Función gamma inversa

Gráfica de 1/Γ(x) a lo largo del eje real.

Función gamma inversa 1/Γ(z) en el plano complejo. El color de un punto z codifica el valor de 1/Γ(z). Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono denota el valor del argumento.

En matemática, la función gamma inversa es la función

$f(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)},$

donde $\mathrm{\Gamma }(z)$ denota la función gamma. Puesto que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en cualquier lugar del plano complejo, su inversa es una función entera. La inversa es usada a veces como punto de inicio para cálculos numéricos de la función gamma, y unas pocas librerías proporcionan separadamente ésta de la función gamma normal.

Karl Weierstrass llamó a la función gamma inversa el "factorielle" y la usó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass.

Representación en forma de serie de Taylor

La expansión en forma de serie de Taylor en torno a 0 viene dada por

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z+\gamma z^2+(\frac{{\gamma }^2}{2}-\frac{{\pi }^2}{12})z^3+\cdots$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. Para k > 2, el coeficiente a_k para el término z^k puede ser calculado recursivamente como

$a_k=k{a}_1{a}_k-a_2{a}_{k-1}+\sum _{j=2}^{k-1}(-1{)}^j\zeta (j)a_{k-j}$

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann.

Representación en forma de integral de contorno

Una representación integral dada por Hermann Hankel es

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\frac{i}{2\pi }{\oint }_C(-t{)}^{-z}{e}^{-t}dt,$

donde C es el camino que rodea 0 en la dirección positiva, comenzando y volviendo al infinito positivo con respecto del corte de rama a lo largo del eje real positivo. De acuerdo con Schmelzer y Trefethen, la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores algoritmos para calcular la función gamma.

Integral a lo largo del eje real

La integración de la función gamma inversa a lo largo del eje real positivo da el valor

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}dx\approx 2.80777024,$

el cual es conocido como constante de Fransén–Robinson.

Véase también

• Función de Bessel–Clifford
• Distribución gamma inversa

Referencias

• Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
• Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Plantilla:Wayback
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
• Plantilla:MathWorld