Número totiente perfecto

En teoría de números, un número totiente perfecto^[1] es un número entero que es igual a la suma de sus totientes iterados. Es decir, se aplica la función φ de Euler a un número n, se aplica de nuevo al totiente resultante, y así sucesivamente, hasta llegar al número 1, y se suma la secuencia de números resultante. Si la suma es igual a n, entonces n es un número totiente perfecto.

Ejemplos

Por ejemplo, hay seis enteros positivos menores y coprimos con respecto a 9, por lo que el totiente de 9 es 6; hay dos números menores que 6 y coprimos con respecto a él, por lo que el totiente de 6 es 2; y hay un número menor que 2 y primo respecto a él, así que el totiente de 2 es 1. Se comprueba que Plantilla:Math, por lo que 9 es un número totiente perfecto.

Los primeros números totientes perfectos son

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... Plantilla:OEIS.

En forma simbólica, se expresa de la forma siguiente

φ^{i} (n) = {\begin{matrix} φ (n), & si i = 1 \\ φ (φ^{i - 1} (n)), & si i \geq 2 \end{matrix}

para la función totiente iterada. Entonces si c es el entero tal que

φ^{c} (n) = 2,

se tiene que n es un número totiente perfecto si

n = \sum_{i = 1}^{c + 1} φ^{i} (n) .

Múltiplos y potencias de tres

Se puede observar que muchos totientes perfectos son múltiplos de 3; de hecho, 4375 es el número totiente perfecto más pequeño que no es divisible por 3. Todas las potencias de 3 son números totientes perfectos, como puede verse por inducción usando el hecho de que

φ (3^{k}) = φ (2 \times 3^{k}) = 2 \times 3^{k - 1} .

Venkataraman (1975) encontró otra familia de números totientes perfectos: si Plantilla:Math es primo, entonces 3p es un número totiente perfecto. Los valores de k que conducen a números totientes perfectos de esta manera son

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... Plantilla:OEIS.

De manera más general, si p es un número primo mayor que 3, y 3p es un número totiente perfecto, entonces p ≡ 1 (mod 4) (Mohan y Suryanarayana 1982). No todos los p de esta forma conducen a números totientes perfectos; por ejemplo, 51 no es un número totiente perfecto. Iannucci et al. (2003) demostraron que si 9p es un número totiente perfecto, entonces p es un número primo de una de las tres formas específicas enumeradas en su artículo. No se sabe si existen números totientes perfectos de la forma 3^kp donde p es primo y k > 3.