Matriz nilpotente

En álgebra lineal, una matriz $N\in M_{n.n}(K)$ se dice que es nilpotente si existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $N^k=0$. Se llama índice de nilpotencia o se dice que $N$ es de índice (o de orden) $k$ y se define como $min\{k\in \mathbb{N}/N^k=0\}$.

Teorema

Si $A$ es una matriz nilpotente, entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

Demostración

Si A es una matriz nilpotente de orden k, se sigue que $A^k=0$. Por lo tanto, $\det (A^k)=0$. Luego, $\det (A{)}^k=0$ por lo que $\det (A)=0$.

El recíproco no es cierto; por ejemplo, la matriz Plantilla:Ecuación tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.

Ejemplos

La matriz

$M=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

es nilpotente, ya que M² = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

es nilpotente, con

$N^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de ceros en las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices

$\left[\begin{array}{cc}6& -9\\ 4& -6\end{array}\right]\text{y}\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right]$

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Propiedades adicionales

• Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:

donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.

• Si N es nilpotente, entonces

donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y

para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.

• Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.

Generalizaciones

Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que Plantilla:Ecuación Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.

Referencias

• Matriz nilpotente y transformación nilpotente en PlanetMath. (en inglés)