Ver el código de «Vector»

{{otros usos}}

{{Problemas artículo|discutido|estructura|redacción|t=20221002}}

[[Archivo:Vector 01.svg|derecha|250px|thumb|Representación gráfica de un vector como un [[segmento]] orientado sobre una [[recta]].]]

En [[matemática]], un '''vector fijo''' es un [[segmento]] de recta [[Orientación (geometría)|orientado]] en el [[espacio euclídeo]]. La longitud de dicho segmento se denomina '''[[Módulo (vector)|módulo]]''' del vector, que es siempre un número no negativo. La [[recta]] que lo contiene se denomina '''recta soporte'''. Cualquiera de las rectas paralelas a esta, o bien sus [[semirrecta]]s que apuntan en el mismo sentido dado por la orientación del vector, determinan la '''dirección''' del vector.<ref group="lower-alpha">En los textos en castellano, es habitual con ''dirección'' referirse a una recta (o una familia de rectas paralelas), y con ''sentido'' a una de las dos semirrectas (o familias de semirrectas paralelas).{{Cita libro |título=Compendio de Física |fechaacceso=2 de marzo de 2019 |año=2018 |editorial=Editorial San Marcos |isbn=978-612-315-362-5 |idioma=Español |capítulo=2}}</ref> Para muchas aplicaciones el punto inicial es irrelevante, por lo que no se hace distinción entre dos vectores que tienen el mismo módulo y dirección; se consideran equivalentes aunque su punto inicial sea diferente.<ref name="SR">{{Cita Harvard|Shafarevich|Remizov|2013|p=79-81}}</ref> La [[clase de equivalencia]] de todos los vectores fijos de igual módulo y dirección se denomina '''vector libre''' o simplemente '''vector'''.<ref>{{Cita Harvard|Marsden|Tromba|2003|pp=7}}</ref><ref group="lower-alpha">También llamado ''vector euclidiano'' o ''vector geométrico'' para distinguirlo del concepto más genérico de ''espacio vectorial'' o de otras acepciones.{{cr}}</ref>

En [[física]] los vectores se emplean para describir las [[Magnitud vectorial|magnitudes vectoriales]], a diferencia de las [[Magnitud escalar|magnitudes escalares]], que se pueden expresar simplemente con un [[número]]. Por ejemplo, para determinar la [[velocidad]] de un objeto en movimiento, como un [[automóvil]], no basta con una cantidad en kilómetros o millas por hora (lo que marca el [[velocímetro]], que sería el módulo de la velocidad) sino que es necesario describir también la dirección en la que se produce dicho movimiento. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la [[fuerza]], el [[Desplazamiento (vector)|desplazamiento]] o el [[campo eléctrico]].

[[File:Decomposition of a vector.png|mini|300px|Ejemplo de las componentes <math>(a,b,c)</math> de un vector en 3 dimensiones. El punto final del vector se obtiene al desplazarse «<math>a</math> veces» por <math>e_a</math>, «<math>b</math> veces» por <math>e_b</math> y «<math>c</math> veces» por <math>e_c</math>.]]
Un vector fijo queda completamente determinado por un [[Punto (geometría)|punto]] inicial <math>x_0</math> y un punto final <math>x_1</math>; o alternativamente por el punto inicial, el módulo y la dirección. Dado un [[sistema de coordenadas]] del espacio <math>n</math>-dimensional (un punto [[Origen de coordenadas|origen]] y una [[Base (álgebra)|base]] de <math>n</math> vectores), el vector correspondiente (módulo y dirección) queda unívocamente determinado mediante <math>n</math> números, llamados [[Componentes de un vector|componentes]] del vector. Estos se obtienen al restar, una por una, cada [[coordenadas cartesianas|coordenada]] del punto final menos la correspondiente del punto inicial (<math>x_1-x_0</math>). El conjunto de todos los posibles vectores en el espacio <math>n</math>-dimensional se denota como <math>\R^n</math>, y se compone de todas las <math>n</math>-[[tupla]]s de [[Número real|números reales]].<ref>{{Cita Harvard|Strang|2009|loc=§3.1}}</ref> Estos vectores ''reales'' se generalizan de forma natural a los vectores ''complejos'', que son <math>n</math>-tuplas de [[Número complejo|números complejos]] (y cuyo conjunto se denota <math>\C^n</math>).<ref>{{Cita Harvard|Strang|2009|loc=§10.1}}</ref>

Dos vectores se pueden sumar, sumando las componentes correspondientes, para obtener un tercero. El vector resultante es el obtenido al concatenar uno a continuación del otro. Un vector también se puede multiplicar por un escalar (un número <math>a</math>), multiplicando cada componente por dicho número. El vector que se obtiene de esta operación tiene la misma dirección, pero su módulo resulta multiplicado por <math>a</math>, es decir, se escala por un factor <math>a</math>. Juntando ambas operaciones se obtienen [[Combinación lineal|combinaciones lineales]] de vectores.<ref>{{Cita Harvard|Marsden|Tromba|2003|loc=§1.1}}</ref>

En [[álgebra abstracta]] se define el concepto más general de '''[[espacio vectorial]]''' sobre un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>\mathbb{K}</math>: un conjunto dotado de dos [[Operación (matemática)|operaciones]] que se comportan como la suma de vectores y el producto por escalares (elementos de <math>\mathbb{K}</math>) de los vectores geométricos. En este contexto, un '''vector''' se define como un elemento de un espacio vectorial. Los espacios euclídeos de [[dimensión]] finita, como el [[Plano (geometría)|plano]] <math>\R^2</math> o el [[tridimensional|espacio tridimensional]] <math>\R^3</math>, son casos particulares de este tipo de estructura matemática en lo que se refiere al [[álgebra]] (sus dos operaciones).<ref>{{Cita Harvard|Meyer|2000|loc=§4.1}}</ref> No obstante, la generalización de otras características [[Geometría|geométricas]] de los vectores, como el módulo o el [[ángulo]] entre vectores requieren de otras estructuras adicionales ([[Norma vectorial|norma]], [[producto escalar]]...) que no todos los espacios vectoriales poseen.<ref>{{Cita Harvard|MacCluer|2009|p=2}}</ref>

== Conceptos fundamentales en vectores euclídeos ==
Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector euclídeo o geométrico, así como la notación de los mismos, etc. En otra sección más adelante se tratan otro tipo de vectores más generales.

=== Definición ===
[[Archivo:Vector_00.svg|derecha|thumb|Elementos de un vector.]]

