Topología usual

En Topología (rama de las matemáticas) se emplean muchas topologías (colección de abiertos). Una de las fundamentales y más empleadas es la topología usual.

Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre ${ℝ}^n$ son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de ${ℝ}^n$ inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre ${ℝ}^n$ dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.

Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la topología usual sobre $ℝ$ es la topología inducida por la distancia usual de forma que ${\tau }_{d_{usual}}={\tau }_{usual}$.

Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico $(ℝ,{\tau }_{usual})$ los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos $x,y$ con $x,y\in ℝ$.

Hay un resultado importante respecto a la topología usual. Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la topología discreta. Esto es la topología inducida ${\tau }_Y=\{Y\cap A:A\in \tau \}$ con Y el conjunto de los números naturales ℕ.

Convergencia

Las sucesiones convergentes en $({ℝ}^n,{\tau }_{usual})$ convergen a un único punto.

La demostración se basa en que, al ser inducida la topología usual por la distancia usual, ${\tau }_{d_{usual}}={\tau }_{usual}$, se tiene para todo par de puntos x,y de ${ℝ}^n$( $x\ne y$ ) existen dos abiertos $x\in G_x,y\in G_y$ disjuntos ($G_x\cap G_x=\varphi$), luego $({ℝ}^n,{\tau }_{usual})$ es un espacio Hausdorff. Y se sabe que en un espacio Hausdorff toda sucesión converge a un único punto. Fin de la demostración.

Ejemplos

1. Como se ha comentado antes en $(ℝ,{\tau }_{usual})$ los abiertos son los intervalos y sus uniones.
2. En ${ℝ}^n,n\ge 2$ se puede considerar la topología usual como la inducida por $d_1,d_2,...$ y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
3. Los abiertos son uniones de bolas abiertas.

Véase también

• Topología discreta
• Topología cofinita