Ladrillo de Euler

En matemáticas, un ladrillo de Euler, nombrado así en recuerdo de Leonhard Euler, es un ortoedro cuyas aristas y diagonales de cara tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es aquel cuyas longitudes de arista son números primos entre sí.

Definición

La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución para el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas:

{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = d^{2} \\ a^{2} + c^{2} = e^{2} \\ b^{2} + c^{2} = f^{2} \end{matrix}

donde Plantilla:Math son las aristas y Plantilla:Math son las diagonales.

Propiedades

Si Plantilla:Math es una solución, entonces Plantilla:Math también es una solución para cualquier Plantilla:Math. En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas versiones de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de arista Plantilla:Math, la terna Plantilla:Math también constituye un ladrillo de Euler.^[1]Plantilla:Rp
Al menos dos bordes de un ladrillo de Euler son divisibles por 3.^[1]Plantilla:Rp
Al menos dos bordes de un ladrillo de Euler son divisibles por 4.^[1]Plantilla:Rp
Al menos un borde de un ladrillo de Euler es divisible por 11.^[1]Plantilla:Rp

Ejemplos

El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene los bordes Plantilla:Math y las diagonales de cara Plantilla:Math.

Algunas otras soluciones primitivas pequeñas, dadas según sus aristas Plantilla:Math y sus diagonales de cara Plantilla:Math, figuran a continuación:

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)
(	828,	2035,	3120	) — (	2197,	3228,	3725	)
(	935,	17472,	25704	) — (	17497,	25721,	31080	)
(	1008,	1100,	1155	) — (	1492,	1533,	1595	)
(	1008,	1100,	12075	) — (	1492,	12117,	12125	)
(	1080,	1881,	14560	) — (	2169,	14600,	14681	)
(	1155,	6300,	6688	) — (	6405,	6787,	9188	)
(	1188,	16016,	39195	) — (	16060,	39213,	42341	)
(	1575,	1672,	9120	) — (	2297,	9255,	9272	)
(	2079,	44080,	65472	) — (	44129,	65505,	78928	)

Fórmula generadora

Euler encontró al menos dos ecuaciones paramétricas para el problema, pero ninguna da todas las soluciones.^[2]

Se puede generar una infinidad de bloques de Euler con la ecuación paramétrica de Sounderson.^[3] Sean Plantilla:Math una terna pitagórica (es decir, Plantilla:Math). Entonces^[1]Plantilla:Rp las aristas

a = u | 4 v^{2} - w^{2} |, b = v | 4 u^{2} - w^{2} |, c = 4 u v w

dan las diagonales de cara

d = w^{3}, e = u (4 v^{2} + w^{2}), f = v (4 u^{2} + w^{2}) .

Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como los anteriores, por ejemplo, el ladrillo de Euler con los bordes Plantilla:Math y las diagonales de cara Plantilla:Math.

Ortoedro perfecto

Un "ortoedro perfecto" (también llamado "ladrillo perfecto de Euler" o "caja perfecta") es un ladrillo de Euler, que además posee una diagonal espacial que también tiene una longitud entera. En otras palabras, la siguiente ecuación se agrega al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:

a^{2} + b^{2} + c^{2} = g^{2},

donde Plantilla:Math es la diagonal espacial. Plantilla:Afechade, no se ha encontrado ningún ejemplo de ortoedro perfecto y nadie ha demostrado que no exista ninguno.

Las exhaustivas búsquedas por computadora muestran que, en caso de que existiese un ortoedro perfecto:

La arista impar debe ser mayor que 2.5 × 10¹³,^[4]
La arista más pequeña debe ser mayor que 5 × 10¹¹.^[4]

Se conocen algunos hechos sobre propiedades que deben ser satisfechas por un ortoedro perfecto primitivo, si existe, basados en la aritmética modular:^[5]

Una arista, dos diagonales de cara y la diagonal espacial deben ser impares, una arista y la diagonal de la cara restante deben ser divisibles por 4, y la arista restante debe ser divisible por 16.
Dos aristas deben tener una longitud divisible por 3 y al menos una de esas aristas debe tener una longitud divisible por 9.
Una arista debe tener una longitud divisible por 5.
Una arista debe tener una longitud divisible por 7.
Una arista debe tener una longitud divisible por 11.
Una arista debe tener una longitud divisible por 19.
Una arista o la diagonal espacial deben ser divisibles por 13.
Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 17.
Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 29.
Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 37.

