Vórtice de Taylor-Green

Gráfica de los vectores velocidad en un vórtice de Taylor-Green

En dinámica de fluidos, el vórtice de Taylor-Green es un flujo inestable de un vórtice en descomposición, que tiene una solución de forma cerrada exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos incompresibles en coordenadas cartesianas. Lleva el nombre del físico y matemático británico Geoffrey Ingram Taylor y su colaborador A. E. Green.

Trabajo original

En el trabajo original de Taylor y Green, se analiza un flujo particular en tres dimensiones espaciales, con los tres componentes de velocidad $𝐯=(u,v,w)$ en el momento $t=0$ especificado por

$u=A\cos ax\sin by\sin cz,$

$v=B\sin ax\cos by\sin cz,$

$w=C\sin ax\sin by\cos cz.$

La ecuación de continuidad $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=0$ determina que $Aa+Bb+Cc=0$. El pequeño comportamiento en el tiempo del flujo se encuentra a través de la simplificación de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes utilizando el flujo inicial para dar una solución paso a paso a medida que avanza el tiempo.

Más adelantese se muestra una solución exacta en dos dimensiones.

Ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes en ausencia de fuerzas de cuerpo, y en dos dimensiones espaciales, están dadas por

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0,$

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\nu (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}),$

$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\nu (\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}).$

La primera de la ecuaciones anteriores representa la ecuación de continuidad y las otras dos representan las ecuaciones de momento.

Solución del vórtice de Taylor–Green

En el dominio $0\le x,y\le 2\pi$, la solución está dada por

$u=\cos x\sin yF(t),v=-\sin x\cos yF(t),$

donde $F(t)=e^{-2\nu t}$, $\nu$ es la viscosidad cinemática del fluido. Siguiendo el análisis de Taylor y Green para la situación bidimensional, y para $A=a=b=1$, concuerda con la solución exacta, si el exponencial se expande como una serie de Taylor, es decir, $F(t)=1-2\nu t+O(t^2)$.

El campo de presión $p$ se puede obtener sustituyendo la solución de la velocidad en las ecuaciones de momento y viene dado por

$p=-\frac{\rho }{4}(\cos 2x+\cos 2y)F^2(t).$

La función de corriente de la solución del vórtice de Taylor-Green, es decir, que satisface $𝐯=\mathrm{\nabla }\times \mathit{\psi }$ para la velocidad de flujo $𝐯$, es

$\mathit{\psi }=-\cos x\cos yF(t)\widehat{𝐳}.$

Del mismo modo, la vorticidad, que satisface $\mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝐯$, está dado por

$\mathit{\omega }=-2\cos x\cos yF(t)\widehat{𝐳}.$

La solución vortex Taylor-Green se puede usar para probar y validar la precisión temporal de los algoritmos de Navier-Stokes.