Conjunto potencia

Plantilla:Distinguir En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto: Plantilla:Ecuación el conjunto potencia es: Plantilla:Ecuación El conjunto potencia de $A$ también se denomina conjunto de las partes de $A$ y se denota por $𝒫(A)$, donde $2^{|A|}$ es el cardinal de las partes de $A$, es decir, $|𝒫(A)|=2^{|A|}$.

Definición

El conjunto potencia de Plantilla:Math es la clase o colección de los subconjuntos de Plantilla:Math: Plantilla:Definición

Ejemplos

• El conjunto potencia de Plantilla:Math es:

$𝒫(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c\},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• El conjunto potencia de Plantilla:Math es:

$𝒫(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Propiedades

El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto. Además, no es equipotente con la base. Plantilla:Teorema

Cardinal

Siempre que el conjunto vacío no sea elemento de un conjunto, se cumple lo siguiente: El número de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del número de elementos en el conjunto original: Plantilla:Teorema Esta relación es el origen de la notación Plantilla:Math para el conjunto potencia. Una manera de deducirla es mediante los coeficientes binomiales. Si el conjunto Plantilla:Math tiene Plantilla:Math elementos, el número de subconjuntos con Plantilla:Math elementos es igual al número combinatorio Plantilla:Math. Un subconjunto de Plantilla:Math puede tener 0 elementos como mínimo, y Plantilla:Math como máximo, y por lo tanto:

$|𝒫(A)|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=2^n=2^{|A|}$

Esta relación puede demostrarse también observando que el conjunto potencia de Plantilla:Math es equivalente al conjunto de funciones con dominio Plantilla:Math y codominio Plantilla:Math, Plantilla:Math. Cada función corresponde entonces con un subconjunto, si se interpreta la imagen de un elemento como un indicador de si dicho elemento pertenece al subconjunto: 0 indica «no pertenece», 1 indica «pertenece». El número de estas funciones características de Plantilla:Math es precisamente Plantilla:Math, si Plantilla:Math.

En el caso de un conjunto infinito la identificación entre subconjuntos y funciones es igualmente válida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a Plantilla:Math, en términos de cardinales infinitos y su aritmética. El conjunto potencia siempre tiene un cardinal superior al del conjunto original, como establece el teorema de Cantor, por lo que nunca existe una aplicación biyectiva entre un conjunto y su conjunto potencia.

• El mínimo de los cardinales de conjuntos potencia es 1, exactamente el del conjunto potencia del conjunto vacío

Álgebra de Boole

Plantilla:AP El conjunto potencia de un conjunto dado tiene estructura de álgebra de Boole, considerando las operaciones de unión, intersección y complemento, y se usa habitualmente como ejemplo de dicha estructura. De hecho, un álgebra de Boole finita es siempre isomorfa al álgebra de Boole del conjunto potencia de algún conjunto finito. En el caso general —incluyendo álgebras infinitas—, un álgebra de Boole es siempre isomorfa a una subálgebra de un conjunto potencia.

Axioma del conjunto potencia

Plantilla:AP En teoría axiomática de conjuntos, la existencia del conjunto potencia en general no puede demostrarse a partir de propiedades más básicas, por lo que se postula a través de un axioma. Sin este axioma no es posible demostrar la existencia de conjuntos no numerables.

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro