Teorema de Krein-Rutman

En análisis funcional, el teorema de Krein-Rutman es una generalización del teorema de Perron-Frobenius a los espacios infinitamente dimensionales de Banach. Fue probado por Krein y Rutman en 1948.

Declaración

Dejar a $X$ ser un espacio de Banach, y dejar$K\subset X$ ser un cono convexo tal que $K-K$ es denso en $X$, es decir, el cierre del grupo $\{u-v:u,v\in K\}=X$. $K$ también se conoce como cono total. Dejar $T:X\to X$ ser un operador compacto distinto de cero que es positivo, lo que significa que $T(K)\subset K$, y asumiendo que su radio espectral $r(T)$ es estrictamente positivo.

Luego $r(T)$ es un valor propio de $T$ con vector propio positivo, lo que significa que existe $u\in K\setminus 0$ tal que $T(u)=r(T)u$.

Teorema de De Pagter

Si el operador positivo $T$ se supone que es ideal irreductible, es decir, no hay ideal$J\ne 0$,$X$ tal que $TJ\subset J$, entonces el teorema de De Pagter afirma que $r(T)>0$.

Por lo tanto, para operadores ideales irreductibles, el supuesto $r(T)>0$ no es necesario.