Existen dos formas de definir el concepto de vector: hay una definición analítica, por medio de componentes,<ref>Por ejemplo, así lo define {{Cita Harvard|Strang|2009}}.</ref> y una definición geométrica, por medio de segmentos orientados.<ref>La definición geométrica se puede encontrar en {{Cita Harvard|Shafarevich|Remizov|2013}}, mientras que {{Cita Harvard|Marsden|Tromba|2003|loc=§1.1}} presenta ambas simultáneamente.</ref> Ambas definiciones son equivalentes, y la conexión entre ambas viene dada por la [[geometría analítica]], que describe [[Punto (geometría)|puntos]] del espacio mediante [[coordenada]]s.

[[Archivo:Vector 09.svg|derecha|250px|thumb|Componentes de un vector en [[Coordenadas cartesianas]].]]
Un '''vector (real)''' de [[dimensión]] <math>n</math> es una <math>n</math>-[[tupla]] de [[número real|números reales]] (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión <math>n</math> se representa como <math>\mathbb{R}^n</math> (formado mediante el [[producto cartesiano]] de <math>n</math> veces el conjunto <math>\R</math> de números reales). Así, un vector <math>\mathbf{v}</math> perteneciente al espacio <math>\mathbb{R}^n</math> se representa como:
{{ecuación|
<math>v = (v_1, v_2, v_3, \dots, v_n)</math>, donde <math>v_i \in \mathbb{R}</math>
para todo <math>i \in \{1, 2, 3, \dots, n \}</math>.
}}

En [[geometría]]. un vector fijo del [[espacio euclidiano]] es un segmento orientado, definido por un punto inicial u origen y un punto final o extremo. En un vector fijo se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

{|class="wikitable left"
|+ colspan=2|'''Elementos geométricos de un vector'''
|-
|El '''punto de aplicación''' es el punto inicial del segmento orientado.
|[[Archivo:vector 05.svg|izquierda|300px]]
|-
|El '''[[Módulo (vector)|módulo]]''' es la longitud del segmento expresado mediante un número no negativo. Cuando el vector representa una [[magnitud física]], dicha cantidad estará expresada en alguna [[unidad de medida]].
|[[Archivo:vector 03.svg|izquierda|300px]]
|-
|La '''recta soporte''' o '''línea de acción''' es la [[recta]] contiene al segmento. El conjunto de todas las rectas [[Paralelismo (matemática)|paralelas]] a esta se denomina '''dirección'''.
|[[Archivo:vector 02.svg|izquierda|300px]]
|-
|El '''sentido''', indicado por la [[Orientación (geometría)|orientación]] (del punto inicial hacia el punto final), siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte. Se representa gráficamente con una [[Flecha (símbolo)|flecha]].
|[[Archivo:vector 04.svg|izquierda|250px]]
|}
{{clear}}

Dos vectores fijos se consideran [[Vector equipolente|equipolentes]] si tienen igual módulo, dirección y sentido. La relación entre vectores fijos dada por «ser equipolente» es una [[relación de equivalencia]], y la [[Clase de equivalencia|clase]] de todos los vectores equipolentes a uno dado se denomina '''vector''' (o vector libre). En cierto modo, un vector se puede desplazar libremente y fijarse a cualquier punto del espacio, pero sin desviarlo, invertirlo o escalarlo. Esto es porque se puede tomar cualquiera los vectores fijos de la clase de equivalencia como representante del vector libre.

En física, a veces es preciso considerar el punto de aplicación de la magnitud vectorial considerada, o al menos su recta de acción. En este último caso, la magnitud se describe mediante un vector deslizante: la clase de todos los vectores fijos que comparten igual módulo, recta de aplicación y sentido. En cierto sentido, es como si se pudiera deslizar el vector a lo largo de la recta de acción, pero sin invertirlo o escalarlo.
=== Clasificación de vectores ===
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o [[Vector equipolente|equipolencia]] de dos vectores, pueden distinguirse:
* Vectores fijos o ligados: tienen un determinado punto de aplicación.
* Vectores libres: pueden estar aplicados en cualquier punto del espacio.
* Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Podemos referirnos también a:
* Vectores unitarios: vectores de módulo uno.
* el [[vector nulo]]: es un vector de módulo igual a cero.

En función de las características de un vector respecto de otro, dos vectores pueden ser:
* Vectores paralelos: si los dos vectores tienen igual dirección.
* Vectores opuestos: si los dos vectores tienen igual magnitud y dirección, pero son de sentidos contrarios.<ref name="definicion1" /> Los vectores opuestos son paralelos.
* Vectores perpendiculares: si las direcciones de los dos vectores forman un [[ángulo recto]], lo cual sucede precisamente cuando su producto escalar es cero.

En función de sus respectivas rectas de acción, dos vectores pueden ser:
* Vectores concurrentes o angulares: sus líneas de acción pasan por un mismo punto.
* Vectores colineales: sus recta de acción coinciden. Los vectores colineales son un caso particular de los vectores paralelos.
* Vectores coplanarios: vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

=== Dirección ''vs'' dirección y sentido === 

En inglés, la palabra ''direction'' indica tanto la dirección (''orientation'') como el sentido (''sense''), con lo que para definir un vector basta con especificar el módulo y la dirección (''magnitude and direction'').<ref name="englishdefinition">{{Obra citada |título=Chapter 2: Vectors and dyadics |idioma=inglés |apellidos=Mitiguy |nombre=Paul |url=http://www.stanford.edu/class/engr14/Documents/VectorHandout.pdf |fechaacceso=12 de febrero de 2012 |página=nota 1 en página 2 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20121120200831/http://www.stanford.edu/class/engr14/Documents/VectorHandout.pdf |fechaarchivo=20 de noviembre de 2012 |deadurl=yes}}</ref>

