Diferencia entre revisiones de «Repunit»

Revisión actual - 04:35 29 abr 2024

En matemáticas recreativas, un repituno (en inglés, repunit) es un número como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (la forma más sencilla de repidígito). El término en inglés proviene de repeated unit y fue acuñado en 1966 por Albert H. Beiler.

Un primo repituno es un repituno que también es un número primo. En binario, estos números son los primos de Mersenne.

Definición

Los repitunos en base b se definen como

R_{n}^{(b)} = \frac{b^{n} - 1}{b - 1} para b \geq 2, n \geq 1 .

Así, el número R_n^(b) consta de n ejemplares del dígito 1 en base b. Los dos primeros repitunos en base b para n=1 y n=2 son

R_{1}^{(b)} = \frac{b - 1}{b - 1} = 1 y R_{2}^{(b)} = \frac{b^{2} - 1}{b - 1} = b + 1 para b \geq 2 .

En particular, los repitunos decimales (en base 10) a quienes se les suele llamar simplemente repitunos se definen como

R_{n} = R_{n}^{(10)} = \frac{1 0^{n} - 1}{10 - 1} = \frac{1 0^{n} - 1}{9} para n \geq 1 .

Así, el número R_n = R_n⁽¹⁰⁾ consta de n ejemplares del dígito 1 en base 10. La sucesión de repitunos en base diez comienza con

1, 11, 111, 1111, ... Plantilla:OEIS.

Análogamente, los repitunos en base 2 se definen como

R_{n}^{(2)} = \frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n} - 1 para n \geq 1 .

Así, el número R_n⁽²⁾ consta de n ejemplares del dígito 1 en base 2. De hecho, los repitunos en base 2 son los ya conocidos números de Mersenne M_n = 2ⁿ − 1.

Propiedades

En cualquier base, cualquier repituno que tenga un número compuesto de dígitos es necesariamente compuesto. Solamente los repitunos (en cualquier base) que tengan un número primo de dígitos pueden ser primos (condición necesaria pero no suficiente). Por ejemplo,
R₃₅^(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

dado que 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Esta factorización no depende de la base b en la que se exprese el repituno.

Cualquier múltiplo positivo del repituno R_n^(b) contiene al menos n dígitos distintos de cero en base b.

Los únicos números conocidos de al menos 3 dígitos que son simultáneamente repitunos en más de una base son 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2). La conjetura de Goormaghtigh dice que solamente hay esos dos casos.

Utilizando el principio del palomar se puede demostrar fácilmente que para cada n y b tales que n y b son primos entre sí existe un repituno en base b que es múltiplo de n. Para ver esto considérense los repitunos R₁^(b),...,R_n^(b). Supongamos que ninguno de los R_k^(b) es divisible por n. Como hay n repitunos pero solamente n-1 restos distintos de cero módulo n, existen dos repitunos R_i^(b) y R_j^(b) con 1≤i<j≤n tales que R_i^(b) y R_j^(b) tienen el mismo resto módulo n. Se sigue entonces que R_j^(b) - R_i^(b) tiene resto 0 módulo n, es decir, es divisible por n. R_j^(b) - R_i^(b) consta de j - i unos seguidos por i ceros. Así, R_j^(b) - R_i^(b) = R_j-i^(b) x 10ⁱ = R_j-i^(b) x bⁱ . Dado que n divide el lado de la izquierda, también divide el lado de la derecha, y como n y b son primos entre sí, n debe dividir a R_j-i^(b) contradiciendo la suposición inicial.
La conjetura de Feit-Thompson afirma que R_q^(p) nunca divide a R_p^(q) para dos primos distintos p y q.

Factorización de los repitunos decimales

La siguiente lista recoge la descomposición en factores primos de los sucesivos repitunos (R_n = 1, 11, 111, 1111, ...) . Los factores primos coloreados en Plantilla:Color indican que son "nuevos factores", es decir, que el factor primo coloreado de rojo divide a R_n pero que no divide a ningún R_k para todo k < n. Plantilla:OEIS^[1]

