Ecuación de Kozeny-Carman

La ecuación de Kozeny-Carman o ecuación de Carman-Kozeny o ecuación de Kozeny, es una relación utilizada en el campo de la dinámica de fluidos para calcular la caída de presión de un fluido que fluye a través de un «lecho compacto» de sólidos. La ecuación sólo es válida para flujo laminar. Dice que la variación del volumen de fluido que traspasa ese lecho compacto, respecto al tiempo $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ se puede calcular a partir de la diferencia de presión y las propiedades del lecho y del fluido.

Etimología

Se llama así en honor a Josef Kozeny y Philip C. Carman. La ecuación fue derivada por Kozeny (1927) y modificada por Carman (1937, 1956).

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad	Símbolo	Nombre	Unidad
$K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}$	Coeficiente Kozeny - Carman			Conductos
$k$	Constante de Darcy	m / s	$A^{\prime }$	Área transversal	m2
$S{h}_f$	Factor de forma (Ing. Shape factor)		$D^{\prime }$	Diámetro	m
$\varphi$	Porosidad (fraccional)		$L^{\prime }$	Longitud	m
$\mu$	Viscosidad dinámica	Pa s	$n^{\prime }$	Número
$\tau$	Tortuosidad		$S^{\prime }$	Superficie longitudinal	m2
	Total		$u^{\prime }$	Velocidad	m / s
$A$	Área transversal	m2	$V^{\prime }$	Volumen	m3
$L$	Longitud	m	$\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }$	Diferencia de presión	Pa
$q$	Caudal	m3 / s		Partículas
$u$	Velocidad (aparente)	m / s	$d_p$	Diámetro	m
$V$	Volumen	m3	$n_p$	Número
	Solido		$S_p$	Superficie longitudinal	m2
$A_s$	Área transversal	m2
$V_s$	Volumen	m3

Descripción

La constante $K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}$ se determina por medición.

$K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}=\tau (S{h}_f)$

Deducción

	Volumen total		Porosidad		General	4	Poiseuille
Ecuaciones	$V=V^{\prime }+V_s$		$\varphi =\frac{V^{\prime }}{V}$		$V=AL$	$u^{\prime }{A}^{\prime }=uA$	$\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }=\frac{32\mu u^{\prime }{L}^{\prime }}{(D^{\prime }{)}^2}$
Sustituyendo				$\varphi =\frac{A^{\prime }{L}^{\prime }}{AL}$
Despejando		$V_s=V-V^{\prime }$		$\frac{A}{A^{\prime }}=\frac{1}{\varphi }\left(\frac{L^{\prime }}{L}\right)$		$u^{\prime }=\left(\frac{A}{A^{\prime }}\right)u$
Internamente $\left(\frac{V}{V}\right)$		$V_s=V-\left(\frac{V}{V}\right)V^{\prime }$
Ordenando		$V_s=V-\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)V$
Sustituyendo		$V_s=V-\varphi V$			$u^{\prime }=\frac{u}{\varphi }\left(\frac{L^{\prime }}{L}\right)$
Despejando		$V=\frac{V_s}{(1-\varphi )}$
Sustituyendo	$V^{\prime }+V_s=\frac{V_s}{(1-\varphi )}$				$\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }=\frac{32\mu L^{\prime }}{(D^{\prime }{)}^2}\left[\frac{u}{\varphi }\right(\frac{L^{\prime }}{L}\left)\right]$
Despejando	$V^{\prime }=\frac{\varphi V_s}{(1-\varphi )}$				$u=\frac{\varphi \mathrm{\Delta }{p}^{\prime }(D^{\prime }{)}^2}{32\mu L^{\prime }}\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)$
	Volumen conductos			Superficie con.			Coeficiente
Ecuaciones	$V^{\prime }=n\left[\frac{\pi (D^{\prime }{)}^2}{4}\right]L^{\prime }$			$S^{\prime }=n^{\prime }\pi D^{\prime }{L}^{\prime }$			$K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}$
Sustituyendo	$n\left[\frac{\pi (D^{\prime }{)}^2}{4}\right]L^{\prime }=\frac{\varphi V_s}{(1-\varphi )}$
Despejando	$D^{\prime }=\frac{4\varphi V_s}{(1-\varphi )(n\pi D^{\prime }{L}^{\prime })}$
Sustituyendo	$D^{\prime }=\frac{4\varphi V_s}{(1-\varphi )S}$
	Volumen partícula			Superficie par.
Ecuaciones	$V_s=n_p\left[\frac{\pi }{6}{d}_p^3\right]$			$S_p=n_p(\pi d_p^2)$
Sustituyendo	$D^{\prime }=\frac{4\varphi n_p\left[\frac{\pi }{6}{d}_p^3\right]}{(1-\varphi )n_p(\pi d_p^2)}$
Simplificando	$D^{\prime }=\frac{2\varphi d_p}{3(1-\varphi )}$
Sustituyendo	$u=\frac{\varphi \mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{32\mu L^{\prime }}\left[\frac{2\varphi d_p}{3(1-\varphi )}{]}^2\right(\frac{L}{L^{\prime }})$
Simplificando	$u=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)$
Agregando	$u=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)$
Sustituyendo (Ecua. 4)					$u^{\prime }=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)\left(\frac{A}{A^{\prime }}\right)$
					Caudal	Darcy
Ecuación					$q=uA$	$q=k\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)$
Sustituyendo		$q=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)A$
Comparando			$k=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]A$