En adición:

La diagonal espacial no es una potencia principal ni un producto de dos primos.^[6]Plantilla:Rp
La diagonal espacial solo puede contener divisores primos ≡ 1 (mod 4).^[6]Plantilla:Rp^[7]

Ortoedros casi perfectos

Se ha descubierto que hay 3 tipos de ortoedros, denominados ortoedros cuerpo, arista y cara. Cada tipo tiene una de las 7 longitudes irracionales, las otras 6 longitudes son racionales.^[8]

En el caso del ortoedros cuerpo, la diagonal espacial Plantilla:Math es irracional. Para el ortoedro arista, una de las aristas Plantilla:Math es irracional. El ortoedro cara tiene solo una de las diagonales faciales Plantilla:Math irracional.

El ortoedro cuerpo se conoce comúnmente como el "ortoedro de Euler" en honor a Leonard Euler, quien investigó sobre este tipo de ortoedro.^[9] También conocía los ortoedros cara y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672).^[10]

Solo recientemente se conocen los ortoedros en números complejos.

Plantilla:Afechade, Randall L. Rathbun publicó^[11] los 155.151 ortoedros que había encontrado con el borde entero más pequeño menor de 157.000.000.000: 56.575 eran ortoedros de Euler (cuerpo), 15.449 eran ortoedros de arista con una longitud de arista en forma de número complejo, 30.081 eran ortoedros de arista, y 53.046 eran ortoedros de cara.

Las soluciones más pequeñas para cada tipo de ortoedro casi perfecto, dadas como aristas, diagonales de cara y la diagonal espacial Plantilla:Math:

Ortoedro cuerpo: Plantilla:Math
Ortoedro arista: Plantilla:Math
Ortoedro cara: Plantilla:Math
Ortoedro cuerpo complejo: Plantilla:Math
Ortoedro arista complejo: Plantilla:Math
Ortoedro cara complejo: Plantilla:Math

Paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto posee aristas, diagonales de cara y diagonales espaciales de longitud entera, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un ortoedro perfecto es un caso especial de un paralelepípedo perfecto. En 2009, se hallaron docenas de paralelepípedos perfectos,^[12] respondiendo una pregunta abierta por Richard Guy. Un pequeño ejemplo tiene los bordes 271, 106 y 103, las diagonales de cara 101, 266, 255, 183, 312 y 323, y las diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272. Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares.

Véase también

Cuaterna pitagórica

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Plantilla:Control de autoridades

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).
↑ Plantilla:Mathworld
↑ Math table, February 24, 2009, Oliver Knill, http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf
↑ ^4,0 ^4,1 R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf
↑ M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).
↑ ^6,0 ^6,1 I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.
↑ Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000
↑ Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
↑ Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771
↑ Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
↑ Randall L. Rathbun, The Integer Cuboid Table, Submitted on 16 May 2017 (v1), last revised 4 Sep 2017 (v2) https://arxiv.org/abs/1705.05929
↑ Plantilla:Cita publicación.

[Sierpinski-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).

[2] Plantilla:Mathworld

[Sounderson-3] Math table, February 24, 2009, Oliver Knill, http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf

[Matson-4] 4,0 ^4,1 R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf

[5] M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).

[Korec-6] 6,0 ^6,1 I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.

[7] Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000

[8] Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.

[9] Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771

[10] Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984

[11] Randall L. Rathbun, The Integer Cuboid Table, Submitted on 16 May 2017 (v1), last revised 4 Sep 2017 (v2) https://arxiv.org/abs/1705.05929

[12] Plantilla:Cita publicación.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Ladrillo de Euler

Sumario

Definición

Propiedades

Ejemplos

Fórmula generadora

Ortoedro perfecto

Ortoedros casi perfectos

Paralelepípedo perfecto

Véase también

Referencias

Bibliografía

Menú de navegación

Ladrillo de Euler

Definición

Propiedades

Ejemplos

Fórmula generadora

Ortoedro perfecto

Ortoedros casi perfectos

Paralelepípedo perfecto

Véase también

Referencias

Bibliografía

Menú de navegación

Buscar