Desigualdad de Schur

En matemáticas, la desigualdad de Schur, descubierta por Issai Schur, establece que para todos los números reales no negativos x, y, z y t:

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$

con igualdad si y sólo si x = y = z o si dos de ellos son iguales y el otro es cero. Cuando t es número natural par, la desigualdad se cumple para cualesquiera números reales x, y y z.

Prueba

Debido a la simetría se puede suponer sin pérdida de generalidad que $x\ge y\ge z$. Entonces es claro que

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$

se cumple, ya que ningún término es negativo. Al reordenar la desigualdad llegamos al resultado deseado. Plantilla:Control de autoridades