Modelo paramétrico

En estadística, un modelo paramétrico (también denominado familia paramétrica o modelo de dimensión finita) es una clase particular de modelo estadístico. Específicamente, un modelo paramétrico es una familia de distribuciones de probabilidad que tiene un número finito de parámetros.

Definición

Un modelo estadístico es una colección de distribuciones de probabilidad en algunos espacios muestrales. Se supone que la colección, Plantilla:Math, está indexada por algún conjunto Plantilla:Math. Para cada Plantilla:Math, si Plantilla:Math denota el miembro correspondiente de la colección; y además Plantilla:Math es una función de distribución. Entonces, un modelo estadístico se puede escribir como

$𝒫=\left\{P_{\theta }\right|\theta \in \mathrm{\Theta }\}.$

El modelo es un modelo paramétrico si Plantilla:Math para algún entero positivo Plantilla:Math.

Cuando el modelo consta de distribuciones continuas, a menudo se específica en términos de las funciones de densidad de probabilidad correspondientes:

$𝒫=\left\{f_{\theta }\right|\theta \in \mathrm{\Theta }\}.$

Ejemplos

• Una familia de distribuciones de Poisson está parametrizado por un solo número Plantilla:Math:

$𝒫=\{p_{\lambda }(j)=\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda },j=0,1,2,3,\dots |\lambda >0\},$

donde Plantilla:Math es e la función de probabilidad. Es una familia exponencial.

• Una familia de distribuciones normales está parametrizado por Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es un parámetro de ubicación y Plantilla:Math es un parámetro de escala:

$𝒫=\{f_{\theta }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})|\mu \in ℝ,\sigma >0\}.$

Es una familia exponencial y una familia por localización y escala.

• Una familia de distribuciones de Weibull tiene un parámetro tridimensional Plantilla:Math:

$𝒫=\{f_{\theta }(x)=\frac{\beta }{\lambda }{\left(\frac{x-\mu }{\lambda }\right)}^{\beta -1}\exp (-\left(\frac{x-\mu }{\lambda }{)}^{\beta }\right){\mathrm{𝟏}}_{\{x>\mu \}}|\lambda >0,\beta >0,\mu \in ℝ\}.$

• Una familia de modelos binomiales está parametrizado por Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es un número entero no negativo y Plantilla:Math es una probabilidad (es decir, Plantilla:Math y Plantilla:Math):

$𝒫=\{p_{\theta }(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n|n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},p\ge 0\wedge p\le 1\}.$

Este ejemplo ilustra la definición de un modelo con algunos parámetros discretos.

Observaciones generales

Un modelo paramétrico se llama identificable si la aplicación Plantilla:Math es invertible, es decir, no hay dos valores de parámetros diferentes, Plantilla:Math y Plantilla:Math, tales que Plantilla:Math.

Comparaciones con otras clases de modelos

Los modelos paramétricos se contrastan con los semi paramétricos, los semi no paramétricos y los no paramétricos, todos los cuales están relacionados con un conjunto infinito de parámetros para su descripción. La distinción entre estas cuatro clases es la siguiente: Plantilla:Citation needed

• Un modelo es "paramétrico" cuando todos sus parámetros pertenecen a espacios de dimensión finita
• Un modelo es "no paramétrico" si todos los parámetros pertenecen a espacios de dimensión infinita
• Un modelo es "semi paramétrico' si contiene parámetros de interés de dimensión finita y parámetros molestos de dimensión infinita
• Un modelo es "semi no paramétrico" si contiene parámetros de interés desconocidos, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita

Algunos estadísticos consideran que los conceptos "paramétrico", "no paramétrico" y "semiparamétrico" son ambiguos. También se puede observar que el conjunto de todas las medidas de probabilidad tiene la cardinalidad del continuo, y por lo tanto es posible parametrizar cualquier modelo por un solo número en el intervalo (0,1). Esta dificultad se puede evitar considerando solo los modelos paramétricos "suaves".

Véase también

• Familia paramétrica
• Estadística paramétrica
• Modelo estadístico
• Especificación (Análisis de la regresión)

Bibliografía

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