Flujo potencial alrededor de un cilindro circular

En matemáticas, flujo potencial alrededor de un cilindro circular es una solución clásica para el flujo de un fluido no viscoso, incompresible alrededor de un cilindro que es transversal al flujo. Lejos del cilindro, el flujo es unidireccional y uniforme. El flujo no tiene vorticidad y, por tanto, el campo de velocidades es irrotacional y puede modelizarse como un flujo potencial. A diferencia de un fluido real, esta solución indica una resistencia neta nula sobre el cuerpo, resultado conocido como Paradoja de D'Alembert.

Solución matemática

Colores: campo de presión. Plantilla:Color es alta y Plantilla:Color es baja. Vectores de velocidad

Vista en primer plano de un cuadrante del flujo. Colores: campo de presión. Plantilla:Color es alta y Plantilla:Color es baja. Vectores de velocidad

.

Campo de presión (colores), función de flujo (negro) con intervalo de contorno de Plantilla:Math de abajo a arriba, potencial de velocidad (blanco) con intervalo de contorno Plantilla:Math de izquierda a derecha

.

Un cilindro (o disco) de radio Plantilla:Mvar se coloca en un flujo bidimensional, incompresible y no viscoso. El objetivo es encontrar el vector velocidad constante Plantilla:Math y la presión Plantilla:Mvar en un plano, con la condición de que lejos del cilindro el vector velocidad (relativo a vector unitario Plantilla:Math y Plantilla:Math) sea:

$𝐕=U𝐢+0𝐣,$

donde Plantilla:Mvar es una constante, y en el límite del cilindro

$𝐕\cdot 𝐡𝐚𝐭𝐧=0,$

donde Plantilla:Math es el vector normal a la superficie del cilindro. El flujo aguas arriba es uniforme y no tiene vorticidad. El flujo es no viscoso, incompresible y tiene densidad de masa constante Plantilla:Mvar. Por lo tanto, el flujo permanece sin vorticidad y se dice que es irrotacional, con Plantilla:Math en todas partes. Siendo irrotacional, debe existir un potencial de velocidad Plantilla:Mvar:

$𝐕=\mathrm{\nabla }\varphi .$

Siendo incompresible, Plantilla:Math, por lo que Plantilla:Mvar debe satisfacer la ecuación de Laplace:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0.$

La solución para Plantilla:Mvar se obtiene más fácilmente en coordenadas polares Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar, relacionadas con las coordenadas cartesianas convencionales por Plantilla:Math y Plantilla:Math. En coordenadas polares, la ecuación de Laplace es:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \varphi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial {\theta }^2}=0.$

La solución que satisface las condiciones de contornos es

$\varphi (r,\theta )=Ur(1+\frac{R^2}{r^2})\cos \theta .$

Las componentes de la velocidad en coordenadas polares se obtienen a partir de las componentes de Plantilla:Math en coordenadas polares:

$V_r=\frac{\partial \varphi }{\partial r}=U(1-\frac{R^2}{r^2})\cos \theta$

y

$V_{\theta }=\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \theta }=-U(1+\frac{R^2}{r^2})\sin \theta .$

Al ser no viscosa e irrotacional, la ecuación de Bernoulli permite obtener la solución para el campo de presiones directamente a partir del campo de velocidades:

$p=\frac{1}{2}\rho (U^2-V^2)+p_{\mathrm{\infty }},$

donde las constantes Plantilla:Mvar y Plantilla:Math aparecen para que Plantilla:Math lejos del cilindro, donde Plantilla:Math. Usando V² = V_r² + VPlantilla:Su,

$p=\frac{1}{2}\rho U^2(2\frac{R^2}{r^2}\cos (2\theta )-\frac{R^4}{r^4})+p_{\mathrm{\infty }}.$

En las figuras, el campo coloreado denominado "presión" es un gráfico de

$2\frac{p-p_{\mathrm{\infty }}}{\rho U^2}=2\frac{R^2}{r^2}\cos (2\theta )-\frac{R^4}{r^4,}.$

En la superficie del cilindro, es decir, cuando Plantilla:Math, la presión varía desde un máximo de 1 (mostrado en el diagrama en Plantilla:Color) en los puntos de estancamiento en Plantilla:Math y Plantilla:Math a un mínimo de -3 (mostrado en Plantilla:Color) en los lados del cilindro, en Plantilla:Math en los laterales, en la baja presión.