No obstante, en lengua española, un vector se distingue por tres características: módulo, dirección y sentido.<ref name="definicion1">{{Obra citada |título=Geometría Analítica |apellidos=Enrico Bompiani |url=http://books.google.es/books/ucm?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA15 |páginas=14-15 |editor=Universidad Nacional del Litoral |ISBN=9789875084339}}</ref><ref name="definicion2">{{Obra citada |título=Física: curso teórico-práctico de fundamentos físicos de la ingeniería |apellidos=Llopis, GÁlvez, Rubio, López |url=http://books.google.es/books/ucm?id=AJA-GRmTzHEC&pg=PA26 |página=26-27,36,70,71,82 |editor=Editorial Tebar |ISBN=9788473601870 |cita=(cito algunos ejemplos) [de página 26] [Otras magnitudes] llamadas vectoriales, donde no basta conocer su valor numerico, sino que además es necesario dar también su dirección y sentido. [página 70] […] el cual es un vector que en general tendrá distinta dirección y sentido que r(t). [página 71] […] Consecuencia de la definición es que la dirección de este vector derivada, dr/dt, es tangente a la curva indicatriz, su sentido es el de los valors crecientes del parámetro escalar t, y que su módulo es: […] |año=1998}}</ref><ref name="definicion3">{{Obra citada |título=Programa de diversificación curricular: ámbito científico-tecnológico: 2o. ciclo de ESO |apellidos=Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté |url=http://books.google.es/books/ucm?id=ICOmEDmY6gYC&pg=PA200 |edición=ilustrada |serie=Proyecto Didáctico Quirón. Ciencias y tecnología |volumen=102 |páginas=200,202,216 |editor=Ediciones de la Torre |ISBN=9788479601867 |año=1997}}</ref>

=== Notación ===

En el espacio, un segmento orientado  (un vector fijo) se denota con dos letras mayúsculas y una flecha hacia la derecha encima, que indican su origen y extremo respectivamente. Por ejemplo, un vector fijo con punto inicial en <math>P</math> y punto final en <math>Q</math>, se representa como <math>\overrightarrow{PQ}</math>. Esta notación se utiliza frecuentemente en [[física]] para denotar los vectores que representan el [[Desplazamiento (vector)|desplazamiento]].

En general, los vectores (libres) se representan mediante letras minúsculas. En los textos manuscritos, para diferenciarlos de los [[Escalar (matemática)|escalares]], los vectores se representan mediante una [[Flecha (símbolo)|flecha]] (o alternativamente con un trazo) sobre la letra que designa el vector, como por ejemplo <math>\vec{u}, \ \vec{v},\ \vec{w}, \dots</math> (o bien <math>\bar{u}, \ \bar{v},\ \bar{w}, \dots</math>). En los textos impresos, es frecuente representar los vectores mediante letras en [[negrita]] (como <math>\mathbf{u}, \ \mathbf{v},\ \mathbf{w}, \dots</math>). 

Como excepción, los [[Vector unitario|vectores unitarios]] o versores, cuyo [[Módulo (vector)|módulo]] es la unidad, se representan frecuentemente con un [[acento circunflejo]], por ejemplo <math>\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}</math>.

El módulo de un vector se representa encerrando mediante dos barras verticales la letra que designa dicho vector. Así, el módulo de <math>\vec{v}</math> se representa como <math>|\vec{v}|</math> (en textos impresos, <math>| \mathbf{v}|</math>).

En [[álgebra abstracta]], se definen espacios vectoriales sin una clara interpretación geométrica (espacios de matrices, de polinomios, de funciones,...). En estos casos se emplean otras notaciones, apropiadas para cada caso. En algunos de estos espacios, en los llamados [[Espacio normado|espacios normados]], se define la [[Norma vectorial|norma de un vector]] (que generaliza la idea del módulo) que se suele representar con doble barra vertical: la norma de <math>\mathbf{v}</math> se representa como <math>||\mathbf{v}||</math>.

=== Componentes de un vector ===
[[Archivo:Vector1.png|thumb|250px|Componentes del vector.]]
Un vector en el espacio euclidiano tridimensional se puede expresar como una [[combinación lineal]] de tres [[Vector unitario|vectores unitarios]] o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una [[Base (álgebra)|base vectorial]].

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por <math> \mathbf{i} \,</math>, <math> \mathbf{j} </math>, <math> \mathbf{k} </math>, ( o '''u''', '''v''', '''w''') paralelos a los ejes <math> x </math>, <math> y </math>, <math> z </math> correspondientes. Los componentes del vector en una base predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

{{ecuación|<math> \mathbf{a} = (a_x,a_y,a_z) </math>||left}}

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

{{ecuación|<math>\mathbf{a} = a_x \, \mathbf{i}+ a_y \, \mathbf{j} + a_z \, \mathbf{k}</math>||left}}

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores <math>a_x</math>, <math>a_y</math>, <math>a_z</math>, son los componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son [[Número real|números reales]].

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un [[vector columna]] o un [[vector fila]], particularmente cuando están implicadas operaciones [[matriz (matemática)|matrices]] (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

{{ecuación|<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
 a_x\\
 a_y\\
 a_z\\
\end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{a} = [ a_x\ a_y\ a_z ]
</math>||left}}

Por ejemplo, los vectores unitarios se expresarían de la siguiente manera:
{{ecuación|<math>{\mathbf i} = [1\ 0\ 0],\ {\mathbf j} = [0\ 1\ 0],\ {\mathbf k} = [0\ 0\ 1] </math>||left}}

El [[lema de Zorn]], consecuencia del [[axioma de elección]], permite establecer que todo espacio vectorial admite una [[base (álgebra)|base vectorial]], por lo que todo vector es representable como el producto de unos componentes respecto a dicha base. Dado un vector, solamente existen un número finito de componentes diferentes de cero.

== Operaciones con vectores ==

Con los vectores, siempre que pertenezcan a un mismo espacio, se pueden realizar diversas [[Operación (matemática)|operaciones]]. La principal operación entre vectores es la [[suma]], en la que se toman dos vectores para obtener un tercero. La otra operación fundamental es el «producto por un escalar»  en el que se multiplica un vector por un factor de [[Escalado (geometría)|escala]] para obtener otro vector. Otras operaciones posibles son el [[producto escalar]], el [[producto vectorial]] y el [[producto mixto]], aunque las dos últimas no están definidas en todas las dimensiones.

En general, las operaciones se definen sobre los vectores (libres). Existen reglas para obtener gráficamente los resultados de estas operaciones. Para ello, primeramente se deben elegir representantes (vectores fijos equivalentes a cada uno de los operandos), estableciendo un punto inicial para cada uno de ellos. Cuando el resultado sea un vector, este será el vector libre asociado al vector fijo así obtenido. También hay reglas algebraicas para operar con los vectores a partir de sus [[Componentes de un vector|componentes]] respecto de cierta [[Base (álgebra)|base]], que tiene que ser la misma para todos los operandos y para el resultado.

