Genus geométrico
En geometría algebraica, el genus geométrico o género geométrico es un invariante birracional Plantilla:Math básico de variedades algebraicas y de variedades complejas.
Definición
El genus geométrico se puede definir para variedades proyectivas complejas no singulares y más generalmente para variedades complejas como el número de Hodge Plantilla:Math (igual a Plantilla:Math por la dualidad de Serre), es decir, la dimensión de un sistema lineal canónico más uno.
En otras palabras, para una variedad Plantilla:Mvar de dimensión compleja Plantilla:Mvar es el número de Plantilla:Mvar-formas holomórficas linealmente independientes que se encuentran en Plantilla:Mvar.[1] Esta definición, como la dimensión de
luego se traslada a cualquier cuerpo base, cuando Plantilla:Math se toma como el haz de diferenciales de Kähler y la potencia es el producto exterior (superior), el haz lineal canónico.
El genus geométrico es el primer Plantilla:Math invariante de una secuencia de Plantilla:Math}} invariantes llamada plurigénero.
Caso de curvas
En el caso de variedades complejas, (los lugares complejos de) curvas no singulares son superficies de Riemann. La definición algebraica de género concuerda con la noción topológica. En una curva no singular, el haz lineal canónico tiene grado Plantilla:Math.
La noción de género ocupa un lugar destacado en la declaración del teorema de Riemann-Roch (véase también el teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas) y de la fórmula de Riemann-Hurwitz. Según el teorema de Riemann-Roch, una curva plana irreducible de grado d tiene genus geométrico
donde s es el número de singularidades cuando se contabilizan propiamente.
Si Plantilla:Mvar es una hipersuperficie irreducible (y suave) en el plano proyectivo dividida por una ecuación polinomial de grado Plantilla:Mvar, entonces su haz de líneas normal es el haz torcido de Serre Plantilla:Math, por lo que según la fórmula de adjunción, el haz de líneas canónicas de Plantilla:Mvar está dado por
Género de variedades singulares
La definición de género geométrico se traslada clásicamente a las curvas singulares Plantilla:Mvar, al especificar que
es el género geométrico de la normalización Plantilla:Math. Es decir, dado que la aplicación
es birracional, la definición se amplía mediante invariancia birracional.
Véase también
Referencias
Bibliografía
Plantilla:Control de autoridades
- ↑ Danilov & Shokurov (1998), [[[:Plantilla:Google books]] p. 53]