Función de flujo

Siendo el flujo incompresible, se puede encontrar una función de corriente tal que

$𝐕=\mathrm{\nabla }\psi \times 𝐤$

De esta definición se deduce, utilizando identidades vectoriales,

$𝐕\cdot \mathrm{\nabla }\psi =0.$

Por tanto, un contorno de valor constante de Plantilla:Mvar será también una línea de corriente, una línea tangente a Plantilla:Math. Para el flujo más allá de un cilindro, encontramos:

$\psi =U(r-\frac{R^2}{r})\sin \theta ,.$

Interpretación física

La ecuación de Laplace es lineal, y es una de las ecuaciones diferenciales parcialess más elementales. Esta sencilla ecuación da la solución completa tanto para Plantilla:Math como para Plantilla:Mvar debido a la restricción de irrotacionalidad e incompresibilidad. Una vez obtenida la solución para Plantilla:Math y Plantilla:Mvar, se puede observar la consistencia del gradiente de presión con las aceleraciones.

La presión dinámica en el punto de estancamiento aguas arriba tiene un valor de Plantilla:Math. valor necesario para decelerar el flujo libre de velocidad Plantilla:Mvar. Este mismo valor aparece en el punto de estancamiento aguas abajo, esta alta presión es de nuevo necesaria para desacelerar el flujo a velocidad cero. Esta simetría surge sólo porque el flujo es completamente sin fricción.

La baja presión en los lados del cilindro es necesaria para proporcionar la aceleración centrípeta del flujo:

$\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\rho V^2}{L},$

donde Plantilla:Mvar es el radio de curvatura del flujo.Plantilla:Citation needed Pero Plantilla:Math, y Plantilla:Math. La integral de la ecuación de la aceleración centrípeta sobre una distancia Plantilla:Math dará por tanto

$p-p_{\mathrm{\infty }}\approx -\rho U^2.$

La solución exacta tiene, para la presión más baja,

$p-p_{\mathrm{\infty }}=-\frac{3}{2}\rho U^2.$

La baja presión, que debe estar presente para proporcionar la aceleración centrípeta, también aumentará la velocidad del flujo a medida que el fluido se desplaza de valores más altos a valores más bajos de presión. Así encontramos la velocidad máxima en el flujo, Plantilla:Math, en la baja presión en los lados del cilindro.

Comparación con el flujo de un fluido real a través de un cilindro

La simetría de esta solución ideal tiene un punto de estancamiento en la parte trasera del cilindro, así como en la parte delantera. La distribución de presiones en las caras anterior y posterior son idénticas, lo que da lugar a la peculiar propiedad de que la arrastre sobre el cilindro sea nula, propiedad conocida como Paradoja de D'Alembert. A diferencia de un fluido ideal no viscoso, un flujo viscoso que pase por un cilindro, por pequeña que sea la viscosidad, adquirirá una fina capa límite adyacente a la superficie del cilindro. Se producirá la Separación de la capa límite, y existirá una estela de arrastre en el flujo detrás del cilindro. La presión en cada punto del lado de la estela del cilindro será menor que en el lado aguas arriba, lo que provocará una fuerza de arrastre en la dirección aguas abajo. Un valor de Plantilla:Math es consistente con la conservación del volumen del fluido. Con el cilindro bloqueando parte del flujo, Plantilla:Mvar debe ser mayor que Plantilla:Mvar en algún punto del plano que pasa por el centro del cilindro y es transversal al flujo.

Expansión Janzen-Rayleigh

El problema del flujo potencial compresible sobre cilindro circular fue estudiado por primera vez por O. Janzen en 1913 y por Lord Rayleigh en 1916 con pequeños efectos compresibles. Aquí, el parámetro pequeño es el cuadrado del número de Mach ${\mathrm{M}}^2=U^2/c^2\ll 1$, donde Plantilla:Mvar es la velocidad del sonido. Entonces la solución a la aproximación de primer orden en términos del potencial de velocidad es

$\varphi (r,\theta )=Ur(1+\frac{a^2}{r^2})\cos \theta -{\mathrm{M}}^2\frac{Ur}{12}[(\frac{13a^2}{r^2}-\frac{6a^4}{r^4}+\frac{a^6}{r^6})\cos \theta +(\frac{a^4}{r^4}-\frac{3a^2}{r^2})\cos 3\theta ]+\mathrm{O}\left({\mathrm{M}}^4\right)$

donde $a$ es el radio del cilindro.

Flujo potencial sobre un cilindro circular con ligeras variaciones

El análisis de perturbaciones regulares para un flujo alrededor de un cilindro con ligeras perturbaciones en las configuraciones puede encontrarse en Milton Van Dyke (1975). En lo que sigue, Plantilla:Mvar representará un pequeño parámetro positivo y Plantilla:Mvar es el radio del cilindro. Para análisis y discusiones más detalladas, se remite a los lectores al libro de Milton Van Dyke de 1975 Perturbation Methods in Fluid Mechanics.

