Cuerpo de Sears-Haack

Cuerpo de Sears–Haack

El cuerpo de Sears-Haack es la forma de un sólido con la menor resistencia teórica en el flujo supersónico, para una longitud corporal determinada y un volumen dado. El desarrollo matemático supone que el flujo es supersónico, es decir, de pequeña perturbación o flujo linealizado, que se rige por la ecuación de Prandtl-Glauert. El desarrollo y la «forma» fueron publicadas independientemente por dos investigadores separados: Wolfgang Haack en 1941 y más tarde por William Sears en 1947.

La teoría indica que la resistencia aerodinámica es proporcional al cuadrado de la segunda derivada de la distribución del área. $D_{\text{wave}}\sim [S^{″}(x){]}^2$ (ver expresión completa a continuación), por lo que para una resistencia aerodinámica baja es necesario que $S(x)$ sea suave. Por lo tanto, el cuerpo de Sears-Haack tiene una en cada extremo y crece suavemente hasta un máximo y luego disminuye suavemente hacia el segundo punto.

Fórmulas útiles

El área de sección transversal de un cuerpo Sears-Haack es

$S(x)=\frac{16V}{3L\pi }[4x(1-x){]}^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^2[4x(1-x){]}^{3/2},$

el volumen de un cuerpo Sears-Haack es

$V=\frac{3{\pi }^2}{16}{R}_{\text{max}}^{2}L,$

el radio de un cuerpo Sears-Haack es

$r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x){]}^{3/4},$

la derivada (gradiente) es

$r^{\prime }(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x){]}^{-1/4}(1-2x),$

la segunda derivada es

$r^{″}(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x){]}^{-5/4}(1-2x{)}^2+2[4x(1-x){]}^{-1/4}\},$

donde:

Símbolo	Nombre
$x$	Relación entre la distancia desde la nariz hasta la cola, es decir, la longitud total del cuerpo, relación que está siempre entre 0 y 1
$r$	Radio local
$R_{\text{max}}$	Radio en su máximo (se produce en el centro de la forma)
$V$	Volumen
$L$	Longitud

De la «teoría de los cuerpos delgado» se tiene que:Plantilla:Cr

$D_{\text{wave}}=-\frac{1}{4\pi }\rho U^2\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{S}^{″}(x_1)S^{″}(x_2)\ln |x_1-x_2|\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2,$

y alternativamente:

$D_{\text{wave}}=-\frac{1}{2\pi }\rho U^2\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{S}^{″}(x)\mathrm{d}x\underset{0}{\overset{x}{\int }}{S}^{″}(x_1)\ln (x-x_1)\mathrm{d}{x}_1.$

Estas fórmulas se pueden combinar para obtener lo siguiente:

$D_{\text{wave}}=\frac{64V^2}{\pi L^4}\rho U^2=\frac{9{\pi }^3{R}_{max}^4}{4L^2}\rho U^2,$

$C_{D_{\text{wave}}}=\frac{24V}{L^3}=\frac{9{\pi }^2{R}_{max}^2}{2L^2},$

donde:

Símbolo	Nombre
$D_{\text{wave}}$	Resistencia aerodinámica
$\rho$	Densidad del fluido
$U$	Velocidad

Generalización de R.T. Jones

La consecución de la forma del cuerpo de Sears-Haack es correcta solo en el límite de un «cuerpo esbelto». La teoría se ha generalizado a formas delgadas pero «no axisimétricas» —no simétricas respecto al eje— por Robert T. Jones en NACA Report 1284. En esta expresión, el área $S(x)$ se define como el cono de Mach cuyo vértice está en un lugar $x$, en vez de en el $x=\text{constant}$ del avión como lo asumieron Sears y Haack. Por lo tanto, la teoría de Jones hace que sea aplicable a formas más complejas como aeronaves supersónicas como un cuerpo completo.

Regla de área

Un concepto relacionado superficialmente es la regla de área de Whitcomb , que establece que el arrastre de la onda debido al volumen en el flujo transónico depende principalmente de la distribución del área total de la sección transversal, y para el arrastre de onda baja esta distribución debe ser uniforme. Una idea errónea común es que el cuerpo de Sears-Haack tiene la distribución de área ideal de acuerdo con la regla de área, pero esto no es correcto. La ecuación de Prandtl-Glauert , que es el punto de partida en la derivación de la forma del cuerpo de Sears-Haack, no es válida en el flujo transónico, que es donde se aplica la regla de área .

Véase también

• Transformación Prandtl-Glauert
• Aerodinámica
• Cuerpo antichoque
• Regla del área

Enlaces externos

• Haack Minimum Drag Rifle Bullet Site down – https://web.archive.org/web/*/http://www.lima-wiederladetechnik.de/Englisch/Haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes by W. Haack, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• Sears–Haack body calculator