=== Suma de vectores ===

==== Construcción geométrica ====
[[Archivo:Vectorial space P 1.GIF|thumb|300px|La suma de '''u''' y '''v''' es una de las diagonales del paralelogramo formado por estos (la que se obtiene al recorrer ambos según su orientación). El orden de los sumandos no altera el resultado.]]
La '''suma''' de dos vectores da como resultado un tercer vector. Para obtener éste, se escogen dos vectores fijos concatenados como representantes de los dos sumandos: tales que el extremo final del primero coincida con el extremo inicial del segundo. El vector suma se corresponde con el vector fijo que tiene por punto inicial el inicial del primer vector y por punto final el final del segundo. Si se invierte el orden de los sumandos, la suma no cambia, como se puede ver al completar el [[paralelogramo]] cuyos lados están dados por los vectores que se suman. Es decir, la suma de vectores satisface la [[propiedad conmutativa]].<ref name="SR" />

[[Archivo:Vectorial_space_P_2.GIF|thumb|300px|La suma de tres vectores no cambia si en lugar de calcular ('''u'''+'''v''')+'''w''' se calcula '''u'''+('''v'''+'''w''').]]
Se puede generalizar esta operación a la suma de un número <math>n</math> de vectores. Para obtener la suma total, se concatenan todos ellos uno a continuación del otro. El vector resultante es el que une el punto inicial del primero con el punto final del último. Las <math>n-1</math> sumas parciales que hay que realizar pueden hacerse en cualquier orden, dado que los puntos inicial y final no cambian, por lo que la suma de vectores también satisface la [[propiedad asociativa]].

==== Expresión algebraica de la suma por componentes ====
Conocidas las [[Componentes de un vector|componentes]] de dos vectores, respecto de la misma [[Base (álgebra)|base]], por ejemplo
{{ecuación|<math>
 \mathbf{v} = (v_1, v_2,\dots, v_n) \ \text{y} \ \mathbf{w} = (w_1, w_2,\dots, w_n)
</math>||left}}
el vector suma de '''v''' y '''w''' es el que tiene componentes, respecto de la misma base 
{{ecuación|<math>
 \mathbf{v} + \mathbf{w}  = (v_1 + w_1, v_2 + w_2, \dots, v_n + w_n).
</math>||left}}
Es decir, la suma se obtiene sumando componente por componente. La suma vectorial es una generalización de la suma de [[Número real|números reales]] y como tal comparte muchas de sus propiedades: la [[propiedad conmutativa]] y la [[propiedad asociativa]] son inmediatas. También existe un [[elemento neutro]] para la suma de vectores: el [[vector nulo]]. Este vector nulo tiene todas sus componentes iguales a 0, y por tanto sumarlo a cualquier otro vector no tiene ningún efecto: para todo vector '''v''' se tiene que '''v'''+'''0''' = '''v'''. Al igual que para la suma usual, todo vector tiene también su elemento [[opuesto]]: dado un vector '''v''' de componentes <math>(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> existe un vector '''-v''' con componentes <math>(-v_1, -v_2, \dots, -v_n)</math> y tal que '''v'''+('''-v''')='''0'''.<ref name="ops">{{Cita Harvard|Marsden|Tromba|2003|pp=3-6}}</ref> Todas estas propiedades implican que los vectores de un mismo espacio forman un [[Grupo (matemática)|grupo]] respecto de la suma.

==== Suma de magnitudes vectoriales ====
En [[física]], la suma de dos vectores tiene sentido solo en ciertos contextos. Ambos vectores tienen que representar la misma [[magnitud vectorial]]. Por ejemplo, carece de sentido sumar [[fuerza]]s con [[velocidad]]es. Además, la suma tiene que tener un sentido físico, como por ejemplo sumar las distintas fuerzas aplicadas sobre una [[masa puntual]] para obtener la [[Fuerza resultante|resultante de fuerzas]]. Sustituir las fuerzas individuales por su vector suma, aplicado en la misma masa puntual, es un [[Equivalencia estática|sistema físico equivalente]].

En un [[mecánica del sólido rígido|sólido rígido]] (con extensión) distintas fuerzas pueden actuar en puntos distintos. Aún así se pueden sumar, desplazandolos, siempre y cuando se mantenga su recta de acción. Si existe un punto común entre las varias rectas, se pueden deslizar los vectores hasta dicho punto y sumarlos, siendo la recta de acción de la resultante la que pasa por dicho punto. Si no hay un punto común, el sistema equivalente estará formado por una fuerza (la suma de los vectores libres de las fuerzas individuales) y por un [[momento de fuerza]]. En este caso, se deberá optar por un punto de aplicación para la fuerza resultante: el sistema equivalente está formado por este vector suma aplicado en tal punto y un momento de fuerza, igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas actuantes, calculados respecto del punto de aplicación elegido.

=== Producto de un vector por un escalar ===
{{AP|Multiplicación escalar}}
[[Archivo:Scalar multiplication of vectors.svg|thumb|250px|Producto por un escalar.]]
El '''producto por un escalar''', también llamado '''multiplicación escalar''', es una operación entre un vector y un [[Escalar (matemática)|escalar]]. El resultado es otro vector de igual dirección (pero orientado en sentido contrario si el escalar es [[Número negativo|negativo]]) y cuyo módulo resulta multiplicado por el [[valor absoluto]] del escalar.

Si se conocen las [[Componentes de un vector|componentes]] de un vector <math>\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)</math> respecto de una [[Base (álgebra)|base]] cualquiera, el producto de '''v''' por un escalar <math>\lambda</math> tiene por componentes, en la misma base
{{ecuación|<math>
 \lambda \cdot \mathbf{v} = (\lambda \cdot v_1, \lambda \cdot v_2, \dots, \lambda \cdot v_n),
</math>||left}}
es decir, se multiplica cada componente de '''v''' por <math>\lambda</math>.

El producto de un vector por un escalar satisface las siguientes propiedades. Dados escalares <math>\lambda</math>, <math>\mu</math> y vectores <math>\mathbf{v}</math> y <math>\mathbf{w}</math> cualesquiera, se verifican:
* la [[propiedad asociativa]]
{{ecuación|<math>
 \lambda \cdot (\mu \cdot \mathbf{v}) = (\lambda \mu) \cdot \mathbf{v}.
</math>||left}}
* la [[propiedad distributiva]] respecto de la suma de escalares
{{ecuación|<math>
 (\lambda + \mu) \cdot (\mathbf{v}) = (\lambda \cdot \mathbf{v}) + (\mu \cdot \mathbf{v}).
</math>||left}}
:y respecto de la suma de vectores
{{ecuación|<math>
 \lambda \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\lambda \cdot \mathbf{v}) + (\lambda \cdot \mathbf{w}).
</math>||left}}
* La multiplicación por la unidad no tiene ningún efecto:
{{ecuación|<math>
 1 \cdot \mathbf{v}= \mathbf{v}.
</math>||left}}

=== Combinaciones lineales ===
{{AP|Combinación lineal}}

Utilizando las dos operaciones anteriores, se puede plantear una expresión de la forma
{{ecuación|<math>
 a_1 \cdot \mathbf{v_1} + a_2 \cdot \mathbf{v_2} + \dots + a_k \cdot \mathbf{v_k}
</math>||left}}
llamada '''combinación lineal''' de los vectores <math>\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\dots,\mathbf{v_k}</math>.<ref>{{Cita Harvard|Meyer|2000|p=91}}</ref> Los escalares <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math> se denominan [[Coeficiente (matemática)|coeficientes]].

