Teorema de Pohlke

El teorema de Pohlke constituye el principio fundamental de la perspectiva axonométrica. Fue establecido en 1853 por el pintor y maestro de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876). La primera prueba del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz, quien fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, el teorema a veces se denomina también teorema de Pohlke y Schwarz.

Teorema

Teorema de Pohlke

• Tres segmentos de recta arbitrarios $\bar{O}\bar{U},\bar{O}\bar{V},\bar{O}\bar{W}$ en un plano con origen común en el punto $\bar{O}$, que no estén contenidos en la misma recta, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas $OU,OV,OW$ de un cubo.

Para establecer la correspondencia con un cubo de arista unidad, se tiene que aplicar una escala adicional, ya sea en el espacio o en el plano. Debido a que una proyección paralela y una escala preservan las proporciones, se puede asignar un punto arbitrario $P=(x,y,z)$ mediante el procedimiento axonométrico descrito más adelante.

El teorema de Pohlke se puede expresar en términos de álgebra lineal como:

• Cualquier transformación afín del espacio tridimensional en un plano puede considerarse como la composición de un semejanza y una proyección paralela.

Aplicación a la axonometría

Principio de la proyección axonométrica

El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente simple procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional, utilizando sus coordenadas:

1. Elijánse las proyecciones de los ejes de coordenadas, no contenidas en una misma recta.
2. Elegir para los ejes de coordenadas los acortamientos que se quiera $v_x,v_y,v_z>0$
3. La imagen $\bar{P}$ de un punto $P=(x,y,z)$ está determinada por los tres pasos siguientes, comenzando en el punto $\bar{O}$:

• Avanzar $(v_x\cdot x)$ en dirección $\bar{x}$
• Avanzar $(v_y\cdot y)$ en dirección $\bar{y}$
• Avanzar $(v_z\cdot z)$ en dirección $\bar{z}$

4. Marcar el punto como $\bar{P}$.

Para obtener imágenes sin distorsión, se tienen que elegir coordinadamente los ángulos entre las proyecciones de los tres ejes y los respectivos acortamientos (véase perspectiva axonométrica). Para obtener una proyección ortogonal, solo las imágenes de los ejes son libres y se determinan los acortamientos (véase axonometría ortogonal).

Observaciones sobre la demostración de Schwarz

Schwarz formuló y demostró la afirmación más general siguiente:

• Los vértices de cualquier cuadrilátero se pueden considerar como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro que es semejante a un tetraedro dado, para lo que utilizó un teorema de L’Huilier:
• Cada triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de otro triángulo de una forma dada.

Bibliografía

• K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Google Books.)
• Schwarz, H. A.: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. Reine Angew. Mates. 63, 309–314, 1864.
• Arnold Emch: "Prueba del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por afinidad", American Journal of Mathematics, vol. 40, No. 4 (octubre de 1918), pp. 366–374

Enlaces externos

• F. Klein: The fundamental Theorem of Pohlke, in Elementary Mathematics from a Higher Standpoint: Volume II: Geometry, p. 97,
• Christoph J. Scriba,Peter Schreiber: 5000 Years of Geometry: Mathematics in History and Culture, p. 398.
• Pohlke–Schwarz theorem, Encyclopedia of Mathematics.