Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.

Convergencia en distribución

Definición

Se dice que una sucesión $X_1,X_2,\dots$ de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria $X$ si

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(x)=F(x),$

para todo punto $x\in ℝ$ en el que $F$ es continua, donde $F_n$ y $F$ denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias $X_n$ y $X$, respectivamente.

La convergencia en distribución puede indicarse como: Plantilla:NumBlk donde ${ℒ}_X$ es la ley (distribución de probabilidad) de Plantilla:Mvar. Por ejemplo, si Plantilla:Mvar es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir $X_n\stackrel{d}{\to }𝒩(0,1)$.

Convergencia en probabilidad

Definición

Una sucesión $X_1,X_2,\dots$ de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria $X$ si para todo $ϵ>0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Pr}(|X_n-X|>\epsilon )=0.$

Suele indicarse de alguna de estas maneras: Plantilla:NumBlk

Convergencia casi segura

Definición

Una sucesión $X_1,X_2,\dots$ de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria $X$ si

$\mathrm{Pr}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n=X)=1.$

Notación: Plantilla:NumBlk

Convergencia en $L^r$

Definición

Dado un número real $r\ge 1$, se dice que la sucesión $X_1,X_2,\dots$ de variables aleatorias reales converge en $L^r$ a la variable aleatoria $X$, si los momentos absolutos $r$-ésimos $\text{E}(|X_n{|}^r)$ y $\text{E}(|X{|}^r)$ de $X_n$ y de $X$ existen, y

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{E}(|X_n-X{|}^r)=0,$

donde el operador $E$ denota la esperanza matemática.

Notación: Plantilla:NumBlk Plantilla:Control de autoridades