Un vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de una [[Base (álgebra)|base]]. Si un vector '''v''' tiene por [[Componentes de un vector|componentes]] <math>(v_1,v_2,\dots,v_n)</math> respecto de la base <math>\{ \mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\dots,\mathbf{e_n} \}</math> entonces
{{ecuación|<math>
\mathbf{v} = v_1 \cdot \mathbf{e_1} + v_2 \cdot \mathbf{e_2} + \dots + v_n \cdot \mathbf{e_n}.
</math>||left}}
De hecho, los coeficientes <math>v_1,v_2,\dots,v_n</math> son los únicos escalares que hacen que la igualdad anterior sea cierta, es decir, las componentes de un vector respecto de una base son únicas.<ref>{{Cita Harvard|Strang|2009|p=172}}</ref>

Las combinaciones lineales admiten las mismas dos operaciones que los vectores (suma y [[multiplicación escalar]]) según las reglas usuales del [[álgebra]]. Ello es especialmente útil cuando se expresan los vectores como combinaciones lineales de los vectores de la base. En tres dimensiones es habitual utilizar la [[base canónica]] denotada como <math>\{ \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} \}</math>. Sean por ejemplo los vectores 
{{ecuación|<math>
\mathbf{v} = \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} -2 \mathbf{k} , \quad
\mathbf{w} = 3 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k}.
</math>||left}}
Entonces, se puede simplificar una combinación lineal como por ejemplo
{{ecuación|<math>
2 \mathbf{v} + \mathbf{w} = (2 \mathbf{i} + 8 \mathbf{j} -4 \mathbf{k})  
+ (3 \mathbf{i} -2 \mathbf{j} + \mathbf{k})
= 5 \mathbf{i} + 6 \mathbf{j} -3 \mathbf{k}.
</math>||left}}

Esta forma de operar con combinaciones lineales es compatible con las expresiones algebraicas dadas más arriba para la suma y la multiplicación escalar, es decir:
{{Eqnarray|
A1=<math>
(v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} +v_3 \mathbf{k})  
+ (w_1 \mathbf{i} +w_2 \mathbf{j} +w_3 \mathbf{k})</math>
|A2=<math>
(v_1+w_1) \mathbf{i} + (v_2+w_2) \mathbf{j} +(v_3+w_3) \mathbf{k}.</math>
|B1=<math>
\lambda (v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} +v_3 \mathbf{k})</math>
|B2=<math>(\lambda v_1 \mathbf{i} + \lambda v_2 \mathbf{j} +\lambda v_3 \mathbf{k}).
</math>}}

=== Producto escalar ===
{{AP|Producto escalar}}
[[Archivo:Scalar-product-dot-product.svg|thumb|240px|Representación del producto escalar en  el espacio euclideo.]]
El '''producto escalar''' de dos vectores tiene como resultado un número (un [[Escalar (matemática)|escalar]]), que equivale al producto de los [[Módulo (vector)|módulos]] de los vectores por el [[coseno]] del ángulo entre ellos. Cuando ambos vectores son [[perpendicular]]es, el ángulo entre ellos es recto y por tanto el coseno se anula, con lo que su producto escalar es cero. El producto escalar de un vector consigo mismo es el cuadrado de su módulo.{{Harvnp|Strang|2009|p=12}}

Cuando las componentes de los dos vectores están expresadas respecto de una [[base ortonormal]], el producto escalar se puede obtener como el producto de la matriz fila del primer vector por la matriz columna del segundo:{{Harvnp|Strang|2009|p=11}}
{{ecuación|<math>
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^t \mathbf{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n.
</math>||left}}
En cambio, cuando la base no es ortonormal el producto escalar de <math>\mathbf{u}</math> y <math>\mathbf{v}</math>  es igual al producto de tres matrices <math>\mathbf{u}^t A \mathbf{v}</math>, donde <math>A</math> es la [[matriz de Gram]]. Las entradas de esta matriz son los productos escalares de los vectores de la base entre sí. De ahí que cuando la base es ortonormal, la matriz de Gram es la [[matriz identidad]].

=== Producto vectorial ===
{{AP|Producto vectorial}}
[[Archivo:Cross product parallelogram.svg|miniatura|El área de un paralelogramo como el módulo de un producto vectorial.]]
En el [[espacio tridimensional]], el '''producto vectorial''' de dos vectores da como resultado otro vector perpendicular a los anteriores. Su módulo equivale al producto de los [[Módulo (vector)|módulos]] de los vectores por el [[Seno (trigonometría)|seno]] del ángulo entre ellos. Su sentido se obtiene mediante la [[regla de la mano derecha]]. Cuando ambos vectores son [[paralelo]]s, el seno se anula, con lo que su producto vectorial es el vector nulo. Respecto de una base ortonormal <math>\{ \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}} \}</math>, el producto escalar de los vectores <math>\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)</math> y <math>\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)</math> se puede obtener expandiendo el [[Determinante (matemática)|determinante]]{{Harvnp|Marsden|Tromba|2003|pp=43-46}}

{{ecuación|<math>
   \mathbf u \times \mathbf v =
   \begin{vmatrix}
      \mathbf{\hat{i}} & \mathbf{\hat{j}} & \mathbf{\hat{k}} \\
      u_x  & u_y & u_z \\
      v_x  & v_y & v_z \\
   \end{vmatrix}
= 
   \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix} \ \mathbf{\hat{i}}
 - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \end{vmatrix} \ \mathbf{\hat{j}}
 + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} \ \mathbf{\hat{k}}.
</math>||left}}

Es posible generalizar el producto vectorial a espacios con otras dimensiones, aunque son de escaso interés. En cambio, existe una generalización del producto vectorial llamada [[producto mixto]], que permite calcular el [[volumen]] de un [[paralelepípedo]] a partir de los tres vectores que se obtienen de sus aristas.