Cilindro ligeramente distorsionado

Aquí el radio del cilindro no es Plantilla:Math, sino una forma ligeramente distorsionada Plantilla:Math. Entonces la solución por aproximación de primer orden es

$\psi (r,\theta )=Ur(1-\frac{a^2}{r^2})\sin \theta +\epsilon \frac{Ur}{2}(\frac{3a^2}{r^2}\sin \theta -\frac{a^4}{r^4}\sin 3\theta )+\mathrm{O}\left({\epsilon }^2\right)$

Círculo ligeramente pulsante

Aquí el radio del cilindro varía con el tiempo ligeramente así que Plantilla:Math. Entonces la solución por aproximación de primer orden es

$\psi (r,\theta ,t)=Ur(1-\frac{a^2}{r^2})\sin \theta +\epsilon Ur(\frac{a^2}{Ur}\theta f^{\prime }(t)-\frac{2a^2}{r^2}f(t)\sin \theta )+\mathrm{O}\left({\epsilon }^2\right)$

Flujo con ligera vorticidad

En general, la velocidad de la corriente libre Plantilla:Mvar es uniforme, en otras palabras Plantilla:Math, pero aquí se impone una pequeña vorticidad en el flujo exterior.

Cizallamiento lineal

Aquí se introduce un cizallamiento lineal en la velocidad.

$\begin{array}{cc}\psi & =U(y+\frac{1}{2}\epsilon \frac{y^2}{a}),\\ \omega & =-{\mathrm{\nabla }}^2\psi =-\epsilon \frac{U}{a}\text{as }x\to -\mathrm{\infty },\end{array}$

donde Plantilla:Mvar es el parámetro pequeño. La ecuación de gobierno es

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =-\omega (\psi ).$

Entonces la solución por aproximación de primer orden es

$\psi (r,\theta )=Ur(1-\frac{a^2}{r^2})\sin \theta +\epsilon \frac{Ur}{4}(\frac{r}{a}(1-\cos 2\theta )+\frac{a^3}{r^3}\cos 2\theta -\frac{a}{r})+\mathrm{O}\left({\epsilon }^2\right).$

Cizallamiento parabólico

Aquí se introduce una cizalla parabólica en la velocidad exterior.

$\begin{array}{cc}\psi & =U(y+\frac{1}{6}\epsilon \frac{y^3}{a^2}),\\ \omega & =-{\mathrm{\nabla }}^2\psi =-\epsilon U\frac{y}{a^2}\text{as }x\to -\mathrm{\infty }.\end{array}$

Entonces la solución a la aproximación de primer orden es

$\psi (r,\theta )=Ur(1-\frac{a^2}{r^2})\sin \theta +\epsilon \frac{Ur}{6}(\frac{r^2}{a^2}{\sin }^2\theta -3r\ln r\sin \theta +\chi )+\mathrm{O}\left({\epsilon }^2\right),$

donde Plantilla:Mvar es la solución homogénea de la ecuación de Laplace que restablece las condiciones de contorno.

Cilindro ligeramente poroso

Sea Plantilla:Math el coeficiente de presión superficial para un cilindro impermeable:

$C_{\mathrm{p}\mathrm{s}}=\frac{p_s-p_{\mathrm{\infty }}}{\frac{1}{2}\rho U^2}=1-4{\sin }^2\theta =2\cos 2\theta -1,$

donde Plantilla:Math es la presión superficial del cilindro impermeable. Sea ahora Plantilla:Math el coeficiente de presión interna dentro del cilindro, entonces una ligera velocidad normal debida a la ligera porosidad viene dada por

$\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=\epsilon U(C_{\mathrm{p}\mathrm{i}}-C_{\mathrm{p}\mathrm{s}})=\epsilon U(C_{\mathrm{p}\mathrm{i}}+1-2\cos 2\theta )\text{at }r=a,$

pero la condición de flujo neto cero

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial \theta }\mathrm{d}\theta =0$

requiere que Plantilla:Math. Por lo tanto,

$\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=-2\epsilon rU\cos 2\theta \text{at }r=a.$

Entonces la solución a la aproximación de primer orden es

$\psi (r,\theta )=Ur(1-\frac{a^2}{r^2})\sin \theta -\epsilon U\frac{a^3}{r^2}\sin 2\theta +\mathrm{O}\left({\epsilon }^2\right).$

Cuasi-cilindro corrugado

Si el cilindro tiene radio variable en la dirección axial, el eje Plantilla:Mvar, {{math|r = a (1 + ε sen Plantilla:Sfrac)}, entonces la solución a la aproximación de primer orden en términos del potencial de velocidad tridimensional es

$\varphi (r,\theta ,z)=Ur(1+\frac{a^2}{r^2})\cos \theta -2\epsilon Ub\frac{K_1\left(\frac{r}{b}\right)}{{K_1}^{\prime }\left(\frac{r}{b}\right)}\cos \theta \sin \frac{z}{b}+\mathrm{O}\left({\epsilon }^2\right),$

donde Plantilla:Math es la función de Bessel modificada de primer orden.

Véase también

• Transformada de Joukowsky
• Condición de Kutta
• Efecto Magnus