Forma normal de Hesse

Gráfico de la normal (en rojo) y la distancia del origen a la recta (en verde) calculada con la forma normal de Hesse.

La forma normal de Hesse normal, nombrada así por Otto Hesse, es una ecuación usada en geometría analítica y describe una recta en ${ℝ}^2$, un plano en el Espacio euclídeo ${ℝ}^3$ o un hiperplano en dimensiones mayores. Es usada principalmente para calcular distancias (ver distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta).

Se escribe como

$\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{n}}_0-d=0.$

El punto $\cdot$ indica el producto escalar o producto punto.

El vector ${\overrightarrow{n}}_0$ representa el vector normal unidad de E o g, que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia $d\ge 0$ es la distancia desde el origen hasta el plano (o recta).

Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P, ubicados precisamente en el plano E (o en 2D, en la recta g ), descrito por el vector de ubicación $\overrightarrow{r}$ que apunta desde el origen del sistema de coordenadas a P.

Derivación/Cálculo de la forma normal

Nota: Por simplicidad, la siguiente derivación discute el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{n}=0$

un plano está dado por el vector normal $\overrightarrow{n}$ así como un vector de posición arbitrario $\overrightarrow{a}$ de un punto $A\in E$. La dirección de $\overrightarrow{n}$ se elige para satisfacer la siguiente desigualdad

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}\ge 0$

Al dividir el vector normal $\overrightarrow{n}$ por su magnitud $|\overrightarrow{n}|$, obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)

${\overrightarrow{n}}_0=\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$

y la ecuación anterior se puede reescribir como

$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})\cdot {\overrightarrow{n}}_0=0.$

Substituyendo

$d=\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{n}}_0\ge 0$

obtenemos la forma normal de Hesse

$\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{n}}_0-d=0.$

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que $\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{n}}_0=d$ se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_s$, según la definición de producto escalar

$d={\overrightarrow{r}}_s\cdot {\overrightarrow{n}}_0=|{\overrightarrow{r}}_s|\cdot |{\overrightarrow{n}}_0|\cdot \cos (0^{\circ })=|{\overrightarrow{r}}_s|\cdot 1=|{\overrightarrow{r}}_s|.$

La magnitud $|{\overrightarrow{r}}_s|$ de ${\overrightarrow{r}}_s$ es la menor distancia del origen al plano.