Cosenos directores

vector $\overrightarrow{v}$ con los ángulos de dirección ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ .

En cálculo vectorial, los cosenos directores de un vector en el espacio euclídeo ${ℝ}^3$ son los valores del coseno de sus ángulos de dirección, es decir, el ángulo entre el vector y los tres vectores de base canónica ${\overrightarrow{e}}_1$, ${\overrightarrow{e}}_2$, ${\overrightarrow{e}}_3$ .

Propiedades

Para el vector $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$, los cosenos de dirección son

$\cos {\alpha }_1=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{e}}_1}{|\overrightarrow{v}||{\overrightarrow{e}}_1|}=\frac{v_1}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$ ,

$\cos {\alpha }_2=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{e}}_2}{|\overrightarrow{v}||{\overrightarrow{e}}_2|}=\frac{v_2}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$ ,

$\cos {\alpha }_3=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{e}}_3}{|\overrightarrow{v}||{\overrightarrow{e}}_3|}=\frac{v_3}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{v_3}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$ ,

tal y como se puede ver en los triángulos de colores de la figura adyacente. El vector $\overrightarrow{v}$ puede expresarse por su magnitud y la dirección de los cosenos,

$\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|\left(\begin{array}{c}\cos {\alpha }_1\\ \cos {\alpha }_2\\ \cos {\alpha }_3\end{array}\right)$ .

Cuando se divide por $|\overrightarrow{v}|$, se puede ver que los cosenos de dirección son precisamente las componentes del vector unitario ${\overrightarrow{e}}_v$ en la dirección de $\overrightarrow{v}$,

${\overrightarrow{e}}_v=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}=\left(\begin{array}{c}\cos {\alpha }_1\\ \cos {\alpha }_2\\ \cos {\alpha }_3\end{array}\right)$ .

Puesto que $|{\overrightarrow{e}}_v|=1$, se tiene que

${\cos }^2{\alpha }_1+{\cos }^2{\alpha }_2+{\cos }^2{\alpha }_3=1$ .

Dado que los ángulos de dirección están limitados al rango entre $0$ y $\pi$ y el coseno es reversible en este intervalo, los tres ángulos de dirección se dan también con los cosenos de dirección.