ádico|números {{nowrap|{{mvar|p}}-ádicos}}]] <math>\mathbb{Q}_p</math>.<ref>
{{cite book
|first1= David S.|last1= Dummit
|first2=Richard M.|last2=Foote
|year= 2003
|title= Abstract Algebra
|edition= 3rd
|publisher= Wiley
|isbn= 0-471-43334-9
|pages= 758–759
}}</ref>

==Definición y propiedades==
Sea {{mvar|p}} un [[número primo]].

===Enteros===
La '''valoración {{mvar|p}}-ádica''' de un entero <math>n</math> se define como
:<math>
\nu_p(n)=
\begin{cases}
\mathrm{max}\{k \in \mathbb{N} : p^k \mid n\} & \text{si } n \neq 0\\
\infty & \text{si } n=0,
\end{cases}
</math>
donde <math>\mathbb{N}</math> denota el conjunto de los [[números naturales]] y <math>m \mid n</math> denota la [[Divisibilidad|divisibilidad]] de <math>n</math> por <math>m</math>. En particular, <math>\nu_p</math> es una función <math>\nu_p \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N} \cup\{\infty\} </math>.<ref>{{cite book|last1=Ireland|first1=K.|last2=Rosen|first2=M.|date=2000|title=A Classical Introduction to Modern Number Theory|publisher=Springer-Verlag|location=New York|page=3|isbn=978-0387973296}}</ref>

Por ejemplo, <math>\nu_2(-12)= 2</math>, <math>\nu_3(-12)= 1</math> y <math>\nu_5(-12)= 0</math> dado que <math>|{-12}|= 12= 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0</math>.

La notación <math>p^k \parallel n</math> a veces se usa para referirse a <math>k= \nu_p(n)</math>.<ref>{{Cite book|last1=Niven|first1=Ivan|author1-link=Ivan M. Niven|last2=Zuckerman|first2=Herbert S.|last3=Montgomery|first3=Hugh L.|author3-link=Hugh Lowell Montgomery|title=An Introduction to the Theory of Numbers|url=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive|date=1991|publisher=[[John Wiley &amp; Sons]]|edition=5th|isbn=0-471-62546-9|page=[https://archive.org/details/introductiontoth0000nive/page/4 4]}}</ref>

Si <math>n</math> es un entero positivo, entonces

:<math>\nu_p(n) \leq \log_p n</math>;

esto se sigue directamente de que <math>n \geq p^{\nu_p(n)}</math>.

===Números racionales===
La valoración {{mvar|p}}-ádica se puede extender a los [[números racionales]] como la función

:<math>\nu_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup\{\infty\} </math><ref name="infty">Con la relación de orden usual, a saber
:<math>\infty > n</math>,

y reglas para operaciones aritméticas,

:<math>\infty + n= n + \infty= \infty</math>,

en la recta numérica extendida</ref><ref>{{cite book|last1=Khrennikov|first1=A.|last2=Nilsson|first2=M.|date=2004|title={{mvar|p}}-adic Deterministic and Random Dynamics|publisher=Kluwer Academic Publishers|page=9|isbn=978-1402026591}}</ref>

definida por

:<math>
\nu_p\left(\frac{r}{s}\right)=\nu_p(r)-\nu_p(s).
</math>

Por ejemplo, <math>\nu_2 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr)= -3</math> y <math>\nu_3 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr)= 2</math> dado que <math>\tfrac{9}{8}= 2^{-3}\cdot 3^2</math>.

Algunas de sus propiedades son:
 
:<math>\nu_p(r\cdot s)= \nu_p(r) + \nu_p(s)</math>
:<math>\nu_p(r+s) \geq \min\bigl\{\nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math>

Además, si <math>\nu_p(r) \neq \nu_p(s)</math>, entonces

:<math>\nu_p(r+s)= \min\bigl\{\nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math>

donde <math>\min</math> es el mínimo (es decir, el menor de los dos).

==Valor {{mvar|p}}-ádico absoluto==
{{anchor|norma p-ádica}}

El [[valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]] {{mvar|p}}-ádico sobre los [[números racionales]] <math>\mathbb{Q}</math> es la función

:<math>|\cdot|_p \colon \Q \to \R_{\ge 0} </math>

definida por

:<math>|r|_p= p^{-\nu_p(r)} .</math>

Por lo tanto, <math>|0|_p= p^{-\infty}= 0</math> para todos los <math>p</math> y, por ejemplo, <math>|{-12}|_2= 2^{-2}= \tfrac{1}{4}</math> y <math>\bigl|\tfrac{9}{8}\bigr|_2= 2^{-(-3)}= 8 .</math>

El valor absoluto {{mvar|p}}-ádico satisface las siguientes propiedades:

:{|class="wikitable"
|-
|No negativo||<math>|r|_p \geq 0</math>
|-
|[[Función definida positiva|Definido positivo]]||<math>|r|_p= 0 \iff r= 0</math>
|-
|[[Función multiplicativa|Multiplicativo]]||<math>|r s|_p=|r|_p|s|_p</math>
|-
|[[Espacio ultramétrico|No arquimediano]]||<math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p,|s|_p\right)</math>
|}

De la [[Función multiplicativa|multiplicatividad]] <math>|r s|_p=|r|_p|s|_p</math> se deduce que <math>|1|_p=1=|-1|_p</math> para las [[Raíz de la unidad|raíces de la unidad]] <math>1</math> y <math>-1</math>, y en consecuencia, también que <math>|{-r}|_p=|r|_p .</math>
La [[subaditividad]] <math>|r+s|_p \leq|r|_p +|s|_p</math> se deriva de la [[desigualdad triangular]] [[Espacio ultramétrico|no arquimediana]] <math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p,|s|_p\right)</math>.

La elección de la base {{mvar|p}} en la [[potenciación]] <math>p^{-\nu_p(r)} </math> no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto:

:<math>\prod_{0, p}|r|_p= 1</math>

donde el producto se toma entre todos los números primos {{mvar|p}} y el valor absoluto habitual, denotado como <math>|r|_0</math>. Esto se deriva simplemente de tomar la [[factorización de enteros|factorización en números primos]]: cada factor de potencia primo <math>p^k</math> contribuye con su recíproco a su valor absoluto {{mvar|p}}-ádico, y luego el valor absoluto habitual [[Axioma de Arquímedes|arquimediano]] los cancela a todos.

El valor absoluto {{mvar|p}}-ádico a veces se denomina "norma {{mvar|p}}-ádica", aunque en realidad no es una [[norma vectorial|norma]] propiamente dicha porque no cumple con el requisito de [[Función homogénea|homogeneidad]].

Se puede formar un [[espacio métrico]] en el conjunto <math>\mathbb{Q}</math> con una métrica ([[Espacio ultramétrico|no arquimediana]] e [[Simetría traslacional|invariante respecto a las traslaciones]]):

:<math>d \colon \Q \times \Q \to \R_{\ge 0} </math>

definido por

:<math>d(r,s)=|r-s|_p .</math>

La operación de [[Espacio métrico completo|completar]] <math>\mathbb{Q}</math> con respecto a esta métrica conduce al conjunto <math>\mathbb{Q}_p</math> de los números {{mvar|p}}-ádicos.

==Véase también==
*[[Número p-ádico]]
*[[Axioma de Arquímedes]]
*[[Multiplicidad (matemáticas)]]
*[[Teorema de Ostrowski]]

==Referencias==
{{listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números algebraicos]]
[[Categoría:Números p-ádicos]]