== Funciones vectoriales ==
{{AP|Función vectorial}}
Es posible definir [[Función (matemática)|funciones]] que tomen como argumento un vector, que devuelvan un vector, o ambas cosas. En general, dados dos espacios vectoriales reales de dimensiones <math>m</math> y <math>n</math> respectivamente, se pueden definir funciones <math>f: \R^m \to \R^n</math>, que a cada vector de dimensión <math>m</math> le asignan un vector de dimensión <math>n</math>. Cuando <math>n</math> es la unidad, dichas funciones se denominan [[1-forma|formas]]. Una función vectorial queda completamente determinada por sus <math>n</math> funciones componentes <math>f_1, f_2, \dots, f_n</math>. Cada función <math>f_i</math> es una forma que asigna a cada vector <math>\mathbf v</math> de <math>\R^m</math> la <math>i</math>-ésima componente de su vector imagen <math>f(\mathbf v)</math>. La rama del cálculo que estudia estas funciones es el [[cálculo vectorial]].

Las funciones vectoriales se pueden emplear para representar [[Transformación geométrica|transformaciones geométricas]], [[campo vectorial|campos vectoriales]] o [[Parametrización|parametrizaciones]]. Por ejemplo, la trayectoria de un objeto en el espacio se puede describir mediante una función <math>f: \R \to \R^3</math> que a cada instante <math>t</math> le asigna una posición en el espacio  <math>(x(t), y(t), z(t))</math>. Una [[Superficie (matemática) |superficie]] se puede describir mediante [[coordenadas curvilineas]] <math>(x(u,v), y(u,v), z(u,v))</math>, y en general las [[Variedad (matemáticas)|variedades]] <math>n</math>-dimensionales se describen mediante ''cartas'' (o mapas) que son funciones vectoriales dependientes de <math>n</math> variables.

=== Transformaciones lineales ===
{{AP|Aplicación lineal}}
Las '''transformaciones lineales''' u '''operadores lineales''' son [[Función (matemática)|funciones]] que toman un vector y devuelven otro, del mismo espacio o de otro distinto, y que preservan las [[Combinación lineal|combinaciones lineales]]: dados escalares <math>\lambda</math>, <math>\mu</math> y vectores <math>\mathbf{v}</math> y <math>\mathbf{w}</math> cualesquiera, una función ''f'' es una transformación lineal si se cumple que:<ref>{{Cita Harvard|Meyer|2000|loc=§3.3}}</ref>
{{ecuación|<math>
f(\lambda \cdot \mathbf{v} + \mu \cdot \mathbf{w}) 
=  \lambda \cdot f(\mathbf{v}) + \mu \cdot f(\mathbf{w}).
</math>||left}} 

Dadas dos bases <math>\mathcal{B}</math> y <math>\mathcal{B}'</math>, para los espacios de partida y de llegada respectivamente, la transformación lineal ''f'' queda determinada por una [[Matriz (matemática)|matriz]] <math>\mathbf{T}</math>. Las columnas de esta matriz son las [[imagen (matemática)|imágenes]] por ''f'' de los vectores de la base <math>\mathcal{B}</math>, expresados mediante sus [[Componentes de un vector|componentes]] en la base <math>\mathcal{B}'</math>. El orden de esta matriz será <math>m \times n</math>, donde <math>m</math> es el número de vectores de <math>\mathcal{B}'</math> y <math>n</math> el número de vectores de <math>\mathcal{B}</math>, [[Dimensión|dimensiones]] del espacio de llegada y de partida respectivamente. La imagen del vector '''v''' por ''f'' se obtiene multiplicando la matriz <math>\mathbf{T}</math> por el [[vector columna]] con las componentes de '''v''' en la base <math>\mathcal{B}</math>.<ref>{{Cita Harvard|Shafarevich|Remizov|2013|p=105}}</ref> Por ejemplo, la matriz
{{ecuación|<math>
R = \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]
</math>||left}} 
representa una transformación en el plano (en la base canónica), que [[Rotación (matemáticas)|rota]] cada vector un ángulo de 90º en sentido positivo (antihorario). Otros ejemplos de transformaciones lineales son las [[Reflexión (matemática)|reflexiones]], las [[Proyección (matemáticas)|proyecciones]], las [[homotecia]]s y las [[1-forma|formas lineales]]. 

=== Cambios de base ===
{{AP|Cambio de base}}
[[Archivo:3d two bases same vector 2.svg|thumb|240px|right|Componentes de un mismo vector en bases distintas.]]
Un problema habitual es, dadas las [[Componentes de un vector|componentes]] de un vector respecto de una [[Base (álgebra)|base]] <math>\mathcal{B}</math>, obtener sus componentes respecto de otra base distinta <math>\mathcal{B}'</math>. La función que transforma unas componentes en otras se denomina '''cambio de base''', y es una transformación lineal. La matriz asociada a esta transformación se denomina '''matriz de cambio de base''' o '''matriz de paso'''. Aplicando la regla general de las transformaciones lineales, las columnas de la matriz de cambio de base son las componentes en la base <math>\mathcal{B}'</math> de los vectores de <math>\mathcal{B}</math>. Esta matriz es siempre cuadrada e [[Matriz invertible|invertible]]. La matriz inversa representa el cambio de base inverso, es decir, de <math>\mathcal{B}'</math> a <math>\mathcal{B}</math>.<ref>{{Cita Harvard|Shafarevich|Remizov|2013|loc=§3.4}}</ref> Las nuevas componentes se obtienen al multuplicar esta matriz por el vector columna con las componentes en la base de partida. Por ejemplo en tres dimensiones, si <math>\mathcal{B}=\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\}</math> entonces las componentes de un vector '''v''' satisfacen la igualdad matricial

{{ecuación|<math>
\begin{bmatrix} v'_1 \\ v'_2 \\ v'_3 \end{bmatrix}_{\mathcal{B}'}
= \begin{bmatrix} x'_1 & y'_1 & z'_1 \\ x'_2 & y'_2 & z'_2
\\ x'_3 & y'_3 & z'_3 \end{bmatrix}_{\mathcal{B}'}
\cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}_{\mathcal{B}}
</math>||left}}

Un caso particular de los cambios de base es cuando ambas son [[Base ortonormal|bases ortonormales]]. Entonces la matriz de paso es una [[matriz ortogonal]] (en el caso de vectores complejos, [[Matriz unitaria|unitaria]]). Estas transformaciones preservan el [[producto escalar]] y por tanto son [[isometría]]s del espacio (en esencia, preservan [[distancia]]s y [[ángulo]]s). Las matrices ortogonales tienen la propiedad de que su [[Matriz inversa|inversa]] es igual a su [[matriz transpuesta|transpuesta]], por lo que es inmediato obtener el cambio de base inverso.<ref>{{Cita Harvard|Meyer|2000|loc=§5.6}}</ref>

