Matriz transpuesta

La traspuesta A^T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A^T)^T = A.

Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. La matriz traspuesta, denotada con $A^t$.

Está dada por:

$(A^t{)}_{ij}=A_{ji},1\le i\le n,1\le j\le m$

En donde el elemento $a_{ji}$ de la matriz original $A$ se convertirá en el elemento $a_{ij}$ de la matriz traspuesta $A^t$.

Ejemplos

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right]$

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

${\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 1& 0& 4\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 2\\ 0& 2& 3\\ 0& 3& 4\\ 3& 3& 1\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 1& 3& 2& 3& 3\\ 4& 4& 0& 2& 3& 4& 1\end{array}\right]$

Propiedades

Involutiva

• Para toda matriz $A$,

$(A^t{)}^t=A$

Distributiva

• Sean A y B matrices con elementos en un anillo $𝒜$ y sea $c\in 𝒜$:

$(A+B{)}^t=A^t+B^t$

Lineal

$(cA{)}^t=c{A}^t$

• Para el producto usual de las matrices $A$ y $B$,

$(AB{)}^t=B^t{A}^t$

• Si $A$ es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

$A^{t}A$

es semidefinida positiva. Plantilla:Demostración

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada $A$ es simétrica si coincide con su traspuesta:

$A^t=A$

Una matriz cuadrada $A$ es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

$A^t=-A$

Si los elementos de la matriz $A$ son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

$A^t=\overline{A},A=(\overline{A}{)}^t=A^{†}$

y antihermítica si

$A^t=-\overline{A}$

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

• La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
• Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.
• Trasposición de un operador lineal

Enlaces externos

• Plantilla:Springer