R₁ =	1
R₂ =	Plantilla:Color
R₃ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₄ =	11 · Plantilla:Color
R₅ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₆ =	3 · Plantilla:Color · 11 · Plantilla:Color · 37
R₇ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₈ =	11 · Plantilla:Color · 101 · Plantilla:Color
R₉ =	3² · 37 · Plantilla:Color
R₁₀ =	11 · 41 · 271 · Plantilla:Color
R₁₁ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₁₂ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · Plantilla:Color
R₁₃ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₁₄ =	11 · 239 · 4649 · Plantilla:Color
R₁₅ =	3 · Plantilla:Color · 37 · 41 · 271 · Plantilla:Color
R₁₆ =	11 · Plantilla:Color · 73 · 101 · 137 · Plantilla:Color
R₁₇ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₁₈ =	3² · 7 · 11 · 13 · Plantilla:Color · 37 · Plantilla:Color · 333667
R₁₉ =	Plantilla:Color
R₂₀ =	11 · 41 · 101 · 271 · Plantilla:Color · 9091 · Plantilla:Color
R₂₁ =	3 · 37 · Plantilla:Color · 239 · Plantilla:Color · 4649 · Plantilla:Color
R₂₂ =	11² · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · 21649 · 513239
R₂₃ =	Plantilla:Color
R₂₄ =	3 · 7 · 11 · 13 · 73 · 101 · 137 · 9901 · Plantilla:Color
R₂₅ =	41 · 271 · Plantilla:Color · Plantilla:Color · 182521213001

R₂₆ =	11 · 53 · 79 · Plantilla:Color · 265371653 · Plantilla:Color
R₂₇ =	3³· 37 · Plantilla:Color · 333667 · Plantilla:Color
R₂₈ =	11 · Plantilla:Color · 101 · Plantilla:Color · 239 · 4649 · 909091 · Plantilla:Color
R₂₉ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₃₀ =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · Plantilla:Color · Plantilla:Color · 271 · Plantilla:Color · 9091 · 2906161
R₃₁ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₃₂ =	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · 5882353
R₃₃ =	3 · 37 · Plantilla:Color · 21649 · 513239 · Plantilla:Color
R₃₄ =	11 · Plantilla:Color · Plantilla:Color · 2071723 · 5363222357 · Plantilla:Color
R₃₅ =	41 · Plantilla:Color · 239 · 271 · 4649 · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₃₆ =	3² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · Plantilla:Color
R₃₇ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₃₈ =	11 · Plantilla:Color · Plantilla:Loop
R₃₉ =	3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · Plantilla:Color
R₄₀ =	11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₄₁ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₄₂ =	3 · 7² · 11 · 13 · 37 · 43 · Plantilla:Color · 239 · 1933 · Plantilla:Color · 4649 · Plantilla:Color · 909091 · 10838689
R₄₃ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₄₄ =	11² · 23 · Plantilla:Color · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₄₅ =	3² · 31 · 37 · 41 · 271 · Plantilla:Color · 333667 · 2906161 · Plantilla:Color
R₄₆ =	11 · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Color · Plantilla:Loop
R₄₇ =	Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₄₈ =	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · Plantilla:Color
R₄₉ =	239 · 4649 · Plantilla:Color · Plantilla:Color
R₅₀ =	11 · 41 · Plantilla:Color · 271 · Plantilla:Color · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · Plantilla:Color

Los factores primos más pequeños de los sucesivos R_n son:

1, 11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, 3, 11, 107, 3, 41, 11, 3, 11, 2559647034361, 3, 733, 11, 3, 11, 41, 3, 493121, 11, 3, 11, 241573142393627673576957439049, 3, 12171337159, 11, 3, ... Plantilla:OEIS

Primos repitunos

La definición de repitunos tuvo su origen en las matemáticas recreativas al buscar sus factores primos.

Es fácil demostrar que si n es divisible por a, entonces R_n^(b) es divisible por R_a^(b):

R_{n}^{(b)} = \frac{1}{b - 1} \prod_{d | n} Φ_{d} (b)

donde $Φ_{d} (x)$ es el d-ésimo polinomio ciclotómico y d recorre los divisores de n. Para p primo, $Φ_{p} (x) = \sum_{i = 0}^{p - 1} x^{i}$ , que tiene la forma esperada de un repituno cuando se sustituye x por b.

Por ejemplo, 9 es divisible por 3, y así R₉ es divisible por R₃. De hecho, 111111111 = 111 · 1001001. Los polinomios ciclotómicos correspondientes $Φ_{3} (x)$ y $Φ_{9} (x)$ son $x^{2} + x + 1$ y $x^{6} + x^{3} + 1$ respectivamente. Así, para que R_n sea primo, n debe ser necesariamente primo.

