Ecuación característica

En matemáticas, la ecuación característica (o ecuación auxiliar) es una ecuación algebraica de grado Plantilla:Mvar de la que depende la solución de una ecuación diferencial de orden n o de una secuencia lineal recurrente dada. La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o de diferencia es lineal y homogénea, y tiene coeficientes constantes. En tal ecuación diferencial, Plantilla:Mvar denota la variable dependiente, el superíndice Plantilla:Mvar denota la n-ésima derivada, y Plantilla:Math son constantes:

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0,$

y tendrá una ecuación característica de la forma

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

cuyas soluciones Plantilla:Math son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general. Análogamente, una ecuación de diferencia lineal de la forma

$y_{t+n}=b_1{y}_{t+n-1}+\cdots +b_n{y}_t$

tiene una ecuación característica

$r^n-b_1{r}^{n-1}-\cdots -b_n=0,$

discutido con más detalle en el caso homogéneo de una secuencia lineal recurrente.

Las raíces características (raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución se describe mediante la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para las ecuaciones de diferencia, hay estabilidad si y solo si el módulo (valor absoluto) de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas.

El método de integración lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler, que encontró que las soluciones dependían de una ecuación algebraica 'característica'. Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron consideradas más tarde por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge.

Derivación

Comenzando con una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes Plantilla:Math ,

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

se puede ver que si Plantilla:Math, cada término sería un múltiplo constante de Plantilla:Math. Esto resulta del hecho de que la derivada de la función exponencial Plantilla:Math es un múltiplo de sí misma. Por lo tanto, Plantilla:Math, Plantilla:Math, y Plantilla:Math son todos múltiplos. Esto sugiere que ciertos valores de Plantilla:Mvar permitirán que los múltiplos de Plantilla:Math sumen cero, resolviendo así la ecuación diferencial homogénea. Para resolver Plantilla:Mvar, se puede sustituir Plantilla:Math y sus derivadas en la ecuación diferencial para obtener

$a_n{r}^n{e}^{rx}+a_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\cdots +a_{1}r{e}^{rx}+a_0{e}^{rx}=0$

Como Plantilla:Math nunca puede ser igual a cero, puede dividirse, dando la ecuación característica

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

Al resolver las raíces Plantilla:Mvar en esta ecuación característica, se puede encontrar la solución general a la ecuación diferencial. Por ejemplo, si se encuentra que Plantilla:Mvar es igual a 3, entonces la solución general será Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar es una constante arbitraria.

Formación de la solución general

Resolver la ecuación característica para sus raíces, Plantilla:Math, permite encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Las raíces pueden ser reales o complejas, así como distintas o repetidas. Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, Plantilla:Mvar raíces repetidas o Plantilla:Mvar raíces complejas correspondientes a soluciones generales de Plantilla:Math, Plantilla:Math e Plantilla:Math, respectivamente, entonces la solución general a la ecuación diferencial es

$y(x)=y_{\mathrm{D}}(x)+y_{{\mathrm{R}}_1}(x)+\cdots +y_{{\mathrm{R}}_h}(x)+y_{{\mathrm{C}}_1}(x)+\cdots +y_{{\mathrm{C}}_k}(x)$

Ejemplo

La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y^{″}-20y^{\prime }-12y=0$

tiene la ecuación característica

$r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0$

Al factorizar la ecuación característica en

$(r-3){(r^2+2r+2)}^2=0$

se puede ver que las soluciones para Plantilla:Mvar son la raíz única distinta Plantilla:Math y las raíces complejas dobles Plantilla:Math. Esto corresponde a la solución general de valor real

$y(x)=c_1{e}^{3x}+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)+x{e}^{-x}(c_4\cos x+c_5\sin x)$

con constantes Plantilla:Math.

Distintas raíces reales

El principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes dice que si Plantilla:Math son Plantilla:Mvar soluciones linealmente independientes para una ecuación diferencial particular, entonces Plantilla:Math es también una solución para todos los valores Plantilla:Math. Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas Plantilla:Math, entonces una solución general será de la forma

$y_{\mathrm{D}}(x)=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}+\cdots +c_n{e}^{r_{n}x}$

Raíces reales repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz Plantilla:Math que se repite Plantilla:Mvar veces, entonces está claro que Plantilla:Math es al menos una solución. Sin embargo, esta solución carece de soluciones linealmente independientes de las otras raíces Plantilla:Math. Como Plantilla:Math tiene multiplicidad Plantilla:Mvar, la ecuación diferencial se puede factorizar en

${(\frac{d}{dx}-r_1)}^{k}y=0$.

El hecho de que Plantilla:Math sea una solución permite suponer que la solución general puede tener la forma Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es una función a determinar. Sustituyendo Plantilla:Math se obtiene

$(\frac{d}{dx}-r_1)u{e}^{r_{1}x}=\frac{d}{dx}\left(u{e}^{r_{1}x}\right)-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{d}{dx}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}u{e}^{r_{1}x}-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{d}{dx}(u)e^{r_{1}x}$

cuando Plantilla:Math. Al aplicar este hecho Plantilla:Mvar veces, se deduce que

${(\frac{d}{dx}-r_1)}^{k}u{e}^{r_{1}x}=\frac{d^k}{d{x}^k}(u)e^{r_{1}x}=0$

Al dividir Plantilla:Math, se puede ver que

$\frac{d^k}{d{x}^k}(u)=u^{(k)}=0$

Sin embargo, este es el caso si y solo si Plantilla:Math es un polinomio de grado Plantilla:Math, de modo que Plantilla:Math. Como Plantilla:Math, la parte de la solución general correspondiente a Plantilla:Math es

$y_{\mathrm{R}}(x)=e^{r_{1}x}(c_1+c_{2}x+\cdots +c_k{x}^{k-1})$

Raíces complejas

Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene una ecuación característica con raíces conjugadas complejas de la forma Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces la solución general es en consecuencia Plantilla:Math. Según la fórmula de Euler, que establece que Plantilla:Math, esta solución se puede reescribir de la siguiente manera:

$\begin{array}{cc}y(x)& =c_1{e}^{(a+bi)x}+c_2{e}^{(a-bi)x}\\ & =c_1{e}^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_2{e}^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\ & =(c_1+c_2)e^{ax}\cos bx+i(c_1-c_2)e^{ax}\sin bx\end{array}$

donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son constantes que pueden ser no reales y que dependen de las condiciones iniciales. De hecho, dado que Plantilla:Math es real, Plantilla:Math debe ser imaginario o cero, y Plantilla:Math debe ser real, para que ambos términos después del último signo de igualdad sean reales.

Por ejemplo, si Plantilla:Math entonces se forma la solución particular Plantilla:Math. Del mismo modo, si Plantilla:Math y Plantilla:Math entonces la solución independiente formada es Plantilla:Math. Por lo tanto, según el principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, una ecuación diferencial de segundo orden que tenga raíces complejas Plantilla:Math dará como resultado la siguiente solución general:

$y_{\mathrm{C}}(x)=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)$

Este análisis también se aplica a las partes de las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior cuya ecuación característica involucra raíces conjugadas complejas no reales.

Véase también

• Polinomio característico