=== Diferenciación de vectores ===
Dado un vector que es función de una variable independiente <math>\mathbf{v}(t)= (v_1(t), v_2(t), \dots, v_n(t))</math>, 
su [[derivada]] con respecto de la variable ''t'' es el vector que se obtiene derivando cada una de sus componentes por separado:
{{ecuación|<math>
\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t)=
\frac{d}{dt}(v_1(t), v_2(t), \dots, v_n(t)) =
( \frac{dv_1}{dt}, \frac{dv_2}{dt}, \dots, \frac{dv_n}{dt} ).
</math>||left}}
De las reglas usuales para obtener derivadas de funciones, resulta que la diferenciación es una transformación lineal, es decir: la derivada de una combinación lineal es la combinación lineal de las derivadas:
{{ecuación|<math>
\frac{d}{dt} (a_1 \cdot \mathbf{v}_1(t) + a_2 \cdot \mathbf{v}_2(t) + \dots + a_n \cdot \mathbf{v}_n(t) )
=
a_1 \cdot \frac{d}{dt}\mathbf{v}_1(t) + a_2 \cdot \frac{d}{dt}\mathbf{v}_2(t) + \dots + a_n \frac{d}{dt}\cdot \mathbf{v}_n(t)
,</math>||left}}
donde <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> son escalares constantes y <math>\mathbf{v}_1(t), \mathbf{v}_2(t), \dots, \mathbf{v}_n(t)</math> son vectores variables.

[[Archivo:Vector-valued function.jpg|thumb|300px|<math>\mathbf{r}(t)=\sen(t) \mathbf{i}+\cos(t)\mathbf{j}+ 5t\mathbf{k}</math>]]
Por ejemplo, en tres dimensiones y respecto de la base canónica, la función vectorial
{{ecuación|<math>
 \mathbf{r}(t) =
 \sen(t) \ \mathbf{i} + \cos(t) \ \mathbf{j} + 5t \ \mathbf{k}
</math>||left}}
representa el vector [[posición]] (en función del tiempo ''t'') de una una [[Masa puntual|partícula]] a lo largo de una trayectoria [[Hélice (geometría)|helicoidal]] alrededor del eje'' z'' de radio unidad, como se ilustra en la figura. Su derivada representa la [[velocidad]], que es tambień un vector variable en el tiempo. En cada instante, su dirección es [[Tangente (geometría)|tangente]] a la curva en el punto que ocupa la partícula. Si se deriva la expresión para <math>\mathbf{r}(t)</math>, teniendo en cuenta que los vectores de la base son constantes, se tiene:
{{ecuación|<math>
 \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) =
 \frac{d}{dt}\sen(t) \ \mathbf{i} +
 \frac{d}{dt}\cos(t) \ \mathbf{j} +
 \frac{d}{dt}5t \ \mathbf{k}
=
\cos(t) \ \mathbf{i} - \sen (t) \ \mathbf{j} + 5 \ \mathbf{k}.
</math>||left}}

En general, la derivada de una función vectorial <math>f: \R^m \to \R^n</math> es una [[transformación lineal]] que se describe mediante la [[Matriz y determinante jacobianos|matriz jacobiana]] de <math>f</math>, cuyas entradas son las [[Derivada parcial|derivadas parciales]] de las componentes.<ref>{{Cita Harvard|Marsden|Tromba|2003|pp=133-135}}</ref> El [[cálculo vectorial]] se dedica al estudio de las funciones vectoriales diferenciables, así como de la aplicación a estas de otros conceptos del [[análisis matemático]] como los [[Límite (matemática)|límites]], la [[función continua|continuidad]] o la [[integración]].

=== Derivada covariante de un vector ===
{{AP|Derivada covariante}}
Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean [[coordenadas curvilíneas]] la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no solo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama [[derivada covariante]]:
{{ecuación|
<math>\frac{\delta}{\delta t}\mathbf{a}(t) =
\sum_k \left(\dot{a}^k\mathbf{e}_k + a^k\dot{\mathbf{e}}_k \right) =
\frac{d}{dt}\mathbf{a}(t) + \mathbf{a}(t) \times \boldsymbol{\omega}(t)</math>
||left}}
Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones [[efecto Coriolis|de Coriolis]] y [[aceleración centrípeta|centrípeta]] se deben a los factores que contienen <math>\boldsymbol\omega</math> y otros factores menos comunes.{{cita requerida}}

=== Ángulo entre dos vectores ===
El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores <math>\mathbf{a}</math> y <math>\mathbf{b}</math> viene dado por:
{{ecuación|<math>
\cos \theta = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}
</math>||left}}

=== Descomposiciones de un vector ===
Dado un vector <math>\mathbf{a}</math> y una dirección de referencia dada por un vector unitario <math>\mathbf{n}</math> se puede descomponer el primer vector en un componente paralela y otro componente perpendicular a la dirección de referencia:
{{ecuación|
<math>\mathbf{a} = \mathbf{a}_\| + \mathbf{a}_\bot = (\mathbf{n}\cdot\mathbf{a})\mathbf{n} +
(\mathbf{n}\times \mathbf{a})\times \mathbf{n}</math>
||left}}
En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en un componente paralela a la velocidad y otro componente perpendicular a la misma. También el [[tensión mecánica]] en un punto sobre un plano puede descomponerse en un componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial <math>\mathbf{u}(\mathbf{x})</math> definido sobre un [[dominio de Lipschitz]], [[acotado]], [[Conjunto simplemente conexo|simplemente conexo]] y de [[función de cuadrado integrable|cuadrado integrable]] <math>\mathbf{u}\in (L^2(\Omega))^3</math> admite la llamada '''[[descomposición Helmholtz]]''' como suma de un [[campo conservativo]] y un [[campo solenoidal]]:
{{ecuación|
<math>\mathbf{u} = \mathbf{u}_C + \mathbf{u}_S =
(\boldsymbol{\nabla}\varphi) + (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A})</math>
||left}}

== Vectores en el caso general ==

En matemáticas, se define la estructura de [[espacio vectorial]] y a cada uno de los elementos o puntos de ese espacio se les denomina '''vector'''. En muchos casos los vectores no pueden ser representados por módulo dirección y sentido. Por ejemplo, en un '''espacio vectorial complejo''' sobre los [[números complejos]] la noción de módulo no está automáticamente defindida. Igualmente en un espacio vectorial de [[dimensión infinita]], como es el caso de [[espacios de Hilbert]] no existe una representación gráfica de los vectores como segmentos orientados.
== Magnitudes vectoriales ==
[[Archivo:Moglfm01sn vector.jpg|thumb|250px|right|Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores cartesianos.]]
[[Archivo:Moglfm0101 equipolencia.jpg|thumb|250px|Representación de los vectores.]]