Pero no es suficiente con que n sea primo; por ejemplo, R₃ = 111 = 3 · 37 no es primo. Excepto en este caso de R₃, p solamente puede dividir a R_n para n primo si p = 2kn + 1 para algún k.

Primos repitunos decimales

R_n es primo para n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (sucesión A004023 en OEIS). R₄₉₀₈₁ y R₈₆₄₅₃ son probablemente primos. El 3 de abril de 2007, Harvey Dubner (quien también encontró R₄₉₀₈₁) anunció que R₁₀₉₂₉₇ es un probable primo.^[2] Luego anunció que no hay ningún otro primo del mismo tipo desde R₈₆₄₅₃ hasta R₂₀₀₀₀₀.^[3] El 15 de julio de 2007, Maksym Voznyy anunció que R₂₇₀₃₄₃ era probablemente primo,^[4] junto con su intención de llegar hasta 400000. En noviembre de 2012 se han comprobado todos los demás candidatos hasta R_2500000, pero no se ha encontrado ningún probable primo hasta ahora.

Se ha conjeturado que existen infinitos primos repitunos^[5] dado que suelen aparecer tan frecuentemente como el teorema de los números primos predice: el exponente del N-ésimo primo repituno es generalmente alrededor de un múltiplo fijo del exponente del (N-1)-ésimo.

Los primos repitunos son un subconjunto trivial de los primos permutables, es decir, primos que siguen siendo primos después de cualquier permutación de sus dígitos.

Primos repitunos en base 2

Plantilla:AP

Los primos repitunos en base 2 se llaman primos de Mersenne.

Primos repitunos en base 3

Los primeros primos repitunos en base 3 son:

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... Plantilla:OEIS,

que corresponden a los siguientes valores de $n$ :

3, 7, 13, 71, 103, ... Plantilla:OEIS.

Primos repitunos en base 4

El único primo repituno en base 4 es 5 (escrito 11 en base 4). $4^{n} - 1 = (2^{n} + 1) (2^{n} - 1)$ , y 3 siempre divide a $2^{n} + 1$ cuando n es impar y a $2^{n} - 1$ cuando n es par. Para n mayor que 2, tanto $2^{n} + 1$ como $2^{n} - 1$ son mayores que 3, así que eliminando el factor 3 todavía quedan dos factores mayores que 1, así que el número no puede ser primo.

Primos repitunos en base 5

Los primeros primos repitunos en base 5 son

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 ..., Plantilla:OEIS

que corresponden a los siguientes valores de $n$

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... Plantilla:OEIS.

Primos repitunos en base 6

Los primeros primos repitunos en base 6 son

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ..., Plantilla:OEIS

que corresponden a los siguientes valores de $n$ :

2, 3, 7, 29, 71, ... Plantilla:OEIS

Primos repitunos en base 7

Los primeros primos repitunos en base 7 son

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

que corresponden a los siguientes valores de $n$ :

5, 13, 131, 149, ... Plantilla:OEIS

Primos repitunos en base 8

El único primo repituno en base 8 es 73 (escrito 111 en base 8). $8^{n} - 1 = (4^{n} + 2^{n} + 1) (2^{n} - 1)$ , y 7 divide a $4^{n} + 2^{n} + 1$ cuando n no es divisible por 3 y a $2^{n} - 1$ cuando n es un múltiplo de 3.

Primos repitunos en base 9

No existe ninguno. $9^{n} - 1 = (3^{n} + 1) (3^{n} - 1)$ , y 2 siempre divide tanto a $3^{n} + 1$ como a $3^{n} - 1$ .

Primos repitunos en base 12

Los primeros primos repitunos en base 12 son

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 435700623537534460534556100566709740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

que corresponden a los siguientes valores de $n$ :

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, ... Plantilla:OEIS

Primos repitunos en base 20

Los únicos primos o probablemente primos repitunos en base 20 son los correspondientes a estos valores de $n$ :

3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403 Plantilla:OEIS

Los tres primeros repitunos en base 20 primos escritos en expresión decimal son

421, 10778947368421 y 689852631578947368421

Bases b tales que R_p(b) es primo para p primo

La base más pequeña $b$ para la que $R_{p} (b)$ es primo (donde $p$ es el primo $n$ ésimo) figura a continuación

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12 , 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606 , 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195 , 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3 , ... Plantilla:OEIS

