Teorema de Le Cam

En la teoría de la probabilidad, el teorema de Le Cam, que lleva el nombre de Lucien le Cam (1924 - 2000), establece lo siguiente.

Supóngase que:

• X₁, ..., X_n son variables aleatorias independientes, cada una de ellas con una distribución de Bernoulli (es decir, igual a 0 o 1), no necesariamente distribuidas idénticamente.
• Pr(X_i = 1) = p_i para i = 1, 2, 3, ...
• ${\lambda }_n=p_1+\cdots +p_n.$
• $S_n=X_1+\cdots +X_n.$ (es decir, $S_n$ sigue una distribución binomial de Poisson)

Entonces:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{Pr}(S_n=k)-\frac{{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_n}}{k!}|<2\sum _{i=1}^n{p}_i^2.$

En otras palabras, la suma sigue aproximadamente una distribución de Poisson y la desigualdad anterior limita el error de aproximación en términos de la distancia de variación total.

Al establecer p_i = λ_n/n, vemos que esto generaliza el teorema del límite de Poisson habitual.

Cuando ${\lambda }_n$ es grande, es posible un mejor límite: $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{Pr}(S_n=k)-\frac{{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_n}}{k!}|<2(1\wedge {\frac{1}{\lambda }}_n)\sum _{i=1}^n{p}_i^2.$

También es posible debilitar el requisito de independencia.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld