Descomposición de Jordan-Chevalley

En matemáticas, la descomposición de Jordan-Chevalley, llamada así por los matemáticos Camille Jordan y Claude Chevalley, es una expresión de un operador lineal como la suma de su parte semisimple y de su parte nilpotente, que conmutan. También hay una descomposición multiplicativa relacionada, que expresa un operador invertible como el producto de sus partes semisimple y unipotente, que también conmutan. La descomposición es fácil de describir cuando se tiene la forma canónica de Jordan del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que la existencia de una forma canónica de Jordan. Hay descomposiciones análogas a la de Jordan-Chevalley para elementos de grupos algebraicos lineales, álgebras de Lie y grupos de Lie, y la descomposición es una herramienta importante en el estudio de dichos objetos.

Descomposición de un operador lineal

Se consideran los operadores lineales en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo. Un operador T se dice semisimple si cada subespacio invariante por T tiene un complementario invariante por T (si el cuerpo subyacente es algebraicamente cerrado, esto equivale a requerir que el operador sea diagonalizable). Un operador $x$ se dice nilpotente si alguna potencia $x^m$ de él es el operador cero, y se dice unipotente si $x-1$ es nilpotente.

Sea pues $x$ cualquier operador. Una descomposición de Jordan-Chevalley de $x$ es una expresión del operador como una suma

$x=x_n+x_s$

donde $x_s$ es semisimple, $x_n$ es nilpotente y $x_s$ y $x_n$ conmutan. Sobre un cuerpo perfecto,Plantilla:Refn siempre existe tal descomposición y es única (véase #Prueba de unicidad y existencia ), y $x_s$ y $x_n$ son polinomios en $x$ sin términos constantes. En particular, para cualquier descomposición de este tipo sobre un cuerpo perfecto, un operador que conmuta con $x$ también conmuta con $x_s$ y $x_n$.

De manera similar, si $x$ es un operador invertible, entonces una descomposición multiplicativa de Jordan-Chevalley expresa $x$ como un producto

$x=x_s\cdot x_u$

donde $x_s$ es semisimple, $x_u$ es unipotente y $x_s$ y $x_u$ conmutan. De nuevo, sobre un cuerpo perfecto, tal descomposición existe y es única y tanto $x_s$ como $x_n$ son polinomios en $x$. La versión multiplicativa de la descomposición se obtiene de la aditiva ya que, como es fácil ver que $x_s$ es invertible:

$x=x_s+x_n=x_s(1+x_s^{-1}{x}_n)$

y $1+x_s^{-1}{x}_n$ es unipotente. (Recíprocamente, con un argumento parecido, uno puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa).

Si $x$ está escrito en forma canónica de Jordan (con respecto a alguna base), entonces $x_s$ es el endomorfismo cuya matriz consiste solo de los términos diagonales de $x$, y $x_n$ es el endomorfismo cuya matriz consiste solo de los términos de fuera de la diagonal; $x_u$ es el endomorfismo cuya matriz se obtiene de la forma canónica de Jordan dividiendo todas las entradas de cada bloque de Jordan por su elemento diagonal.

Prueba corta usando álgebra abstracta

Plantilla:Cita Harvard demuestra la existencia de la descomposición como consecuencia del teorema principal de Wedderburn. Obtiene así una demostración más corta, y que muestra más claramente el rol que juega la perfección del cuerpo base. Plantilla:Demostración

Criterio de nilpotencia

La descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, $E={\mathrm{End}}_{\mathbb{Q}}(k)$ el anillo de endomorfismos de k sobre los racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo $x:V\to V$, sea $x=s+n$ su descomposición de Jordan. Entonces $s$ es diagonalizable; es decir, $V=⨁V_i$ donde cada $V_i$ es el espacio propio para el valor propio ${\lambda }_i$ con multiplicidad $m_i$. Entonces para cualquier $\phi \in E$ definimos $\phi (s)$ como el endomorfismo tal que $\phi (s):V_i\to V_i$ es el producto por $\phi ({\lambda }_i)$. Chevalley llama a $\phi (s)$ la réplica de $s$ dada por $\phi$. Por ejemplo, si $k=ℂ$, el conjugado de un endomorfismo es un ejemplo de réplica. Se tiene:

Bibliografía

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• Plantilla:Fulton-Harris
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