La base más pequeña $b$ tal que $R_{p} (- b)$ es primo (donde $p$ es el primo $n$ ésimo) figura a continuación

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70 , 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5 , 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329 , 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164 , ... Plantilla:OEIS

$p$	Bases $b$ tales que $R_{p} (b)$ es primo (solo se listan bases positivas)	Secuencia OEIS
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	Plantilla:OEIS
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	Plantilla:OEIS
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	Plantilla:OEIS
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...	Plantilla:OEIS
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...	Plantilla:OEIS
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...	Plantilla:OEIS
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...	Plantilla:OEIS
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	Plantilla:OEIS
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	Plantilla:OEIS
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	Plantilla:OEIS
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	Plantilla:OEIS
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	Plantilla:OEIS
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	Plantilla:OEIS
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	Plantilla:OEIS
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	Plantilla:OEIS
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	Plantilla:OEIS
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	Plantilla:OEIS
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	Plantilla:OEIS
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	Plantilla:OEIS
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	Plantilla:OEIS
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	Plantilla:OEIS
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	Plantilla:OEIS
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	Plantilla:OEIS
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	Plantilla:OEIS
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	Plantilla:OEIS
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Lista de números primos repitunos base b

El primo más pequeño $p > 2$ tal que $R_{p} (b)$ es primo figura en la lista siguiente (comenzando con $b = 2$ , 0 si tal $p$ no existe)

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, ... Plantilla:OEIS

El primo más pequeño $p > 2$ tal que $R_{p} (- b)$ es primo figura en la lista siguiente (comienza con $b = 2$ , 0 si no existe tal $p$ , signo de interrogación si este término es actualmente desconocido)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, ... Plantilla:OEIS

$b$	Números $n$ tales que $R_{n} (b)$ es primo (algunos términos grandes solo corresponden a probables primos, estos $n$ se han comprobado hasta 100000)	Secuencia OEIS
−50	1153, 26903, 56597, ...	Plantilla:OEIS
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	Plantilla:OEIS
−48	2^*, 5, 17, 131, 84589, ...	Plantilla:OEIS
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	Plantilla:OEIS
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	Plantilla:OEIS
−45	103, 157, 37159, ...	Plantilla:OEIS
−44	2^*, 7, 41233, ...	Plantilla:OEIS
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	Plantilla:OEIS
−42	2^*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	Plantilla:OEIS
−41	17, 691, 113749, ...	Plantilla:OEIS
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	Plantilla:OEIS
−39	3, 13, 149, 15377, ...	Plantilla:OEIS
−38	2^*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	Plantilla:OEIS
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	Plantilla:OEIS
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	Plantilla:OEIS
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	Plantilla:OEIS
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, 313553, ...	Plantilla:OEIS
−32	2^* (no otros)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	Plantilla:OEIS
−30	2^*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	Plantilla:OEIS
−29	7, 112153, 151153, ...	Plantilla:OEIS
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	Plantilla:OEIS
−27	(ninguno)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	Plantilla:OEIS
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	Plantilla:OEIS
−24	2^*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	Plantilla:OEIS
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	Plantilla:OEIS
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	Plantilla:OEIS
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	Plantilla:OEIS
−20	2^*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	Plantilla:OEIS
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	Plantilla:OEIS
−18	2^*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	Plantilla:OEIS
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	Plantilla:OEIS
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	Plantilla:OEIS
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	Plantilla:OEIS
−14	2^*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	Plantilla:OEIS
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	Plantilla:OEIS
−12	2^*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	Plantilla:OEIS
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, 2264611...	Plantilla:OEIS
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787, ...	Plantilla:OEIS
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029, ...	Plantilla:OEIS
−8	2^* (no otros)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	Plantilla:OEIS
−6	2^*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	Plantilla:OEIS
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	Plantilla:OEIS
−4	2^*, 3 (no otros)
−3	2^*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963, ...	Plantilla:OEIS
−2	3, 4^*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, 15135397, ...	Plantilla:OEIS
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	Plantilla:OEIS
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 3598867, ...	Plantilla:OEIS
4	2 (no otros)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...	Plantilla:OEIS
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	Plantilla:OEIS
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	Plantilla:OEIS
8	3 (no otros)
9	(ninguno)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ..., 5794777, ...	Plantilla:OEIS
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	Plantilla:OEIS
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	Plantilla:OEIS
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503, ...	Plantilla:OEIS
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	Plantilla:OEIS
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	Plantilla:OEIS
16	2 (no otros)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523, ...	Plantilla:OEIS
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	Plantilla:OEIS
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	Plantilla:OEIS
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, 984349, ...	Plantilla:OEIS
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	Plantilla:OEIS
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	Plantilla:OEIS
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	Plantilla:OEIS
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	Plantilla:OEIS
25	(ninguno)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	Plantilla:OEIS
27	3 (no otros)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	Plantilla:OEIS
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	Plantilla:OEIS
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	Plantilla:OEIS
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571, ...	Plantilla:OEIS
32	(ninguno)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	Plantilla:OEIS
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	Plantilla:OEIS
35	313, 1297, 568453,^[6] ...
36	2 (no otros)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341, ...	Plantilla:OEIS
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	Plantilla:OEIS
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	Plantilla:OEIS
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	Plantilla:OEIS
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	Plantilla:OEIS
42	2, 1319, 337081,^[6] ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	Plantilla:OEIS
44	5, 31, 167, 100511, ...	Plantilla:OEIS
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, 216551, ...	Plantilla:OEIS
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	Plantilla:OEIS
47	127, 18013, 39623, ...	Plantilla:OEIS
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, 200443, ...	Plantilla:OEIS
49	(ninguno)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, 210319, ...	Plantilla:OEIS

