Test de Dini

En matemáticas, los tests de Dini y de Dini-Lipschitz son procedimientos muy precisos que pueden usarse para probar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Reciben su nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz.

Definición

Sea $f$ una función definida en $[0,2\pi ]$, sea $t$ un punto y $\delta$ una constante positiva. Definimos el módulo local de continuidad en el punto $t$ como

${\omega }_f(\delta ;t)=\underset{|\epsilon |\le \delta }{\max }|f(t)-f(t+\epsilon )|$

Nótese que se considera $f$ una función periódica. Por ejemplo, si $t=0$ y $ϵ$ es negativo, se tiene $f(ϵ)=f(2\pi +ϵ)$.

El módulo global de continuidad (o, simplemente, módulo de continuidad) se define como

${\omega }_f(\delta )=\underset{t}{\max }{\omega }_f(\delta ;t)$

Con estas definiciones se pueden enunciar los resultados principales

Teorema (test de Dini): Supongamos que una función $f$ satisface en un punto $t$ que

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }{\omega }_f(\delta ;t)\mathrm{d}\delta <\mathrm{\infty }.$

Entonces la serie de Fourier de $f$ converge en $t$ a $f(t)$.

Por ejemplo, el teorema se cumple con ${\omega }_f={\log }^{-2}\left(\frac{1}{\delta }\right)$ pero no con ${\log }^{-1}\left(\frac{1}{\delta }\right)$.

Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función $f$ satisface

${\omega }_f(\delta )=o{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

Entonces la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente a $f$.

En particular, cualquier función de una clase de Hölder satisface el test de Dini-Lipschitz.

Precisión

Ambos tests son lo mejor que pueden ser. Para el test de Dini-Lipschitz, es posible construir una función $f$ cuyo módulo de continuidad satisface el test con $O$ en lugar de $o$, esto es,

${\omega }_f(\delta )=O{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

y la serie de Fourier de $f$ diverge. Para el test de Dini, la afirmación más precisa es un poco más larga. Afirma que para cualquier función $\mathrm{\Omega }$ tal que

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }\mathrm{\Omega }(\delta )\mathrm{d}\delta =\mathrm{\infty }$

existe una función $f$ tal que

${\omega }_f(\delta ;0)<\mathrm{\Omega }(\delta )$

y la serie de Fourier de $f$ diverge en 0.

Véase también

• Convergencia de series de Fourier
• Continuidad de Dini
• Criterio de Dini