N-elipse

Ejemplos de n-elipses con 3 focos dados. La progresión de las distancias no es lineal.

En geometría, la n-elipse es una generalización de la elipse que permite más de dos focos. Las n-elipses se conocen por otros muchos nombres, como elipse multifocal, polielipse, ovoelipse, k-elipse, y óvalo de Tschirnhaus (en referencia a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus). Fueron investigadas en primer lugar por James Clerk Maxwell en 1846.

Dados n puntos (u_i, v_i) (llamados focos) en un plano, una n-elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a los n focos es una constante d. En fórmulas, este conjunto tiene la forma

$\{(x,y)\in {𝐑}^2:\sum _{i=1}^n\sqrt{(x-u_i{)}^2+(y-v_i{)}^2}=d\}.$

La 1-elipse es la circunferencia. La 2-elipse es la elipse clásica. Ambas son curvas algebraicas de grado 2.

Para cualquier número n de focos, la n-elipse es una curva cerrada y convexa.Plantilla:Rp La curva es suave a menos que atraviese un foco.Plantilla:Rp

La n-elipse es en general un subconjunto de puntos que satisfacen una ecuación algebraicaPlantilla:Rp particular. Si n es impar, el grado algebraico de la curva es $2^n$, mientras que si n es par el grado es $2^n-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2})$.Plantilla:Rp

Véase también

• Cónica generalizada

Lecturas adicionales

• P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
• B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.