^* Los repitunos con base negativa y n par son negativos. Si su valor absoluto es primo, se incluyen arriba y se marcan con un asterisco. No están incluidos en las secuencias OEIS correspondientes.

Para más información, véase.^[7]^[8]^[9]^[10]

Factorización algebraica de números repitunos generalizados

Si b es una potencia perfecta (puede escribirse como mⁿ, con m, n enteros, n > 1) difiere de 1, entonces hay como mucho una repituno en base-b. Si n es una potencia prima (puede escribirse como p^r, con p primo, r entero; y además p y r > 0) , entonces todos los repitunos en base -b no son primos aparte de R_p y R₂. R_p puede ser primo o compuesto. Ejemplos del primer caso (b= −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, etc.,) y ejemplos del segundo (b= −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243 , 289, etc.,). R₂ puede ser primo (cuando p difiere de 2) solo si b es negativo, una potencia de −2, por ejemplo, b = −8, −32, −128, −8192, etc. De hecho, el R₂ también puede ser compuesto, por ejemplo, b= −512, −2048, −32768, etc. Si n no es una potencia prima, entonces no existe base -b que sea un repituno primo, por ejemplo, b= 64, 729 (con n= 6), b= 1024 (con n= 10), y b= −1 o 0 (con n cualquier número natural). Otra situación especial es b= −4k⁴, con k entero positivo, que tiene la factorización aurifeuilleana, por ejemplo, b= −4 (con k= 1, entonces R₂ y R₃ son primos), y b= −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (con k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), entonces no existe ningún primo repituno en base -b. También se conjetura que cuando b no es una potencia perfecta ni −4k⁴ con k entero positivo, entonces hay infinitos números primos repitunos de base -b.

La conjetura generalizada del repituno

Una conjetura relacionada con los primos repituno generalizados:^[11]^[12] (la conjetura predice dónde está el próximo primo de Mersenne generalizado, si la conjetura es verdadera, entonces hay infinitos primos repitunos para todas las bases $b$ )

Para cualquier número entero $b$ , que satisfaga las condiciones:

$| b | > 1$ .
$b$ no es un potencia perfecta (dado que cuando $b$ es una potencia perfecta de $r$ , se puede demostrar que hay como máximo un valor de $n$ tal que $\frac{b^{n} - 1}{b - 1}$ es primo, y este valor de $n$ es el mismo $r$ o una raíz de $r$ )
$b$ no tiene el formato $- 4 k^{4}$ (si es así, entonces el número tiene factorización aurifeuilleana)

tiene números primos repitunos generalizados de la forma

R_{p} (b) = \frac{b^{p} - 1}{b - 1}

para $p$ primo, los números primos se distribuirán cerca de la línea de mejor ajuste

Y = G \cdot \log_{| b |} (\log_{| b |} (R_{(b)} (n))) + C,

donde el límite $n \to \infty$ , $G = \frac{1}{e^{γ}} = 0.561459483566 . . .$

y hay alrededor de

(\log_{e} (N) + m \cdot \log_{e} (2) \cdot \log_{e} (\log_{e} (N)) + \frac{1}{\sqrt{N}} - δ) \cdot \frac{e^{γ}}{\log_{e} (| b |)}

repitunos primos en base-b menos que N.

