Test de convergencia

Plantilla:Referencias En matemáticas, los test de convergencia son métodos para evaluar la convergencia, la convergencia condicional, la convergencia absoluta, el intervalo de convergencia y divergencia de una serie infinita.

Lista de tests

Límite del sumando

También denominado test preliminar. Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir, si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$ entonces la serie diverge. En este sentido, las sumas parciales son Sucesión de Cauchy si y solo si este límite existe y es igual a cero. El test no es concluyente si el límite del sumando es cero.

Criterio de d'Alembert

Suponemos que existe $r$ tal que: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie es divergente. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Criterio de la raíz de Cauchy

Definimos r cómo:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe y es del mismo valor).

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Test de la integral

La serie se puede comparar con una integral y establecer de esta forma la convergencia o divergencia de la misma. Si $f:[1,\mathrm{\infty })\to {ℝ}_{+}$ es una función positiva y monótona decreciente tal que $f(n)=a_n$. Si

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. De esta forma, la serie converge si y solo si la integral converge.

Test por comparación directa

Si la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ es absolutamente convergente y $|a_n|\le |b_n|$ para a n suficientemente grande, entonces la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge absolutamente.

Test de comparación de límites

Si $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}>0$, y el límite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existe y es diferente de cero, entonces $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge si y solo si $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea $\left\{a_n\right\}$ una secuencia positiva no creciente. Entonces la suma $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge si y solo si la suma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ converge. Además, si convergen, entonces $A\le A^{*}\le 2A$.

Test de Abel

Suponiendo que las siguientes condiciones se cumplen:

1. $\sum a_n$ es una serie convergente,
2. $b_n$ es una sucesión monótona y limitada

Entonces $\sum a_n{b}_n$ es también convergente. Nótese que este criterio es especialmente útil en el supuesto de que $\sum a_n$ sea una sucesión convergente no absoluta (léase condicional). En el caso de que sea absolutamente convergente, a pesar de aplicarse, es casi un corolario evidente.

Test para series alternadas

También conocido como Criterio de Leibniz, suponemos que las siguientes suposiciones son ciertas:

1. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ es una serie cuyos términos oscilan entre valores positivos y negativos,
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$,
3. el valor absoluto de cada término es menor que el valor absoluto del término precedente.

Entonces podemos afirmar que:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ es una serie convergente.

Véase también

• Regla de l'Hôpital

Enlaces externos

• Flowchart for choosing convergence test Plantilla:Wayback
• Convergence of infinite serías Plantilla:Wayback