$u=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)$

$q=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)A$

$k=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]A$

$u^{\prime }=\frac{{\varphi }^3}{72(1-\varphi {)}^2}\left[\frac{(d_p{)}^2\mathrm{\Delta }{p}^{\prime }}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\mu L^{\prime }}\right]\left(\frac{L}{L^{\prime }}\right)\left(\frac{A}{A^{\prime }}\right)$

Ecuación de Kozeny-Carman

$k=\frac{{\varphi }^3}{(1-\varphi {)}^2}\left(\frac{g}{K_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\nu S_s}\right)$

Si se concentran los factores específicos del material a un coeficiente de resistencia hidráulica $R$ juntos, se obtiene

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{A}{R}\right)\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mu }$

Segunda formulación

Viene dada por la fórmula siguiente:

$\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}=-\frac{150(1-\varphi {)}^2}{{\varphi }^3}\left(\frac{\mu u_{\mathrm{s}}}{{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{s}}^2{D}_{\mathrm{p}}^2}\right)$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{s}}$	Esfericidad de las partículas en el lecho
$D_{\mathrm{p}}$	Diámetro de la partícula esférica equivalente en volumen	m2

Esta ecuación es válida para el flujo a través de lechos compactos con partículas con número de Reynolds hasta aproximadamente 1,0, tras lo cual el desplazamiento puntual y frecuente de los canales de flujo en el lecho causa considerables pérdidas de energía cinética.

Esta ecuación expresa que el flujo es directamente proporcional a la caída de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido, lo que se conoce como ley de Darcy.

$v_{\mathrm{s}}=-\frac{\kappa }{\mu }\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}$

Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación final de Kozeny para la permeabilidad absoluta (de una sola fase)

$\kappa =a\frac{{ϵ}^3{D}_{\mathrm{p}}^2}{(1-ϵ{)}^2}$

Símbolo	Nombre	Unidad
$\kappa$	Permeabilidad absoluta (es decir, monofásica)	mD
$a$	Factor de proporcionalidad y unidad	mD / mm2
$D_{\mathrm{p}}$	Diámetro promedio de los granos de arena expresado	mm

El factor combinado de proporcionalidad y unidad $a$ normalmente tiene un valor promedio de 0.8E6 /1.0135 al medir muchas muestras de tapones de núcleo que ocurren naturalmente, que van desde un contenido de arcilla alto a bajo, pero puede alcanzar un valor de 3.2E6 /1.0135 para arena limpia.Plantilla:Cr El denominador se incluye explícitamente para recordarnos que la permeabilidad se define usando atm como unidad de presión, mientras que los cálculos de ingeniería de depósitos y las simulaciones de estos generalmente usan el bar como unidad de presión.

Véase también

• Columna de fraccionamiento
• Empaquetamiento aleatorio
• Anillo de Raschig
• Ecuación de Ergun