$e$ es la base de los logaritmos naturales.
$γ$ es la constante de Euler-Mascheroni.
$\log_{| b |}$ es el logaritmo en base $| b |$
$R_{(b)} (n)$ es el primo de repetición generalizado $n$ en base b (con primo p)
$C$ es una constante de ajuste de datos que varía con $b$ .
$δ = 1$ si $b > 0$ , $δ = 1.6$ si $b < 0$ .
$m$ es el mayor número natural tal que $- b$ es una $2^{m - 1}$ ésima potencia.

También se tienen las siguientes 3 propiedades:

El número de números primos de la forma $\frac{b^{n} - 1}{b - 1}$ (con $p$ primo) menores o iguales a $n$ es aproximadamente $e^{γ} \cdot \log_{| b |} (\log_{| b |} (n))$ .
El número esperado de números primos de la forma $\frac{b^{n} - 1}{b - 1}$ con el primo $p$ entre $n$ y $| b | \cdot n$ es aproximadamente $e^{γ}$ .
La probabilidad de que un número de la forma $\frac{b^{n} - 1}{b - 1}$ sea primo (para primos $p$ ) es de $\frac{e^{γ}}{p \cdot \log_{e} (| b |)}$ .

Historia

Aunque todavía no se conocían por ese nombre, los repitunos en base 10 fueron estudiados por muchos matemáticos durante el Plantilla:Siglo en un esfuerzo de desarrollar y predecir el modelo cíclico de los decimales periódicos.^[13]

Desde muy temprano se encontró que para cualquier primo p mayor que 5, el período de la expansión decimal de 1/p es igual a la longitud del número repìtuno más pequeño que es divisible por p. Hacia 1860 se habían publicado tablas de los periodos de los recíprocos de los primos hasta 60000 que permitieron la factorización por matemáticos como Reuschle de todos los repitunos hasta R₁₆ y algunos más grandes. Hacia 1880, incluso R₁₇ se había factorizado^[14] y es curioso que, aunque Édouard Lucas demostró que (el inverso de) ningún primo inferior a tres millones tenía período diecinueve, no hubo ningún intento de comprobar la primalidad de un repituno hasta comienzos del Plantilla:Siglo. El matemático norteamericano Oscar Hoppe probó que R₁₉ es primo en 1916^[15] y Lehmer y Kraitchik, de forma independiente, hallaron que R₂₃ es primo en 1929.

No se registran ulteriores avances en el estudio de los repitunos hasta los años 1960, cuando las computadoras permitieron hallar muchos factores nuevos de repitunos y corregir los vacíos en las tablas anteriores de períodos de primos. Se encontró por los años 60 que R₃₁₇ era un probable primo y se demostró 11 años más tarde, cuando se demostró que R₁₀₃₁ era el único posible primo repituno que quedaba con menos de 10000 dígitos. Se demostró que era primo en 1986, pero la búsqueda de primos repitunos adicionales en las siguientes décadas falló repetidamente. Sin embargo, hubo un desarrollo importante en el campo de los repitunos generalizados, lo que produjo un gran número de primos nuevos y probables primos.

Desde 1999, se han hallado cuatro posibles primos repitunos, pero es improbable que pueda probarse el carácter primo de cualquiera de ellos en un futuro previsible por su enorme tamaño.

El Proyecto de Cunningham es un esfuerzo por documentar las factorizaciones de (entre otros números) de los repitunos en las bases 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, y 12.

Números Demlo

Dattatreya Ramachandra Kaprekar ha definido los números Demlo como la concatenación de una parte izquierda, media y derecha, donde la parte izquierda y derecha deben tener la misma longitud (hasta un posible cero a la izquierda) con forma de número repituno, y el de la parte central puede contener cualquier número adicional de este dígito repetido.^[16]

Llevan el nombre de la estación de tren de Demlo (ahora llamada Dombivili), situada a 30 millas de Bombay en el entonces Great Indian Peninsula Railway, donde Kaprekar comenzó a investigarlos.

