Serie de Eisenstein

Las series de Eisenstein, llamadas así en honor al matemático alemán Ferdinand Eisenstein, son formas modulares con expasiones en forma de series infinitas que pueden escribirse directamente. Originalmente definidas para el grupo modular, las series de Eisenstein pueden ser generalizadas en la teoría de formas automórficas.

Series de Eisenstein para el grupo modular

La parte real de Plantilla:Math como una función de Plantilla:Mvar en el disco unidad. Los números negativos están representados en negro.

La parte imaginaria de Plantilla:Math como una función de Plantilla:Mvar en el disco unidad.

Sea Plantilla:Mvar un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva. Se define la serie de Eisenstein holomorfa Plantilla:Math de peso Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es un entero, mediante la siguiente serie:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

Esta serie convege absolutamente a una función holomorfa de Plantilla:Mvar en el semiplano superior y su expansión de Fourier dada abajo muestra que puede extendese a una función holomorfa Plantilla:Math. Es un hecho remarcable que la serie de Eisenstein es una forma modular. De hecho, la propiedad clave está en su Plantilla:Math-invarianza. Explícitamente si Plantilla:Math y Plantilla:Math entonces

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau )$

Bibliografía

• Plantilla:Cita publicación Translated into English as Plantilla:Cite book
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