Prueba de Hadamard (computación cuántica)

En computación cuántica, la prueba de Hadamard es un método utilizado para crear una variable aleatoria cuyo valor esperado es la parte real esperada. $\mathrm{R}\mathrm{e}⟨\psi |U|\psi ⟩$, donde $|\psi ⟩$ es un estado cuántico y $U$ es una compuerta unitaria que actúa sobre el espacio de $|\psi ⟩$ . La prueba de Hadamard produce una variable aleatoria cuya imagen está en $\{\pm 1\}$ y cuyo valor esperado es exactamente $\mathrm{R}\mathrm{e}⟨\psi |U|\psi ⟩$ . Es posible modificar el circuito para producir una variable aleatoria cuyo valor esperado sea la parte imaginaria esperada $\mathrm{I}\mathrm{m}⟨\psi |U|\psi ⟩$.

Descripción del circuito

Para realizar la prueba de Hadamard primero calculamos el estado $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)\otimes |\psi ⟩$ mediante la aplicación de la compuerta de Hadamard al qubit auxiliar $|0⟩$. Posteriormente aplicamos el operador unitario en $|\psi ⟩$ condicionado al primer qubit para obtener el estado $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩\otimes |\psi ⟩+|1⟩\otimes U|\psi ⟩)$. Después aplicamos nuevamente la compuerta de Hadamard al primer qubit, obteniendo finalmente $\frac{1}{2}(|0⟩\otimes (I+U)|\psi ⟩+|1⟩\otimes (I-U)|\psi ⟩)$.

La medición del primer qubit, tendrá el resultado $|0⟩$ con probabilidad $\frac{1}{4}⟨\psi |(I+U^{†})(I+U)|\psi ⟩$, en cuyo caso la salida tendrá valor de $1$. El resultado es $|1⟩$ con probabilidad $\frac{1}{4}⟨\psi |(I-U^{†})(I-U)|\psi ⟩$, en cuyo caso el resultado tiene valor de $-1$. El valor esperado de la salida será entonces la diferencia entre las dos probabilidades, la cual es $\frac{1}{2}⟨\psi |(U^{†}+U)|\psi ⟩=\mathrm{R}\mathrm{e}⟨\psi |U|\psi ⟩$.

Para obtener una variable aleatoria cuyo valor esperado sea $\mathrm{I}\mathrm{m}⟨\psi |U|\psi ⟩$ se sigue exactamente el mismo procedimiento pero iniciando con $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-i|1⟩)\otimes |\psi ⟩$.

La prueba de Hadamard tiene muchas aplicaciones en algoritmos cuánticos, como por ejemplo en el algoritmo Aharonov-Jones-Landau. A través de una modificación muy simple, se puede usar para calcular el producto interno entre dos estados $|{\varphi }_1⟩$ y $|{\varphi }_2⟩$: en lugar de comenzar desde un estado $|\psi ⟩$ es suficiente comenzar desde el estado fundamental $|0⟩$ y realizar dos operaciones controladas en el qubit auxiliar. Controlando que el registro auxiliar sea $|0⟩$, aplicamos el unitario que produce $|{\varphi }_1⟩$ en el segundo registro, y controlando que el registro auxiliar esté en el estado $|1⟩$, obtendremos $|{\varphi }_2⟩$ en el segundo registro. El valor esperado de las mediciones de los qubits auxiliares conduce a una estimación de $⟨{\varphi }_1|{\varphi }_2⟩$. El número de muestras necesarias para estimar el valor esperado con error absoluto $ϵ$ es $O\left(\frac{1}{{ϵ}^2}\right)$, debido a un límite de Chernoff. Este valor se puede mejorar a $O\left(\frac{1}{ϵ}\right)$ utilizando técnicas de estimación de amplitud.