Llama maravillosos números de Demlo a los de la forma 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. El hecho de que estos números sean los cuadrados de los repitunos ha llevado a algunos autores a llamar números de Demlo a la secuencia infinita de estos,^[17] 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., Plantilla:OEIS, aunque se puede comprobar que no son números Demlo para p = 10, 19, 28, ...

Véase también

Repdigit
Matemática recreativa
Número periódico
polinomio todo en uno - otra generalización
Números de la forma: 100...001

Referencias

Plantilla:Listaref

Enlaces externos

Sitios web

The main tables of the Cunningham project.
Plantilla:Prime Pages
Repunits and their prime factors at World!Of Numbers.

Libros

S. Yates, Repunits and repetends. ISBN 0-9608652-0-9.
A. Beiler, Recreations in the theory of numbers. ISBN 0-486-21096-0. Chapter 11, of course.
Paulo Ribenboim, The New Book Of Prime Number Records. ISBN 0-387-94457-5

Plantilla:Control de autoridades

↑ Para más información, véase Factorization of repunit numbers.
↑ Harvey Dubner, New Repunit R(109297)
↑ Harvey Dubner, Repunit search limit
↑ Maksym Voznyy, New PRP Repunit R(270343)
↑ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: repunit" at The Prime Pages.
↑ ^6,0 ^6,1 Plantilla:Cite web
↑ Repitunos primos en bases −50 a 50
↑ Plantilla:Cita web
↑ Plantilla:Cita web
↑ Repitunos primos en bases −200 a −2
↑ Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture
↑ Generalized repituno Conjecture
↑ Dickson, Leonard Eugene and Cresse, G.H.; History of the Theory of Numbers; pp. 164-167 ISBN 0-8218-1934-8
↑ Ibid
↑ Francis, Richard L.; "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers" in The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 3. (May, 1988), pp. 240-246.
↑ Plantilla:Harv,Plantilla:Harvnb
↑ Plantilla:MathWorld

[1] Para más información, véase Factorization of repunit numbers.

[2] Harvey Dubner, New Repunit R(109297)

[3] Harvey Dubner, Repunit search limit

[4] Maksym Voznyy, New PRP Repunit R(270343)

[5] Chris Caldwell, "The Prime Glossary: repunit" at The Prime Pages.

[TOPPRP-6] 6,0 ^6,1 Plantilla:Cite web

[7] Repitunos primos en bases −50 a 50

[8] Plantilla:Cita web

[9] Plantilla:Cita web

[10] Repitunos primos en bases −200 a −2

[11] Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture

[12] Generalized repituno Conjecture

[13] Dickson, Leonard Eugene and Cresse, G.H.; History of the Theory of Numbers; pp. 164-167 ISBN 0-8218-1934-8

[14] Ibid

[15] Francis, Richard L.; "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers" in The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 3. (May, 1988), pp. 240-246.

[16] Plantilla:Harv,Plantilla:Harvnb

[17] Plantilla:MathWorld

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Diferencia entre revisiones de «Repunit»

Revisión actual - 04:35 29 abr 2024

Sumario

Definición

Propiedades

Factorización de los repitunos decimales

Primos repitunos

Primos repitunos decimales

Primos repitunos en base 2

Primos repitunos en base 3

Primos repitunos en base 4

Primos repitunos en base 5

Primos repitunos en base 6

Primos repitunos en base 7

Primos repitunos en base 8

Primos repitunos en base 9

Primos repitunos en base 12

Primos repitunos en base 20

Bases b tales que R_p(b) es primo para p primo

Lista de números primos repitunos base b

Factorización algebraica de números repitunos generalizados

La conjetura generalizada del repituno

Historia

Números Demlo

Véase también

Referencias

Enlaces externos

Sitios web

Libros

Menú de navegación

Diferencia entre revisiones de «Repunit»

Revisión actual - 04:35 29 abr 2024

Definición

Propiedades

Factorización de los repitunos decimales

Primos repitunos

Primos repitunos decimales

Primos repitunos en base 2

Primos repitunos en base 3

Primos repitunos en base 4

Primos repitunos en base 5

Primos repitunos en base 6

Primos repitunos en base 7

Primos repitunos en base 8

Primos repitunos en base 9

Primos repitunos en base 12

Primos repitunos en base 20

Bases b tales que Rp(b) es primo para p primo

Lista de números primos repitunos base b

Factorización algebraica de números repitunos generalizados

La conjetura generalizada del repituno

Historia

Números Demlo

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Bases b tales que R_p(b) es primo para p primo