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la [[masa]], la [[presión]], el [[volumen]], la [[energía]], la [[temperatura]], etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el [[desplazamiento (vector)|desplazamiento]], la [[velocidad]], la [[aceleración]], la [[fuerza]], el [[campo eléctrico]], etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas '''vectoriales''' en contraposición a las primeras llamadas '''[[Escalar (matemática)|escalares]]'''.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un [[espacio euclídeo|espacio euclidiano]], de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o '''[[módulo (vector)|módulo]]''', siempre positivo por definición, y su '''dirección''', la cual puede ser representada mediante la suma de sus [[#Componentes de un vector|componentes vectoriales]] ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante [[coordenadas polares]], que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.<ref>{{Cita web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/Vector.html |título=Euclidean vector |fechaacceso=3 de junio de 2010 |editorial=PlanetMath.org |idioma=inglés |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160306225240/http://planetmath.org/encyclopedia/Vector.html |fechaarchivo=6 de marzo de 2016 |urlmuerta=yes}}</ref>
<ref>{{Cita web |url=http://www.mathacademy.com/pr/prime/browse.asp?LT=F&PRE=vector&LEV=B&TBM=Y&TAL=Y&TAN=Y&TBI=Y&TCA=Y&TCS=Y&TDI=Y&TEC=Y&TGE=Y&TGR=Y&THI=Y&TFO=Y&TNT=Y&TPH=Y&TST=Y&TTO=Y&TTR=Y |título=Vector |fechaacceso=3 de junio de 2010 |editorial=Math Academy Online |idioma=inglés |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20121028122931/http://www.mathacademy.com/pr/prime/browse.asp?LT=F&PRE=vector&LEV=B&TBM=Y&TAL=Y&TAN=Y&TBI=Y&TCA=Y&TCS=Y&TDI=Y&TEC=Y&TGE=Y&TGR=Y&THI=Y&TFO=Y&TNT=Y&TPH=Y&TST=Y&TTO=Y&TTR=Y |fechaarchivo=28 de octubre de 2012 |urlmuerta=yes}}</ref>

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.<ref name="definicion1" /><ref name="definicion2" /><ref name="definicion3" />

=== Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales ===

No cualquier [[tupla|''n''-tupla]] de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una ''n''-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de los componentes del mismo medidos por diferentes [[observador]]es deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En [[mecánica newtoniana]] generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados [[vector axial|vectores axiales]] que realmente representan el [[dual de Hodge]] de magnitudes tensoriales antisimétricas. El [[momento angular]], el [[campo magnético]] y todas las magnitudes en cuya definición interviene el [[producto vectorial]] son en realidad pseudovectores o [[Vector axial|vectores axiales]].

En [[teoría de la relatividad especial]], solamente los [[cuadrivector|vectores tetradimensionales]] cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna [[transformación de Lorentz]] constituyen magnitudes vectoriales. Así los componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores <math>O\,</math> y <math>\bar{O}</math> deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:<br />
<br />
:<math>\bar{V}^\beta = \sum_{\alpha=0}^3 \Lambda_\alpha^\beta \ V^\alpha</math>
<br />
Donde <math>\Lambda_\alpha^\beta</math> son los componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el [[momento angular]], el [[campo eléctrico]] o el [[campo magnético]] de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino [[tensor]]iales.

== Véase también ==
{{lista de columnas|2|
* [[Vector (matemáticas y física)]]
* [[Producto escalar]]
* [[Producto vectorial]]
* [[Doble producto vectorial]]
* [[Producto mixto]]
* [[Producto tensorial]]
* [[Combinación lineal]]
* [[Sistema generador]]
* [[Dependencia e independencia lineal]]
* [[Base (álgebra)]]
* [[Ortogonalidad (matemática)]]
* [[Ortonormal|Base ortonormal]]
* [[Geometría analítica]]
* [[Vector aleatorio]]
}}

== Notas ==
{{listaref|group=lower-alpha}}

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{Cita libro |apellido=MacCluer | nombre = Barbara D. |título=Elementary Functional Analysis |año=2009 |editorial=Springer |isbn=978-1-4419-2753-8}}
* {{Cita libro |apellido1=Marsden | apellido2 = Tromba |título=Vector Calculus |año=2003 | edición = 5ª |editorial=Springer |isbn=978-0-7167-4992-9}}
* {{Cita libro |apellido=Meyer | nombre = Carl D. |título=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra |url=https://archive.org/details/matrixanalysisap0000meye |año=2000 |editorial=SIAM |isbn=978-0-898714-54-8}}
* {{Cita libro |apellidos=Ortega, Manuel R. |título=Lecciones de Física (4 volúmenes) |año=1989-2006 |editorial=Monytex |isbn=ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7}}
* {{Cita libro |apellidos=Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. |título=Physics |año=2001 |editorial=John Wiley & Sons |ubicación=New York |idioma=inglés |ISBN=0-471-32057-9}}
* {{Cita libro |apellidos=Serway, Raymond A. |título=Physics for Scientists and Engineers |url=https://archive.org/details/physicssciengv2p00serw |año=2004 |editorial=Brooks/Cole |isbn=0-534-40842-7 |edición=6.ª |idioma=inglés |apellidos2=Jewett, John W.}}
* {{Cita libro |apellido1=Shafarevich | apellido2 = Remizov |título=Linear Algebra and Geometry |año=2013 | edición = 1ª ed trad. al inglés (ebook) |editorial=Springer |isbn=978-3-642-30994-6}}
* {{Cita libro |apellido = Strang | nombre= Gilbert |título=Introduction to Linear Algebra |año=2009 |editorial=Wellesley-Cambridge Press |isbn=978-0-9802327-2-1 |edición=4.ª intl.|idioma=inglés}}
* {{Cita libro |apellidos=Tipler, Paul A. |título=Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) |año=2000 |editorial=Barcelona: Ed. Reverté |isbn=84-291-4382-3}}

== Enlaces externos ==
{{wikcionario}}
* {{MathWorld |id=Vector |title=Vector}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Objetos matemáticos]]
[[Categoría:Magnitudes físicas]]
[[Categoría:Vectores]]