Función suma indicatriz

En teoría de números, la función suma indicatriz $\mathrm{\Phi }(n)$ es una función sumatoria de la función indicatriz de Euler definida como:

$\mathrm{\Phi }(n):=\sum _{k=1}^n\phi (k),n\in 𝐍$

Propiedades

Usando inversión de Möbius a la función indicatriz, se obtiene

$\mathrm{\Phi }(n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{1}{2}(1+\sum _{k=1}^n\mu (k){\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }^2)$

Plantilla:Math tiene la expansión asintótica

$\mathrm{\Phi }(n)\sim \frac{1}{2\zeta (2)}{n}^2+O(n\log n),$

donde Plantilla:Math es la función zeta de Riemann para el valor 2.

El sumatorio de la función indicatriz inversa

El sumatorio de la función indicatriz inversa se define como

$S(n):=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\phi (k)}$

Edmund Landau mostró en 1900 que esta función tiene el comportamiento asintótico

$S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left(\frac{\log n}{n}\right)$

donde Plantilla:Math es la constante de Euler-Mascheroni,

$A=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k{)}^2}{k\phi (k)}=\frac{\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}=\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})$

y

$B=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k{)}^2\log k}{k\phi (k)}=A\prod _p\left(\frac{\log p}{p^2-p+1}\right).$

La constante Plantilla:Math es conocida a veces como constante indicatriz de Landau. La suma ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k\phi (k)}$ es convergente e igual a:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k\phi (k)}=\zeta (2)\prod _p(1+\frac{1}{p^2(p-1)})=2.20386\dots$

En este caso, el producto sobre los números primos en la parte derecha es una constante conocida como constante sumatorio indicatriz, y su valor es:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2(p-1)})=1.339784\dots$

Véase también

• Función aritmética

Referencias

• Plantilla:MathWorld

Enlaces externos

• Totient summatory function (en inglés)
• Decimal expansion of totient constant product(1 + 1/(p^2*(p-1))), p prime >= 2) (en inglés)